1、 知识系统整合 规律方法收藏 1向量的数量积运算 (1)求模：|a|； aa (2)求角度：cos. ab |a|b| (3)判断两直线的关系 法向量判断； 方向向量判断 (4)坐标运算方法 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)； abx1y2x2y10； abx1x2y1y2； abx1x2y1y20. 2三角恒等变换常用的方法 (1)变角(角的变换)； (2)变名(函数名称的变换)； (3)变幂(升幂与降幂的变换)； (4)变数(常数的变换) 3三角函数化归的常用方法 (1)化异为同； (2)弦切互化； (3)单角化倍角； (4)单角化复角； (5)倍角化复角； (6)复角化复角等 4角
2、的常用变换技巧 (1)()； (2)()； (3)(2)()； (4) ()()； 1 2 (5) ()()； 1 2 (6)等 2 ( 2) ( 2) 学科思想培优 一、向量的数量积运算 数量积的运算是本章的重点，由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、 夹角以及不等式等，因此它的应用也最为广泛利用数量积可以求长度，也可 以判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标 运算将代数中的有关函数、不等式以及数列等知识融合在一起 例 1(1)在OAB 中，a，b，OD 是 AB 边上的高，若 OA OB ，则实数 等于() AD AB A.B. baa |ab|2 aba
3、|ab|2 C.D. baa |ab| aba |ab| 解析，()，(1) AD AB OD OA OB OA OD OB (1)ab.又因为 OD 是 AB 边上的高，所以0，即() OA OD AB OD OB OA 0， (1)ab(ba)0，整理可得 (ba)2(ab)a，即 . aba |ab|2 故选 B. 答案B (2)已知非零向量 a，b 满足 a3b 与 7a5b 互相垂直，a4b 与 7a2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角 解由已知条件，得Error! 即Error! ，得 23b246ab0， 2abb2，代入，得 a2b2， |a|b|， 设 a 与 b 的夹角
4、为 ， cos ， ab |a|b| 1 2b2 |b|2 1 2 0， . 3 二、向量数量积的应用 向量的应用是多方位的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前 的应用主要限于平面几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面 例 2(1)已知向量 a(x，x1)，b(1mx,1)，若函数 f(x)ab 在区间 (1,1)上是增函数，求实数 m 的取值范围 解f(x)abx(1mx)(x1)mx22x1. 当 m0 时，f(x)2x1 在区间(1,1)上是增函数，故 m0 满足要求； 当 m0 时，因为 f(x)在区间(1,1)上是增函数， 所以 1，解得 0m1； 1 m 当 m0 时，
5、因为 f(x)在区间(1,1)上是增函数， 所以 1，解得1mt21，则 f(t1)f(t2)t kt1(t kt2)(t1t2)(t t1t2t k) 3 13 22 12 2 因为 sf(t)在1，)上是增函数，所以 t t1t2t k0，即 2 12 2 k3，所以只需 k3 即可 2 12 22 12 2 三、三角函数的化简与证明 三角函数式的化简，需要注意：(1)三角函数的和式，基本思路是降幂、消 项和逆用公式；(2)三角函数的分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式， 最终变为整式或数值；(3)对二次根式，则需要运用半角公式 例 3化简. 2cos21 2tan( 4)sin2(
6、4) 解解法一：原式 cos2sin2 2 1tan 1tan(sin 4coscos 4sin)2 cos2sin21tan 1tancossin2 1. cos2sin2(1sin cos) (1 sin cos)cossin2 解法二：原式 cos2 2tan( 4)cos2( 4) cos2 2sin( 4)cos( 4) 1. cos2 sin( 22) cos2 cos2 四、三角函数的求值 严格来说，三角函数的化简、证明、求值都是三角恒等变形，在变换技巧 上都是相通的，但由于是求值，于是它就有了特殊性，因此把它单列开来，作 为一个专题三角函数的求值，主要有三种类型 (1)“给角求
7、值” 一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观 察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有 可能需要诱导公式解题时，要利用观察得到的关系，结合有关公式转化为特 殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到结果 (2)“给值求值” 即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数 式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆角、配角当 然在这个过程中要注意角范围的变化 (3)“给值求角” 本质上还是“给值求值” ，只不过往往求出的值是特殊角 的值，在求角之前还需要结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范 围 例 4(1)求tan104sin10的值； 3
8、 (2)已知 cos ，x， ( 4x) 3 5 17 12 7 4 求的值 sin2x2sin2x 1tanx 解(1)原式 3sin104sin10cos10 cos10 3sin102sin20 cos10 3sin30202sin20 cos10 3sin30cos20 3cos30sin202sin20 cos10 1. 3 2 cos201 2sin20 cos10 sin6020 cos10 (2) sin2x2sin2x 1tanx sin2x1tanx 1tanx sin2xtancostan (x 4) ( 22x) (x 4) costan 2( 4x) (x 4) ta
9、n. 2cos2(x 4)1 (x 4) 由x，得x 2. 17 12 7 4 5 3 4 sin . ( 4x) 1cos2( 4x) 4 5 tan . ( 4x) 4 3 sin2x2sin2x 1tanx 2 ( 3 5)21 ( 4 3) . 28 75 五、三角变换在研究三角函数图像与性质中的应用 借助于三角变换化简给定的三角函数式，将三角函数式化为形如 yAsin(x)B 或 yAcos(x)B 或 yAtan(x)B 的形式，然后 研究三角函数的性质，这是高考命题的热点题型 例 5已知向量 a(1tanx,1)，b(1sin2xcos2x，3)，记 f(x)ab. (1)求 f
10、(x)的定义域、值域及最小正周期； (2)若 ff，其中 ，求 . ( 2) ( 2 4)6 (0， 2) 解(1)f(x)(1tanx)(1sin2xcos2x)3 (2cos2x2sinxcosx)3 cosxsinx cosx 2(cos2xsin2x)3 2cos2x3， f(x)的定义域为Error!， 值域为(5，1，最小正周期 T 为 . (2)ff2cos2cos ( 2) ( 2 4) ( 2) 2(cossin)2sin， 2 ( 4)6 sin， ( 4) 3 2 (0， 2) ， 或 ， 4 ( 4， 3 4) 4 3 4 2 3 或 . 12 5 12 第八章单元质量
11、测评 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分，考试时 间 120 分钟 第卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知向量 a，b 满足：|a|3，|b|2，|ab|2，则|ab|等于() A1B4 2 C3D. 522 答案D 解析由|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)可求得|ab|. 2若 cos0，且 sin20，则角 的终边所在的象限是() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 答案D 解析sin22sincos0， 是 第四象限的角 3已知向
12、量 a(1，n)，b(1，n)，若 2ab 与 b 垂直，则|a|等于() A1B. 2 C2D4 答案C 解析由于 2ab 与 b 垂直，则(2ab)b0，即(3，n)(1，n) 3n20.解得 n. 3 所以 a(1，)所以|a| 2. 31 32 4sin163sin223sin253sin313的值为() AB. 1 2 1 2 CD. 3 2 3 2 答案B 解析原式sin(18017)sin(18043)sin(27017)sin(27043) sin17sin43cos17cos43cos60 . 1 2 5已知 为第二象限角，且 cos ，则的值是() 2 1 2 1sin c
13、os 2sin 2 A1B. 1 2 C1D2 答案C 解析 为第二象限角， 为第一或第三象限角 2 cos ， 为第三象限角且 sin ， 2 1 2 2 2 3 2 1.故选 C. 1sin cos 2sin 2 |cos 2sin 2| cos 2sin 2 6已知平面向量 a，b，c 满足|a|1，|b|2，|c|3，且 a，b，c 两两所成 的角相等，则|abc|等于() A.B6 或 32 C6D6 或 3 答案D 解析由题意，得 a，b，c 两两所成的角均为 120或 0，当夹角为 120时， ab1，bc3，ac ，则|abc|2|a|2|b|2|c|22(abbcac) 3
14、2 3；当夹角为 0时，|abc|a|b|c|6.故选 D. 7若 sin ，则 cos等于() ( 6) 1 3 ( 2 3 2) AB 7 9 1 3 C.D. 1 3 7 9 答案A 解析coscos ( 2 3 2) 2( 6) cosError!2sin21 . ( 6) 7 9 8设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 216，| | BC AB AC |，则|() AB AC AM A8B4 C2D1 答案C 解析 216，| |4，又|，0.M 为 BC BC AB AC AB AC AB AC BC 的中点， | | 42，故选 C. AM 1 2 BC
15、1 2 9已知(sinx2cosx)(32sinx2cosx)0， 则的值为() sin2x2cos2x 1tanx A.B. 8 5 5 8 C.D. 2 5 5 2 答案C 解析32sinx2cosx32sin0， 2 (x 4) sinx2cosx0.tanx2. 原式 2cosxsinxcosx 1sinx cosx 2cos2xsinxcosx cosxsinx 2cos2x . 2cos2x sin2xcos2x 2 tan2x1 2 5 10已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的 中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则的值为(
16、) AF BC AB. 5 8 1 8 C.D. 1 4 11 8 答案B 解析建立平面直角坐标系，如图 则 B，C， ( 1 2，0) ( 1 2，0) A，所以(1,0) (0， 3 2) BC 易知 DE AC， 1 2 则 EF AC ， 1 4 1 4 因为FEC60，所以点 F 的坐标为， ( 1 8， 3 8) 所以， AF ( 1 8， 5 3 8 ) 所以(1,0) .故选 B. AF BC ( 1 8， 5 3 8 ) 1 8 11已知 f(x)sin，g(x)cos，则下列结论中正确的是() (x 2) (x 2) A函数 yf(x)g(x)的周期为 2 B函数 yf(x
17、)g(x)的最大值为 1 C将 f(x)的图像向左平移 个单位长度后得到 g(x)的图像 2 D将 f(x)的图像向右平移 个单位长度后得到 g(x)的图像 2 答案D 解析因为 f(x)sincosx， (x 2) g(x)cossinx， (x 2) 所以 yf(x)g(x)sincos (x 2) (x 2) cosxsinx sin2x，所以其周期 T，最大值是 ，故排除 A，B； 1 2 2 2 1 2 很明显将 f(x)的图像向右平移 个单位长度后得到 g(x)cos的图像 2 (x 2) 12在ABC 中，AB2，AC3，BAC ，则() 3 BD 2 3BC AD BD A.B
18、 22 9 22 9 C.D 16 9 8 9 答案A 解析由题意作出图形，如图所示 由图可得 ()，所以 BD 2 3BC 2 3 AC AB 2 3AB 2 3AC AD AB BD AB . 2 3AB 2 3AC 1 3AB 2 3AC 所以 AD BD ( 1 3AB 2 3AC ) ( 2 3AB 2 3AC ) |2 |2 2 9 AB 4 9 AC 2 9 AB AC 4 9 |cosBAC 2 9 4 9 2 9 AB AC 4 23cos 8 9 2 9 3 .故选 A. 22 9 第卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
19、将答案填在题中横 线上) 13若 cosxcosysinxsiny ，则 cos(2x2y)_. 1 3 答案 7 9 解析由 cosxcosysinxsiny ，可知 cos(xy) ，则 cos(2x2y) 1 3 1 3 2cos2(xy)12 21 . ( 1 3) 7 9 14已知两个单位向量 e1，e2的夹角为 120，且向量 ae12e2，b4e1，则 ab_. 答案0 解析|e1|e2|1，向量 e1与 e2的夹角为 120，ab(e12e2)(4e1) 4e 8e1e24811cos12048110. 2 1 ( 1 2) 15已知|a|3，|b|4，且(a2b)(2ab)4
20、，则 a 与 b 的夹角 的取值 范围是_ 答案 2 3 ， 解析(a2b)(2ab)2a2ab4ab2b2293|a|b|cosa，b 21614334cosa，b4， cosa，b ，又a，b0， 1 2 a，b. 2 3 ， 16若 tan，则 sin2cos cos2 的值为 1 tan 10 3 ( 4， 2) (2 4) 4 _ 答案0 解析由 tan，得(tan3)(3tan1)0，所以 tan3 或 1 tan 10 3 tan .因为 ，所以 tan3，所以 sin2cos cos2sin2 1 3 ( 4， 2) (2 4) 4 2 2 cos2sin2cos2 2 2 2
21、1cos2 2 2 22 2 2 2 2 2sincos sin2cos22 cos2sin2 sin2cos2 2 2 2 2 2tan tan212 1tan2 tan21 2 2 2 2 2 3 3212 132 321 0. 2 2 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3，点 P 在 AM 上，且满足2，求()的值 AP PM PA PB PC 解如图，由 AM3，且2，可知|2. AP PM AP M 为 BC 的中点， 2， PB PC PM AP () P
22、A PB PC PA AP 2| |24. PA PA 18(本小题满分 12 分)已知 cos2 ， 7 8 ( 2，) 求 sinsin2 的值 ( 6) 解cos2 ， 7 8 ( 2，) cos0，cos22cos21 ， 7 8 cos2，cos，sin ， 15 16 15 4 1 4 sinsin2sincos cossin 2sincos 2 ( 6) 6 6 1 4 3 2 15 4 1 2 1 4 15 4 . 3 8 15 8 15 8 3 8 19(本小题满分 12 分)设平面内两向量 a 与 b 互相垂直，且 |a|2，|b|1，又 k 与 t 是两个不同时为零的实数
23、 (1)若 xa(t3)b 与 ykatb 垂直，求 k 关于 t 的函数关系式 kf(t)； (2)求函数 kf(t)的最小值 解(1)ab，ab0. xy，xy0， 即a(t3)bkatb0. ka2k(t3)abtabt(t3)b20. |a|2，|b|1， 4kt23t0，即 k (t23t) 1 4 (2)由(1)知 k (t23t) 2 ， 1 4 1 4(t 3 2) 9 16 函数 kf(t)的最小值为. 9 16 20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2sin2xsin2x. 33 (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值； (2)在给出的直角坐标系中(如下图)，画
24、出函数 yf(x)在区间0，上的图 像 解(1)f(x)(12sin2x)sin2x 3 sin2xcos2x2sin. 3 (2x 3) 所以函数 f(x)的最小正周期 T，最小值为2. 2 2 (2)列表： x0 12 3 7 12 5 6 2x 3 3 2 3 2 2 7 3 f(x)320203 描点、连线得到图像，如下图所示 21(本小题满分 12 分)在ABC 中，设. BC CA CA AB (1)求证：ABC 为等腰三角形； (2)若|2，且 B，求的取值范围 BA BC 3， 2 3 BA BC 解(1)证明：因为， BC CA CA AB 所以()0. CA BC AB 又
25、0，则()， AB BC CA CA AB BC 所以()()0. AB BC BC AB 所以 220.所以| |2|2. AB BC AB BC 即|AB|BC|，即ABC 为等腰三角形 (2)因为 B，则 cosB. 3， 2 3 1 2， 1 2 设|a. AB BC 又|2，所以|24. BA BC BA BC 则有 a2a22a2cosB4. 所以 a2， 2 1cosB 则a2cosB2. BA BC 2cosB 1cosB 2 1cosB 又 cosB，所以. 1 2， 1 2 BA BC 2， 2 3 22(本小题满分 12 分)设函数 f(x)cossin2x. 2 2 (
26、2x 4) (1)求 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意 xR，有 gg(x)，且当 x时，g(x) (x 2) 0， 2 f(x)，求 g(x)在区间，0上的解析式 1 2 解(1)f(x) cossin2x sin2x， 2 2 (2x 4) 2 2(cos2xcos 4sin2xsin 4) 1cos2x 2 1 2 1 2 故 f(x)的最小正周期为 . (2)当 x时，g(x) f(x) sin2x，故 0， 2 1 2 1 2 当 x时，x . 2，0 2 0， 2 由于对任意 xR，有 gg(x)， (x 2) 从而 g(x)g sin (x 2) 1 2 2(x 2) sin(2x) sin2x. 1 2 1 2 当 x时，x. ， 2) 0， 2) 由于对任意 xR，有 gg(x)，所以 g(x)gg(x)， (x 2) (x 2) 从而 g(x)g(x) sin2(x) sin2x. 1 2 1 2 综合，得 g(x)在区间，0上的解析式为 g(x)Error!
