1、10.2.2复数的乘法与除法 一、复数的乘法 1.思考 如何规定两复数相乘? 提示:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR), 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换 成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.即 z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i. 2.填空 (1)复数的乘法法则 一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),称z1z2(或z1z2)为z1与z2的积, 并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i,
2、(2)复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3C,有 (3)常见结论: 可以验证,当m,n均为正整数时, 需要说明的是,以前我们所学过的完全平方公式、平方差公式等, 对于复数来说也是成立的,即 等式两边同时乘上一个复数等式仍成立,即当z1=z2时,必定有 z1z=z2z. in的周期性与n(nN*)的性质 (i)in(nN*)的性质 根据复数乘法法则,容易得到i的n次幂的计算法则, (ii)n(nN*)的性质 1的三次虚数根的性质,由方程x3-1=0,得 具有周期性,解题时要灵活应用,适当变形,巧用的性质,从而达到 事半功倍的效果. 3.做一做 (1)复数i(2-i)=() A.1+2i
3、B.1-2i C.-1+2iD.-1-2i 答案:A (2)若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1 z2=() A.4+2i B.2+i C.2+2iD.3+4i 答案:A (3)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于 () 解析:(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,mR,得m3+1=0,即 m=-1. 答案:B 二、复数的除法 1.思考 如何规定两复数相除? 2.填空 (1)复数的除法法则 如果复数z20,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作 而且同以前一样,z1称为被除数,z2称为除数. 一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(
4、a,b,c,dR,c+di0),则 点睛在进行复数除法时,分子、分母同乘分母的共轭复数c-di,化简 后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的 分母有理化很类似. (2)常见结论: 当为非零复数时,有 答案:B 答案:B 答案:C 三、实系数一元二次方程在复数范围内的解 1.思考 方程x2+1=0在实数范围内没有根,但在复数范围内有两个根i,那 么关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)当0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当=b2-4ac0时,方程有两个互为共轭的虚数根. 3.做一做 (1)在复数范围内,方程x2+
5、x+1的根为() 答案:C (2)在复数范围内,方程2x2-2x+3=0的根为. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 复数的乘法运算复数的乘法运算 例1计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2. 解:(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5; (2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i. 反思感悟1.复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行,注意选用 恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等. 2.像3+4i和3-4i这样的两个复数叫做互为共轭复数,其形态特征为 a+bi和a-bi,其数值特征为(a+bi)(a-b
6、i)=a2+b2. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练1计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i); (2)(3+4i)(3-4i); (3)(1+i)2. 解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-20+15i. (2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25. (3)(1+i)2=1+2i+i2=2i. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 复数的除法运算复数的除法运算 例2计算:(1)(1+2i)(3-4i); 反思感悟复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是 分母与分子同时乘分母的共轭复
7、数,若分母是纯虚数,则只需同时 乘i). 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 虚数单位虚数单位i的的幂幂值值的的周期性周期性 例3计算i+i2+i3+i2 020. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 2.记住以下结果,可提高运算速度 (1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i. 延伸探究计算i+i2+i3+i2 021. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 答案:0 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 解解复数方程复数方程 例4(1)在复数范围内求方程x2-x+3=0的解集. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 (2
8、)1+i是方程x2+bx+c=0的根, (1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0, 故b的值为-2,c的值为2. 由(1)方程可化为x2-2x+2=0, 把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立, x=1-i也是方程的根. (2)已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). 求b,c的值; 试判断x=1-i是否是方程的根. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 反思感悟一元二次方程中,若判别式0,方程有两个互为共轭复数 的根,根与系数关系仍适用. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 代入
9、,得z2+(2-3i)z+1-3i=0, 即(z+1)(z+1-3i)=0, z=-1或z=-1+3i. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 方程根中的“数学运算” 在复数范围内求方程的根或已知方程的根求解参数时,常常会涉及 复数的平方运算、加减运算、复数相等的充要条件等,这时就会利 用到“数学运算”的核心素养. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 (2)证明:原方程化为x2-ax+ab=0, 假设原方程有实数解, 那么=(-a)2-4ab0,即a24ab. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 1.(1+3i)(1-i)=() A.4+2i B.2+4iC.-2+2i D.2-2i 解析:(1+3i)(1-i)=1-i+3i-3i2=4+2i.故选A. 答案:A 答案:C 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 4.已知复数x满足x2-2x=-2,则x=. 解析:由x2-2x=-2,得x2-2x+2=0, 答案:1I 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测
