1、9.2正弦定理与余弦定理的应用 一、测量中的基本术语 1.思考 测量中有哪些基本术语? 提示:基线、仰角、俯角、方向角、方位角、视角、坡角、坡比. 2.填空 3.做一做 (1)若点P在点Q的北偏东4450方向上,则点Q在点P的 () A.东偏北4510方向上 B.北偏东4550方向上 C.南偏西4450方向上 D.西偏南4550方向上 解析:如图所示,点Q在点P的南偏西4450的方向上. 答案:C (2)从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为( ) A. B.= C.+=90 D.+=180 解析:根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,平行线之间,内错角 相等,=,故应选B.
2、答案:B (3)已知目标A的方位角为135,请画出其图示. 提示:如图所示: (4)请分别画出北偏东30,南偏东45的方向角. 提示:如图所示: 二、解三角形应用题 1.思考 (1)如何解三角形应用题? 提示:解三角形应用题时,通常都要根据题意,从实际问题中抽象出 一个或几个三角形,然后通过解三角形,得到实际问题的解,求解的 关键是将实际问题转化为解三角形问题. (2)解三角形应用题常见的有哪两种情况? 提示:实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个 三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上) 三角形,这时需作出这些三角形,先解
3、够条件的三角形,然后逐步求 出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方 程(组),解方程(组)得出所要求的解. (3)距离问题的处理方法是什么? 提示:测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距 离问题.如图所示. 这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题,用正弦 定理就可解决. 测量两个不可到达的点A,B之间的距离问题.如图所示. 首先把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用余弦定理求 三角形的边长问题,然后把求B,C和A,C的距离问题转化为测量可到 达的一点与不可到达的一点之间的距离问题. (4)高度问题的处理方法是什么? 提示:测底部不可到达的建筑物
4、的高度问题,由于底部不可到达, 这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或 余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离, 然后转化为解直角三角形的问题. 在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余 弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角 和仰角)和一边,如下图. (5)角度问题的处理方法是什么? 提示:测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确 定目标的方位,观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据 题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形 中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题
5、中抽象 出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而 得到实际问题的解.解题时应认真审题,结合图形去选择定理,这是 最关键、最重要的一步. 2.填空 (1)解题思路 (2)基本步骤 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤 如下: 分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角 形); 建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集 中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型; 求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解; 检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解. (3)主要类型 3.做一做 (1)如图,在河岸AC测量河
6、的宽度BC，测量下列四组数据,较适宜的 是() A.,c,B.b,c, C.c,D.b, 解析:a,c均隔河，故不易测量,测量b,更合适. 答案:D (2)甲、乙两楼相距a,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望 乙楼顶的俯角为30,则甲、乙两楼的高分别是. (3)甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆,甲 观测的仰角为50,乙观测的仰角为40,用d1,d2分别表示甲、乙两人 与旗杆的距离,那么有() A.d1d2 B.d120 mD.d220 m 解析:仰角大说明距离小,仰角小说明距离大,即d1d2. 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 测量高度问题测量高度问题
7、例1如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为,在塔 底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h,求出山高CD. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练1在飞机上,某一时刻测得地面上两建筑物的俯角分别为 45和30,这一时刻飞机对两建筑物的视角为45.若两建筑物之间 的距离为2 km,则飞机的飞行高度为. 解析:设两建筑物为A,B,这一时刻飞机所在位置为P,其在地面上的 投影为D, AB2=PA2+PB2-2PAPBcosAPB, 所以8=4h2+2h2-4h2=2h2,所以h=2km. 答案:2 km 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
8、 测量角度问题测量角度问题 例2如图所示,当甲船位于A处时,获悉在其正东方向相距20 n mile的 B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知 在甲船南偏西30.相距10 n mile的C处的乙船,试问乙船应朝北偏 东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)? 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:如图所示,连接CB. 在ABC中,CAB=90+30=120. 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120. 又AC=10,AB=20,得 又ACB为锐角,所以ACB41. 作CMBA,交BA的延长线于点M, 则BCM=30+ACB71. 所以乙船应朝
9、北偏东约71的方向沿直线前往B处救援. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟解答角度问题的解决策略 解决这类问题一定要搞清方位角,画出符合题意的图形,将所给距 离和角度标在图中,然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关 系,确定解题步骤. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练2缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50的方向、距小岛A 12 n mile的B处,发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向小岛北偏西 10方向行驶,测得其速度为每小时10 n mile,问巡逻艇需用多大的 速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船?(参考数 据:sin 380.62) 探究一探究二探究三思维辨
10、析当堂检测 解:如图所示,AC所在射线即走私船航行路线,假设巡逻艇在C处截 获走私船,巡逻艇的速度为每小时x n mile,则BC=2x,AC=20. 依题意BAC=180-50-10=120, 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120 所以BC=28. 因为BC=2x,所以x=14. 所以ABC=38. 而如图所示的RtADB中,ABD=40. 所以EBC=90-38-40=12. 即巡逻艇用每小时14 n mile的速度向北偏东12的方向航行. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 正、余弦定理在力学中的应用正、余弦定理在力学中的应用 例3如图,在墙上有一个三角形支架O
11、AB,吊着一个重力为12 N的 灯,OA,OB都是轻杆,只受沿杆方向的力,试求杆OA,OB所受力的大 小. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟解答力学问题的解决策略 解答与力学有关的解三角形问题,要抓住力的方向与大小和受力平 衡关系,准确进行受力分解. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练3作用在小车A上的两个水平力F1、F2,|F1|=40 N,|F2|=20 N,夹角为60,小车的摩擦力大小为20 N,则小车在力的作用下能 否保持静止? 解:如图所示. 在ABCD中,由题意AB=20,AD=BC=40,ABC=120, 在ABC中,由余
12、弦定理,得 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究距离测量问题 【角度一】 两点不相通的距离 典例1如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选 定适当的位置C,用经纬仪测出角,再分别测出AC,BC的长b,a,则 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:在ABC中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB, 所以AB2=4002+6002-2400600cos 60=280 000.所以 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 【角度二】两点间可视但有一点不可到达 典例2如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在点A的同侧,且点 B不可到达,要测出AB的距离,其
13、方法为在点A所在的岸边选定一点 C,可以测出AC的距离m,再借助仪器,测出ACB=,CAB=,在 ABC中,运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC=60 m,BAC=75,BCA=45,则A,B两点间的距离为 . 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 【角度三】 两点都不可到达 典例3如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出AB的 距离,其测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D 两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在ADC和 BDC中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在ABC中,应用余弦 定理计算出A
14、B. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 2.一艘轮船按照北偏西30的方向以每小时21海里的速度航行,一个 灯塔M原来在轮船的北偏东30的方向,经过40分钟后,测得灯塔在 轮船的北偏东75的方向,则灯塔和轮船原来的距离是 海里. 解析:如图所示:M为灯塔,C为轮船, MBC=180-75-30=75, 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 3.甲船在A处发现乙船在北偏东60的B处,乙船正以a n mile/h的速 度向北行驶.已知甲船的速度是 an mile/h,则甲船应沿着 方向前进,才能最快与乙船相遇. 因为0CAB90,所以CAB=30, 所以DAC=60-30=30. 即甲船应沿北偏东30的方向前进,才能最快与乙船相遇. 答案:北偏东30 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 4.如图,某人在离地面高度为15 m的地方,测得电视塔底的俯角为 30,塔顶的仰角为60,求电视塔的高. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:设人的位置为A,塔底为B,塔顶为C,过点A作BC的垂线,垂足为D, 则DAB=30,DAC=60,BD=15 m,
