1、-1- 11.4.2平面与平面垂直 -2- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习 -3- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 一、二面角 1.思考 (1)二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关? 提示:无关.如图, 根据等角定理可知,AOB=AOB,即二面角平面角的大小与角 的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关. -4- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (2)随手打开一本书,发现每两页之间所在的平面也形成一个角度; 修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的 角度.
2、根据以上叙述,你发现两平面形成的角有何特点? 提示:可以是锐角、直角、钝角、平角. 两个半平面形成的二面角可以为0角吗? 提示:可以. 两个半平面成二面角的范围是什么? 提示:0,180. -5- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2.填空 -6- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 -7- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4 个二面角中,不大于90的角的大小. -8- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究
3、学习课前篇自主预习 3.做一做 判断正误. (1)两个相交平面组成的图形叫做二面角. ( ) (2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的 角与这个二面角的平面角相等或互补. ( ) (3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线 所成角的最小角. ( ) (4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( ) 解析:(1)不符合二面角定义;(3)两射线重合于棱时是最小角,即0.故 (1)(3)不正确,由二面角定义知(2)(4)正确. 答案:(1)(2)(3)(4) -9- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习
4、 二、两个平面垂直及其判定定理、性质定理 1.思考 (1)两个平面有夹角吗?是如何刻画的? 提示:如图所示两半平面,交线为l,在l上任取一点E,在内作 AEl,在内作BEl,则AEB的大小就能够刻画平面的夹角.特殊 地,当AEB=90时. (2)过平面的一条垂线能作多少个平面与平面垂直? 提示:无数个. (3)经过平面的一条斜线与该平面垂直的平面有多少个? 提示:只有一个. (4)两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置 关系是怎样的? 提示:两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的 位置关系可能是平行,也可能是相交,还可能是在平面内. -10- 11.4.2平面与
5、平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2.填空 定义:一般地,如果两个平面与所成角的大小为90,则称这两个平 面互相垂直,记作. -11- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做一做 (1)如图所示,已知AB平面BCD,BCCD,则图中互相垂直的平面 共有()对. A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 解析:AB平面BCD,且AB平面ABC和AB平面ABD, 平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD. AB平面BCD,ABCD. 又BCCD,ABBC=B,CD平面ABC. CD平面ACD,平面ABC平面ACD. 故图中平面ABC平面B
6、CD,平面ABD平面BCD,平面ABC平面 ACD. 答案:C -12- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD平面BDD1B1. 证明:BB1AB,BB1BC,ABBC=B, BB1平面ABCD.又BB1平面BDD1B1, 平面ABCD平面BDD1B1. -13- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 求二面角的大小求二面角的大小 例1四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD,且PA=AB.求： (1)二面角A-PD-C的
7、平面角的度数; (2) 二面角B-PA-D的平面角的度数; (3)二面角B-PA-C的平面角的度数; (4)二面角B-PC-D的平面角的度数. -14- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 解:(1)因为PA平面ABCD,所以PACD. 因为四边形ABCD为正方形,所以CDAD. 又PAAD=A,所以CD平面PAD. 又CD平面PCD,所以平面PAD平面PCD. 所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90. (2)因为PA平面ABCD,所以ABPA,ADPA. 所以BAD为二面角B-PA-D的平面角. 又由题意知BA
8、D=90, 所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90. (3)因为PA平面ABCD,所以ABPA,ACPA. 所以BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形,所以BAC=45. 所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45. -15- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 (4)作BEPC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图. 由题意知PBC PDC,则BPE=DPE, 从而PBE PDE. 所以DEP=BEP=90,且BE=DE. 所以BED为二面角B-PC-D的平面角.
9、又PA平面ABCD,所以PABC. 又ABBC,PAAB=A,所以BC平面PAB.所以BCPB. 设AB=a,则PA=AB=BC=a, -16- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 反思感悟作二面角的平面角的方法 方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分 别作垂直于棱的射线. 如图所示,AOB为二面角-a-的平面角. 方法二(垂线法):过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线, 过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角. 如图所示,AFE为二面角A-BC-D的平面角. -17
10、- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两 个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角. 如图所示,AOB为二面角-l-的平面角. -18- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练1(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两 个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是() A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.大小关系不确定 解析:可作出这两个二面角的
11、平面角,易知这两个平面角的两边分 别平行,故这两个二面角相等或互补. 答案:C -19- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 (2)已知RtABC,斜边BC,点A,AO,O为垂 足,ABO=30,ACO=45,求二面角A-BC-O的大小. 解:如图所示,在平面内,过点O作ODBC,垂足为点D,连接AD. 设OC=a, AO,BC, AOBC.又AOOD=O,BC平面AOD. AD平面AOD, ADBC,ADO是二面角A-BC-O的平面角. 由AO,OB,OC知AOOB,AOOC. 又ABO=30,ACO=45, -2
12、0- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 -21- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 面面垂直的判定面面垂直的判定 例2如图所示,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC. 求证:平面ABC平面SBC. -22- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 则ADBC,SDBC,ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在RtBSC中,SB=SC=a, 在
13、ADS中,SD2+AD2=SA2, ADS=90,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC平面SBC. 证明:方法一:(利用定义证明) BSA=CSA=60,SA=SB=SC, ASB和ASC是等边三角形, 令SA=SB=SC=AB=AC=a, 则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD, -23- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 方法二:(利用判定定理) SA=SB=SC,且BSA=CSA=60, SA=AB=AC, 点A在平面SBC上的射影为SBC的外心. SBC
14、为直角三角形, 点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点, AD平面SBC. 又AD平面ABC,平面ABC平面SBC. 反思感悟证明:面面垂直的方法 (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂 直,即把问题转化为“线面垂直”; (3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也 垂直于此平面. -24- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱C
15、C1的中点.证明:平面ABM平面 A1B1M. -25- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 证明:由长方体的性质可知A1B1平面BCC1B1, 又BM平面BCC1B1,所以A1B1BM. 又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1. 又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2, 从而BMB1M. 又A1B1B1M=B,所以BM平面A1B1M, 因为BM平面ABM,所以平面ABM平面A1B1M. -26- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维
16、辨析当堂检测 面面垂直的性质面面垂直的性质 例3如图,AB是O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面 PAC平面ABC. (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明. (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系. -27- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 解:(1)BC平面PAC. 证明:因为AB是O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以 ACB=90,所以BCAC. 又因为平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,BC平面ABC, 所以BC平面PAC. (2)因为BC平面PBC,所以平
17、面PBC平面PAC. -28- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练3如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面内,且ACPC,平 面PAC平面PBC,P,A,B均是定点,则动点C运动形成的图形是 ( ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 -29- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 解析:因为平面PAC平面PBC,ACPC,AC平面PAC,且平面 PAC平面PBC=PC, 所以AC平面PBC. 又因为
18、BC平面PBC, 所以ACBC,所以ACB=90, 所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆, 除去A和B两点,故选D. 答案:D -30- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 探索型问题探索型问题 例4在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱 BB1上找到一点E,恰使截面A1EC侧面AA1C1C?若能,指出点E的位 置,并求解;若不能,请说明理由. 解:如图,作EMA1C于点M, 因为截面A1EC平面AA1C1C, 所以EM平面AA1C1C. 取AC的中点N,连接BN,MN. 因
19、为AB=BC,所以BNAC. 而AA1平面ABC,AA1平面AA1C1C, 所以平面ABC平面AA1C1C,且交于AC, 所以BN平面AA1C1C. 所以BNEM,BNMN. -31- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 又BE平面AA1C1C,平面BEMN平面AA1C1C=MN, 所以BEMNA1A. 所以四边形BEMN为平行四边形. 因为AN=NC,所以A1M=MC. 即E为BB1的中点时,平面A1EC平面AA1C1C. -32- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究
20、二探究三探究四思维辨析当堂检测 反思感悟1.垂直关系的相互转化 2.探究型问题的两种解题方法 (1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件. (2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾, 否定假设,确定使结论成立的条件不存在. -33- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 (1)求证:不论为何值,总有平面BEF平面ABC. (2)当为何值时,平面BEF平面ACD. -34- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检
21、测 (1)证明:因为AB平面BCD, 所以ABCD. 因为CDBC,且ABBC=B, 所以CD平面ABC. 所以不论为何值,恒有EFCD. 所以EF平面ABC,EF平面BEF. 所以不论为何值,恒有平面BEF平面ABC. -35- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 (2)解:由(1)知,BEEF, 因为平面BEF平面ACD, 所以BE平面ACD,所以BEAC. 因为BC=CD=1,BCD=90,ADB=60, -36- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四
22、思维辨析当堂检测 忽略了几何体的所属范围而至误 典例已知在四边形ABCD中,四个角ABC,BCD,CDA,DAB 都是直角.求证:四边形ABCD是矩形. 正解:(1)当四边形ABCD是平面四边形时,易得其是矩形. (2)若四边形ABCD是空间四边形,可设点C在平面ABD之外,如图所 示,设C是点C在平面ABD内的射影, 因为AD平面ABD,CC平面ABD,所以CCAD.又 CDAD,CCCD=C,所以AD平面CCD, 所以CDAD.同理CBAB. -37- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 连接BD,在BCD中,B
23、CD=90, 故CD2+CB2=BD2. 在平面四边形ABCD中, 因为DAB=ABC=ADC=90, 所以BCD=90, 所以CD2+CB2=BD2. 将代入得BD2BD2,矛盾,故四边形ABCD不可能是空间四边 形,只能是平面四边形, 所以四边形ABCD是矩形. -38- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 易错防范1.要克服上述错误,一定要将有关定理或性质的适用条件 及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证. 2.涉及空间中讨论问题,不能仅局限于初中所学平面几何的范畴.一 些平面几何中的结论也不能随意照搬
24、到立体几何中. -39- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练4如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正 方形,则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗? 解:四边形ABCD是正方形, ACBD. BB1底面ABCD,ACB1B. B1BBD=B,AC对角面BB1D1D. 又AC截面ACB1, 截面ACB1对角面BB1D1D. -40- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 1.直线l平面,l平面,则与的位置关
25、系是() A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直 D.相交不垂直 解析:由面面垂直的判定定理,得与垂直. 答案:C 2.过两点与已知平面垂直的平面有() A.一个 B.无数个 C.一个或无数个D.可能不存在 解析:当两点连线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面垂直;当 两点连接与平面不垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂直. 答案:C -41- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的大小是 . 解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面
26、AD1,则ABAD1.又 ABAD,所以D1AD为二面角D1-AB-D的平面角,在RtD1AD 中,D1AD=45. 答案:45 -42- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 4.如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,将ABC 沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD平面ACD,则折叠后BC= . 解析:因为在ABC中,ADBC, 所以折叠后有ADBD,ADCD, 所以BDC是二面角B-AD-C的平面角. 因为平面ABD平面ACD,所以BDC=90. 答案:1 -43- 11.4.2平面与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 5.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC底 面ABCD,求证:平面SCD平面SBC. 证明:底面ABCD是矩形,BCCD. 又平面SDC平面ABCD, 平面SDC平面ABCD=CD,BC平面ABCD, BC平面SCD. 又BC平面SBC,平面SCD平面SBC.
