1、第九章解三角形 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1正弦定理正弦定理 课后篇课后篇巩固提升 基础巩固 1.在ABC 中,下列关系式中一定成立的是() A.absin AB.a=bsin A C.absin AD.absin A 解析由正弦定理,得,所以 a=,在ABC 中,0b=4,AB.B= .故选 A. 3 6 答案 A 3.在ABC 中,已知 b=3,c=8,A= ,则ABC 的面积等于() 3 A.6B.12C.6D.12 33 解析 SABC= bcsin A= 38sin =6.故选 C. 1 2 1 2 33 答案 C 4.在ABC 中,a=2,b=2,B=45,则 A 为()
2、32 A.30或 150B.60或 120 C.60D.30 解析由正弦定理可得:,sin A=. = = 2 3 2 2 2 2 = 3 2 0A135,A=60或A=120.故选 B. 答案 B 5.在ABC 中,一定成立的等式是() A.asin A=bsin BB.acos A=bcos B C.asin B=bsin AD.acos B=bcos A 解析在ABC 中,由正弦定理得,即 asin B=bsin A.故选 C. = 答案 C 6.在ABC 中,若 A=30,a=2,b=2,则此三角形解的个数为() 3 A.0 个B.1 个 C.2 个D.不能确定 解析 asin A=2
3、 =1,122,即 asin Aasin B,则 AB,若 AB,则 sin Asin B 都成立 D.在ABC 中, = + + 解析由正弦定理易知 A,C,D 正确.对于 B,由 sin 2A=sin 2B,可得 A=B 或 2A+2B=,即 A=B 或 A+B= , 2 所以 a=b 或 a2+b2=c2,故 B 错误.故选 B. 答案 B 8.在ABC 中,a,b,c 分别是 A,B,C 所对的边.若A=105,B=45,b=2,则 c=,ABC 2 的面积为. 解析C=180-105-45=30.根据正弦定理,可知,解得 c=2.故ABC 的 = 2 2 45 = 30 面积为 S=
4、 bcsin A= 22sin 105 1 2 1 22 =2+1. 2 6 + 2 4 =3 答案 2+1 3 9.已知在ABC 中,BC=15,AC=10,A=60,则 cos B=. 解析由正弦定理得, = 所以 sin B=, = 10 3 2 15 = 3 3 因为 ACBC,所以 BA=60,则 B 为锐角,所以 cos B=. 1 - 2 = 6 3 答案 6 3 10.在ABC 中,若,则ABC 一定是三角形. 2 = 2 = 2 解析由正弦定理得, 2 = 2 = 2 所以 sin =sin =sin . 2 2 2 因为 0A,B,C,所以 0,所以,所以 A=B=C.故A
5、BC 为等边三角形. 2, 2, 2 2 2 = 2 = 2 答案等边 11.在ABC 中,a=2,c=,sin A+cos A=0,则角 B 的大小为. 2 解析因为角 A 是三角形的内角,所以 A(0,),又因为 sin A+cos A=0,所以有 tan A=-1,所以 A= ,由正 3 4 弦定理可知:sin C= ,因为 A= ,所以 C,因此 C= ,由三角形内角和定理 = 2 2 2 = 2 1 2 3 4 ( 0, 4) 6 可知:B=-A-C=. 12 答案 12 12.在ABC 中,求证:. - - = 证明因为在ABC 中,=2R, = = 所以左边= 2 - 2 2 -
6、 2 =右边. ( + ) - ( + ) - = = 所以等式成立,即. - - = 能力提升 1.在ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c=,A=45,B=75,则 a=() 3 A.B.C.1D.3 23 解析因为 A=45,B=75,所以 C=180-45-75=60,在ABC 中,所以 = a=.故选 A. 45 = 3 60 2 答案 A 2.满足条件 C=60,AB=,BC= 的ABC 有()个 3 9 5 A.0B.1C.2D.3 解析由于 BCsin C=,所以ABC 有两解.故选 C. 9 3 10 3 9 5 答案 C 3.在ABC 中,若=2 且BA
7、C=30,则ABC 的面积为() A.B.2C.D. 33 3 3 2 3 3 解析由=2,得 bccos 30=2,所以 bc=.由三角形面积公式得 S= bcsin A=.故选 4 3 1 2 1 2 4 3 1 2 = 3 3 C. 答案 C 4.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,acos B=(c-b)cos A,则角 A 的大小为() 2 A.B.C.D. 6 4 3 2 解析由正弦定理得 sin Acos B=(sin C-sin B)cos A,即 sin(A+B)=sin Ccos A,即 sin C=sin Ccos 222 A,也即 cos A=,故
8、A= .故选 B. 2 2 4 答案 B 5.如图,A,B 是半径为 1 的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,APB 是锐角,大小为 .图中PAB 的面 积的最大值为() A. sin +sin 2 1 2 B.sin + sin 2 1 2 C.+sin D.+cos 解析在ABP 中,由正弦定理可得,=2R=2,则 AB=2sin . SABC= ABh,当点 P 在 AB 的中垂线上时,h 取得最大值,此时ABP 的面积最大. 1 2 取 AB 的中点 C,过点 C 作 AB 的垂线,交圆于点 D,取圆心为 O, 则 OC=cos ( 为锐角),CD=DO+OC=1+cos . 2 -
9、2= 1 - 2 所以ABP 的面积最大为 S= ABDC= (2sin )(1+cos )=sin +sin cos =sin + sin 2.故选 B. 1 2 1 2 1 2 答案 B 6.在ABC 中,角 A 所对的边为 a,若 a=2,且ABC 的外接圆半径为 2,则 A=. 解析由正弦定理可得=4,所以 sin A=,0A,A=. 4 = 1 2 6或 5 6 答案 6或 5 6 7.已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连接 CD,则BDC 的面积是. 解析过点 A 作 BC 垂线,交 BC 于点 E,则 AE=,所以 sinABC=,则
10、 sinCBD=sin(-ABC)= 15 15 4 ,所以 SBCD= BDBCsinCBD= 22. 15 4 1 2 1 2 15 4 = 15 2 答案 15 2 8.在ABC 中,B=120,AB=,A 的角平分线 AD=,则 AC=. 23 解析如图,由正弦定理易得,即,故 sinADB=,即ADB=45. = 2 = 3 120 2 2 在ABC,已知B=120,ADB=45,即BAD=15.由于 AD 是BAC 的角平分线,故 BAC=2BAD=30.在ABC 中,B=120,BAC=30,易得ACB=30.在ABC 中,由正弦定 理得.即,故 AC=. = 120 = 2 3
11、0 6 答案 6 9.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 tan A= ,tan B= ,a=5. 4 3 1 3 (1)求 tan C; (2)求ABC 中的最长边. 解(1)因为 tan C=-tan(A+B)=-= + 1 - -=-3. 4 3 + 1 3 1 - 4 9 (2)由(1)知 C 为钝角,所以 C 为最大角, 因为 tan A= ,所以 sin A= . 4 3 4 5 又 tan C=-3,所以 sin C=. 3 10 10 由正弦定理得,所以 c=为最长边. 5 4 5 = 3 10 10 15 10 8 10.在ABC 中,角 A,B,C
12、的对边分别为 a,b,c,已知. 2 - = (1)求角 A 的大小; (2)设 a=2,b=3,求 sin(2B-A)的值. 2 解(1)由正弦定理可得, 2 - = 即 2sin Ccos A=sin Acos B+cos AsinB =sin(A+B)=sin C. 因为 sin C0,所以 cos A= . 1 2 又 A(0,),所以 A= . 3 (2)由正弦定理, 得 sin B=, = = 3 3 2 2 = 3 6 8 所以 cos B=. 1 - 2 10 8 所以 cos 2B=1-2sin2B=1-2=-, 37 32 11 16 sin 2B=2sin Bcos B=
13、. 3 15 16 当 sin 2B=时,sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=; 3 15 16 11 3 + 3 15 32 当 sin 2B=-时,sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=; 3 15 16 11 3 - 3 15 32 所以 sin(2B-A)=. 11 3 + 3 15 32 或 11 3 - 3 15 32 -1- 9.1.1正弦定理 课前篇自主预习 一、三角形的面积 1.思考 在ABC中,已知两边及这两边的夹角,能求出这个三角形的面积 吗? 提示:在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,边a,b,
14、c上的高分 别记为ha,hb,hc,则ha=bsin C=csin B,hb=csin A=asin C,hc=asin B=bsin A. 课前篇自主预习 2.填空 三角形面积公式的推广 答案:60或120 课前篇自主预习 二、正弦定理 1.思考 (1)在直角三角形中,你能由锐角正弦值的定义探究出角与边的等 式关系吗? 课前篇自主预习 (2)在锐角ABC中,以上关系式是否仍然成立? 课前篇自主预习 (3)在钝角ABC中,以上关系式是否仍然成立? 提示:在钝角ABC中,设C为钝角,如图,过点B作BDAC于点D, 则BD=asin(-C)=asin C, BD=csin A,故有asin C=c
15、sin A, 课前篇自主预习 课前篇自主预习 2.填空 (1)正弦定理的表示 课前篇自主预习 3.做一做 (1)判断正误. 正弦定理只适用于锐角三角形. () 正弦定理不适用于钝角三角形. () 在某一确定的三角形中,各边的长与它的对角的正弦的比是定 值. () 在ABC中,sin Asin Bsin C=abc. () 解析:正弦定理适用于任意三角形,故均不正确; 由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边的长与其所对角的正 弦的比就确定了,故正确; 由比例性质和正弦定理可推知正确. 答案: 课前篇自主预习 答案:C 课前篇自主预习 (3)在ABC中,ABC=411,则abc= () 答案:D
16、课前篇自主预习 三、解三角形 1.思考 从正弦定理的表达形式上,你能说明正弦定理的基本作用吗? 提示:(1)正弦定理说明在同一三角形中,各边的边长与其对角的 正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C; 从而知正弦定理的基本作用:利用正弦定理可以解决以下两类有关 三角形的问题: 已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角; 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他 的边和角. 课前篇自主预习 2.填空 习惯上,我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素.已 知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 课前篇自主预习
17、3.做一做 答案:D 课前篇自主预习 答案:45 课前篇自主预习 四、对三角形解的个数的判断 1.思考 (1)在ABC中,若AB,一定有sin Asin B吗?反之,若sin Asin B,一 定有AB吗? 提示:由AB,得ab, 所以2Rsin A2Rsin B,即sin Asin B; 由sin Asin B,得2Rsin A2Rsin B,即ab. 所以AB. (2)如何判断三角形解的个数?对于任意给定的a,b,A的值,能否确定 一个三角形? 提示:略 课前篇自主预习 2.填空 已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时三角形被 唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角
18、,此时可能 出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.现以已知 a,b和A解三角形为例予以说明: 课前篇自主预习 课前篇自主预习 课前篇自主预习 3.做一做 不解三角形,判断下列三角形解的个数. (1)a=5,b=4,A=120; (2)a=7,b=14,A=150; (3)a=9,b=10,A=60. 解:(1)A为钝角且ab, ABC有一解. (2)A为钝角且ab,ABC无解. (3)bsin Aab,ABC有两解. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 正弦定理的简单应用 例1(1)在ABC中,已知c=10,A=45,C=30,解这个三角形. 课堂
19、篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 反思感悟正弦定理的两个应用 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法:如果已知三角形的任意 两个角与一边解三角形时,由三角形内角和定理可以计算出三角形 的第三个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边. (2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法: 首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,若这个角不是直 角,则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角,当 已知的角为大边所对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角,当 已知的角为小边所对的角时,则不能判
20、断,此时就有两组解,再分别 求解即可;然后由三角形内角和定理求出第三个角;最后根据正弦 定理求出第三条边. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 变式训练1(1)在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则b等于() 答案:C A.30 B.45或135 C.60 D.135 答案:B 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 答案:15或105 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 求三角形的面积 课堂篇探究学习 探究一探究二探究
21、三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 判定三角形的形状 例3在ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,且sin A=2sin Bcos C.试判断 ABC的形状. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 反思感悟判断三角形的形状的方法 (1)判断三角形的形状,可以从考查三边的关系入手,也可以从三 个内角的关系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈 现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小,从而作出准确判 断.
22、(2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、 直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三 角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 变式训练3在ABC中,若b=acos C,试判断该三角形的形状. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 判断三角形解的个数 例4已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否 有解,有解的作出解答. (1)a=10,b=20,A=80; 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 反思感悟已知三角
23、形两边和其中一边的对角时,判断三角形解的 个数 已知三角形两边和其中一边的对角时,利用正弦定理求出另一边 对角的正弦值后,需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐 角、直角还是钝角,从而确定三角形有两解还是只有一解.也可以 用几何法来判断,即比较已知角的对边与另一边和该角正弦值乘积 的大小来确定解的个数. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 变式训练4(1)满足a=4,b=3,A=45的ABC的个数为 . 解析:因为A=453=b,所以ABC的个数为一个. 答案:1 (2)ABC中,a=x,b=2,B=45.若该三角形有两解,则x的取值范围是 . 课堂篇探究
24、学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 用正弦定理证明问题 例5在任意ABC中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-sin B)=0. 证明:由正弦定理,令a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,得 左边=k(sin Asin B-sin Asin C+sin Bsin C-sin Bsin A+sin Csin A-sin Csin B)=0=右边, 所以等式成立. 反思感悟边与角的互化方法 正弦定理的变形公式a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C(k0)能够使三角 形边与角的关系相互转化. 课堂篇
25、探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 变式训练5利用正弦定理证明定理:等腰三角形的两个底角相等. 证明:设等腰ABC的两边AB=AC, 所以sin C=sin B. 由于0B+C0), 判断此三角形解的个数. 解:由于b是不确定的边长,无法知道a与b的大小关系,即无法判断B 是锐角还是钝角,这就需要对x的取值进行分类讨论. 所以B有两种结果,此时ABC有两解. 当x=8时,sin B=1,则B=90,此时ABC有一解. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 综上可知:当0 x4或x=8时,ABC有一解;当4x8时,ABC无解. 解法二:
26、A=30,是锐角,分三种情况: 当a=bsin A或ab,即4=xsin 30或4x, 即x=8或0 x4时,三角形有一解. 当xsin 304x,即4x8时,三角形有两解. 当48时,三角形无解. 综上可知,当0 x4或x=8时,ABC有一解; 当4x8时,ABC无解. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 1.在ABC中,sin A=sin C,则ABC一定是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 答案:B 2.在ABC中,若ABC=123,则abc=() A.123 B.321 答案:C 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究
27、四探究五探究六思维辨析当堂检测 答案:75 4.已知ABC外接圆半径是2 cm,A=60,则BC边长为 . 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 第九章解三角形 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.2余弦定理余弦定理 课后篇课后篇巩固提升 基础巩固 1.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b=3,c=2,cos A= ,则 a=() 1 3 A.5B.C.4D.3 7 解析由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A=9+4-232 =9,解得 a=3.故选 D. 1 3 答案 D 2.在ABC 中,已知 a=2,则 bcos C+c
28、cos B 等于() A.1B.C.2D.4 2 解析 bcos C+ccos B=b+c=a=2. 2+ 2 - 2 2 2+ 2 - 2 2 = 22 2 答案 C 3.在ABC 中,已知 b2=ac 且 c=2a,则 cos B 等于() A.B.C.D. 1 4 3 4 2 4 2 3 解析因为 b2=ac,c=2a,所以 b2=2a2,b=a.所以 cos B=. 2 2+ 2 - 2 2 = 2+ 42 - 2 2 22 = 3 4 答案 B 4.在ABC 中,已知三个内角 A,B,C 满足 sin Asin Bsin C=654,则 cos B=() A.B.C.D. 9 16
29、3 4 5 7 16 7 4 解析根据正弦定理可知 sin Asin Bsin C=abc=654,所以设 a=6k,b=5k,c=4k.所以由余弦 定理得 cos B=.故选 A. 2+ 2 - 2 2 = (6)2+ (4)2- (5)2 2 6 4 = 9 16 答案 A 5.已知 a,b,c 为ABC 的三边长,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则 C 的大小为() A.60B.90C.120D.150 解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab, 所以 a2+b2-c2=-ab, 即=- , 2+ 2 - 2 2 1 2 所以 cos C=- ,所以 C=120. 1 2 答
30、案 C 6.在ABC 中,sin2(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对应边),则ABC 的形状为() 2 = - 2 A.正三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形 解析因为 sin2, 2 = 1 - 2 = - 2 所以 cos A=a2+b2=c2,符合勾股定理.故ABC 为直角三角形. = 2+ 2 - 2 2 答案 B 7.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin Bsin C=357,那么这个三角形最大 角的度数是() A.135B.90C.120D.150 解析因为 sin Asin Bsin C=357,设 a=3k(k0
31、),则 b=5k,c=7k.由大边对大角定理可知,角 C 是 最大角,由余弦定理得 cos C=- ,因为 0C0,所以 a ,最大边为 2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以 a2+(2a-1)2(2a+1)2,化简 1 2 得 0a2a+1, 所以 a2,所以 2a8. 答案(2,8) 12.在ABC 中,求证:. 2 - 2 2 = ( - ) 证明右边= - =cos B-cos A = 2+ 2 - 2 2 2+ 2 - 2 2 = 2+ 2 - 2 22 2+ 2 - 2 22 = 2 - 2 2 =左边. 所以. 2 - 2 2 = ( - ) 能力提升 1.在ABC 中,已知
32、c=3,b=2,a=,则() 10 A.cos A= 1 4 B.SABC= 3 15 4 C.cos B=- 10 4 D.=- 3 2 解析因为=|cos ,由向量模的定义和余弦定理可以得出|=3,|=2, , 则 cos =, , 2+ 2 - 2 2 = 1 4 即 cos A= ,故 A 正确; 1 4 sin A=,则 cos B=.故 C 错误; 15 4 32+ ( 10)2 - 2 2 2 3 10 = 10 4 则 SABC= bcsin A= 23.故 B 正确; 1 2 1 2 15 4 = 3 15 4 =32.故 D 错误. 1 4 = 3 2 综上,AB 正确.
33、答案 AB 2.ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若C=120,c=a,则() 2 A.ab B.ab2,所以 ab.故选 A. 答案 A 3.在ABC 中,已知 2A=B+C,且 a2=bc,则ABC 的形状是() A.两直角边不等的直角三角形 B.顶角不等于 90或 60的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析解法 1:由 2A=B+C,知 A=60. 又 cos A=,所以. 2+ 2 - 2 2 1 2 = 2+ 2 - 2 所以 b2+c2-2bc=0.即(b-c)2=0,所以 b=c. 故ABC 为等边三角形. 解法 2:验证四个选项知 C 成
34、立. 答案 C 4.在ABC 中,已知 AB=3,BC=,AC=4,则边 AC 上的高为() 13 A.B. 3 2 2 3 3 2 C.D.3 3 23 解析如图,在ABC 中,BD 为 AC 边上的高,且 AB=3,BC=,AC=4. 13 因为 cos A=,所以 sin A=.故 BD=ABsin A=3. 32+ 42- ( 13)2 2 3 4 = 1 2 3 2 3 2 = 3 3 2 答案 B 5.已知ABC 中,A,B,C 的对边的长分别为 a,b,c,A=120,a=,ABC 的面积为,则 c+b=() 213 A.4.5B.4 2 C.5D.6 解析由三角形的面积公式可得
35、 SABC= bcsin A= bcbc=,bc=4.由余弦定理得 a2=b2+c2- 1 2 1 2 3 2 = 3 43 2bccos A,即 b2+c2-24=21,得 b2+c2=17. (- 1 2) 所以(b+c)2=b2+c2+2bc=17+24=25,因此,c+b=5.故选 C. 答案 C 6.如果将直角三角形的三边都增加 1 个单位长度,那么新三角形() A.一定是锐角三角形B.一定是钝角三角形 C.一定是直角三角形D.形状无法确定 解析设原直角三角形 C 为直角,三边都增加 1 后 . cos C=0, ( + 1)2+ ( + 1)2- ( + 1)2 2( + 1)(
36、+ 1) = 2 + 2 - 2 + 1 2( + 1)( + 1) 所以最大角为锐角,所以三角形为锐角三角形.故选 A. 答案 A 7.在ABC 中,AB=2,AC=,BC=1+,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是. 63 解析因为 cos C=, 2+ 2 - 2 2 = 2 2 所以 sin C=.所以 AD=ACsin C=. 2 23 答案 3 8.在ABC 中,sin ,AB=5,BC=1,则 AC=. 2 = 2 5 5 解析由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,又 cos B=1-2sin2=1-2 =- . 2 4 5 3 5 故 AC2=25+
37、1-251=32, (- 3 5) 所以 AC=4. 2 答案 4 2 9.ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=7,c=5,A=600. (1)求 cos C; (2)求ABC 的面积. 分析(1)利用余弦定理可构造方程求得 b;利用余弦定理求得 cos C;(2)根据三角形面积公式可直接求 得结果. 解(1)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+25-5b=49, 解得 b=-3(舍)或 b=8. 故由余弦定理得 cos C=. 2+ 2 - 2 2 = 49 + 64 - 25 2 7 8 = 11 14 (2)由(1)得 SABC= bc
38、sin A 1 2 = 85sin 60=10. 1 23 10.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=3,a+c=3,sin C=2sin A. 5 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin的值. (2 + 4) 分析(1)利用正弦定理可得 c=2a,从而可求出 a,c. (2)利用余弦定理可计算出 cos B,再利用同角的三角函数的基本关系式可求 sin B,利用二倍角公 式可求 2B 的正弦与余弦,最后利用两角和的正弦公式可求 sin. (2 + 4) 解(1)由正弦定理及 sin C=2sin A,得 c=2a. = 因为 a+c=3, 5 所以 a=,
39、c=2. 55 (2)因为由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 所以 cos B= . 4 5 因为 B 是三角形内角, 所以 0B, 所以 sin B=, 1 - 2 = 3 5 所以 sin 2B=2sin Bcos B=, 24 25 cos 2B=2cos2B-1=, 7 25 所以 sin=sin 2Bcos +cos 2Bsin (2 + 4) 4 4 =sin 2B+cos 2B=. 2 2 2 2 31 2 50 -1- 9.1.2余弦定理 课前篇自主预习 一、余弦定理及其证明 1.思考 (1)余弦定理是如何证明的? 提示:证法1 课本使用了向量的方法推导出了余弦
40、定理, 所以|c|2=cc=(b-a)2=a2-2ab+b2 =a2-2|a|b|cos C+b2, 所以c2=a2+b2-2abcos C. 课前篇自主预习 证法2 (勾股定理法)在ABC中,已知边a,b及角C,求边c的长. 如果C=90,那么可以用勾股定理求c的长; 如果C90,那么是否仍可以用勾股定理来解呢? 很自然的想法是构造直角三角形,以便于应用勾股定理进行计算. 当C为锐角时(图),高AD把ABC分成两个直角三角形ADB和 ADC;当C为钝角时(图),作高AD,则构造了两个直角三角形ADB 和ADC,算出c的关键是先算出AD和BD(或DC). AD=bsin C,DC=bcos C
41、,BD=a-bcos C. 在RtADB中,运用勾股定理,得 c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcos C)2 =a2+b2-2abcos C. 同理可得 b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 课前篇自主预习 证法3 利用坐标法证明 如图,建立直角坐标系, 则A(0,0),B(ccos A,csin A),C(b,0)(写出三点的坐标). 所以a2=b2+c2-2bccos A. 课前篇自主预习 证法4 (用正弦定理证明) 因为a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 所以b2+c2-2bccos A=4R2(sin2B+s
42、in2C-2sin Bsin Ccos A) =4R2sin2B+sin2C+2sin Bsin Ccos(B+C) =4R2sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sin Bsin Ccos Bcos C =4R2sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sin Bsin Ccos Bcos C =4R2sin2Bcos2C+sin2Ccos2B+2sin Bsin Ccos Bcos C =4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2. 同理可证b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 课前篇自主预习 (2)勾股定理和余弦定
43、理的联系与区别? 提示:二者都反映了三角形三边之间的平方关系,其中余弦定理反 映了任意三角形中三边平方间的关系,勾股定理反映了直角三角形 中三边平方间的关系,是余弦定理的特例. 课前篇自主预习 2.填空 余弦定理的表示及其推论 课前篇自主预习 3.做一做 (1)判断正误. 余弦定理只适用于锐角三角形. () 余弦定理不适用于钝角三角形. () 已知两边和这两边的夹角,则这个三角形确定了. () 已知三边,则这个三角形确定了. () 解析:余弦定理适用于任意三角形,故均不正确;根据余弦定理, 已知两边和这两边的夹角,或已知三边则这个三角形确定了,故 正确. 答案: 课前篇自主预习 答案:B (3
44、)在ABC中,若a2=b2+bc+c2,则A=. 课前篇自主预习 (4)在ABC中,AB=4,BC=3,B=60,则AC等于. 课前篇自主预习 二、用余弦定理解三角形的问题 1.思考 (1)已知三角形的两边a,b及一边a的对角A解三角形,有几种方法? 提示:不妨设已知a,b,A, 形内角和定理求得C,最后求得边c. 方法二:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得边c,而后由余弦或正弦定 理求得B,C. 课前篇自主预习 (2)使用余弦定理有哪些注意事项? 提示:使用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式. 一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用定理的推论. 余弦定理及其推论
45、在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形 时要根据条件灵活选择. 余弦定理及其推论将用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角 形全等的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的 公式. 要注意正弦定理或余弦定理结合使用,同时,要注意三角公式的 应用. 课前篇自主预习 利用余弦定理求三角形内角时,一般先求小角,后求大角. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,也可以使用余 弦定理.如已知a,b,A,可先由余弦定理求出c,即a2=b2+c2-2bccos A.此 时,边c的解的个数对应三角形解的个数. 在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以 知三求一. 利用余弦定
46、理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理 中涉及的是边长的平方,通常转化为一元二次方程求正实数.因此 解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件. 课前篇自主预习 2.填空 利用余弦定理可以解决以下两类问题: (1)已知两边及夹角解三角形; (2)已知三边解三角形. 课前篇自主预习 3.做一做 A.4B.8C.4或8D.无解 答案:C 课前篇自主预习 答案:D 课前篇自主预习 (3)在边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是 . 解析:设第三个角为,由于875,故的对边长为7,由余弦定理, 答案:120 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测
47、已知两边和一角解三角形 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 反思感悟已知两边及一角解三角形的方法 (1)当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求解出第三边,再用正 弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一解. (2)当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元二次方 程,解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情况 的讨论. 利用余弦定理求解相对简便. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 变式训练1(1)已知ABC中,a=1,b=1,C=1
48、20,则边c= . 答案:4或5 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 已知三边解三角形 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 反思感悟已知三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用 余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后 利用三角形的内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求三角的余弦,进而求得三个角. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探
49、究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 判定三角形的形状 例3在ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断ABC的形 状. 解:解法一:因为b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C, 所以利用正弦定理可得 sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C, 因为sin Bsin C0,所以sin Bsin C=cos Bcos C, 所以cos(B+C)=0,所以cos A=0, 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探
50、究六思维辨析当堂检测 解法二:已知等式可化为 b2-b2cos2C+c2-c2cos2B=2bccos Bcos C, 由余弦定理可得 所以b2+c2=a2,所以ABC为直角三角形. 解法三:已知等式变形为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C, 所以b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C, 因为b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C =(bcos C+ccos B)2=a2, 所以b2+c2=a2,所以ABC为直角三角形. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 反思感悟判
