1、A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1若|a|2，|b| ， a，b60，则 ab 等于() 1 2 A.B. 1 2 1 4 C1D2 答案A 解析ab|a|b|cosa，b2 . 1 2 1 2 1 2 2在 RtABC 中，C90，AC4，则等于() AB AC A16B8 C8D16 答案D 解析解法一：|cosA，ACB 为直角三角形，| AB AC AB AC AB AC |216.故选 D. AB AC |AC | |AB |AC 解法二：ACB 为直角三角形，在上的投影为， AB AC AC AB AC 216. AC 3下面给出的关系式中正确的个数是() 0a0；abba；
2、a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2. A1B2 C3D4 答案C 解析正确，错误，(ab)2(|a|b|cos)2a2b2cos2a2b2. 4向量 a 的模为 10，它与 x 轴正方向的夹角为 150，则它在 x 轴正方向 上的投影的数量为() A5B5 3 C5D5 3 答案A 解析a 在 x 轴正方向上的投影的数量为|a|cos1505. 3 5关于菱形 ABCD 的下列说法中，不正确的是() A. AB CD B()() AB BC BC CD C()()0 AB AD BA BC D. AB AD BC CD 答案D 解析四边形 ABCD 为菱 形，ABCD，A 正确；对
3、角线 AB CD AC 与 BD 互相垂直，且，即() AB BC AC BC CD BD AC BD AB BC ()，B 正确；， BC CD AB AD DB BA BC CA DB CA 即0，()()0，C 正确；易知，180 DB CA AB AD BA BC AB AD ， ，且|，D 错误故选 D. BC CD AB AD BC CD AB AD BC CD 二、填空题 6ABC 中，A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，a3，b1，C30，则等于_ BC CA 答案 3 3 2 解析|cos(18030) BC CA BC CA abcos150. 3 3 2 7若|a|2
4、，b2a，则 ab_. 答案8 解析|b|2|a|4，且 b 与 a 反向，a，b180. ab|a|b|cos18024(1)8. 8给出下列命题： 若 a0，则对任一向量 b，有 ab0； 若 a0，则对任意一个非零向量 b，有 ab0； 若 a0，ab0，则 b0； 若 ab0，则 a，b 至少有一个为 0； 若 a0，abac，则 bc； 若 abac，且 bc，当且仅当 a0 时成立 其中真命题为_ 答案 解析由数量积的定义逐一判断可知，只有正确 三、解答题 9已知正方形 ABCD 的边长为 1，分别求： (1)； AB CD (2)； AB AD (3). AC DA 解如图， (
5、1)，1. AB CD AB CD (2)， ，0. AB AD 2 AB AD (3)， AC DA 3 4 1cos1. AC DA 2 3 4 10已知ABC 的面积 S 满足S3，且6，与的夹角为 3 AB BC AB BC .求 的取值范围 解|cos60， AB BC AB BC cos0， 为锐角， 如图，过 C 作 CDAB，垂足为 D， 则|CD|BC|sin. 由题意， |cos6， AB BC AB BC S |AB|CD| 1 2 |sin. 1 2 AB BC 由得 tan，即 3tanS. S 6 1 2 S3，3tan3，即tan1. 33 3 3 又 为与的夹角
6、，0， AB BC . 6， 4 B 级：“四能”提升训练 1给出下列命题： 在ABC 中，若0，则ABC 是钝角三角形； AB BC ABC 是直角三角形0. AB BC 其中，正确命题的序号是_ 答案 解析利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是 钝角 0， AB BC BA BC AB BC B 是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角 所以推不出ABC 是锐角三角形 故命题是假命题 0，0， AB BC BA BC AB BC B 是钝角，因而ABC 是钝角三角形故命题是真命题 若ABC 是直角三角形，则直角可以是A，也可以是B，C. 而0 仅能保证B 是直角故命题是
7、假命题 AB BC 2已知 a，b 是两个非零向量 (1)若|a|3，|b|4，|ab|6，求 a 与 b 的夹角； (2)若|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角 解(1)ab|a|b|cosa，b ， |ab|a|b|cosa，b| |a|b|cosa，b|6. 又|a|3，|b|4， |cosa，b| ， 6 |a|b| 6 3 4 1 2 cosa，b . 1 2 a，b0，a 与 b 的夹角为 或. 3 2 3 (2)如图所示，在平面内取一点 O，作a，b，以，为邻边作 OA OB OA OB 平行四边形 OACB，使|，所以四边形 OACB 为菱形，OC 平分 OA OB AO
8、B，这时ab，ab. OC BA 由于|a|b|ab|，即|，所以AOC ，即 a 与 ab 的 OA OB AB 6 夹角为 . 6 课后课时精练课后课时精练 点击进入点击进入WordWord文稿文稿 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 11 答案答案 12 答案答案 13 答案答案 14 答案答案 15 答案答案 16 解析解析 17 答案答案 18 答案答案 19 答案答案 本课结束本课结束 8.1.1向量数量积的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过物理中功等
9、实例，理解平面向量数量积的概念及其物理 意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以 及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义 教学难点：向量的投影及数量积的几何意义. 【知识导学】 知识点一两个向量的夹角 (1)定义：给定两个非零向量 a，b(如图所示)，在平面内任选一点 O，作 01 a，b，则称0，内的AOB 为向量 a 与向量 b 的夹角，记作 OA OB 02 a，b 03 (2)规定0a，b.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了， 04 并且有a，bb，a 05 (3)垂直：当a，b时，称向
10、量 a 和向量 b 互相垂直，记作ab. 06 2 07 在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直 08 (4)当a，b0 时，a 与 b 同向； 09 当a，b 时，a 与 b 反向； 10 当a，b或 a 与 b 中至少有一个为零向量时，ab. 11 2 知识点二向量数量积(内积)的定义 一般地，当 a 与 b 都是非零向量时，称|a|b|cosa，b为向量 a 和 b 的 01 数量积(也称为内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cosa，b 02 由定义可知，两个非零向量 a 与 b 的数量积是一个实数 知识点三平面向量的数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量，则 aeea|a|c
11、osa，e 01 (2)abab0，且ab0ab. 02 03 (3)aa|a|2，即|a|. 04 05 aa (4)cosa，b(|a|b|0) 06 ab |a|b| (5)|ab|a|b|，当且仅当 ab 时等号成立 07 知识点四向量的投影 如图 1，设非零向量a，过 A，B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 AB A，B，则称向量为向量 a 在直线 l 上的投影向量或投影 AB 01 类似地，给定平面上的一个非零向量 b，设 b 所在的直线为 l，则 a 在直线 l 上的投影称为 a 在向量 b 上的投影如图 2 中，向量 a 在向量 b 上的投影为 02 .可以看出，一个向量在
12、一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量 03 AB 共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反 04 05 06 知识点五向量数量积的几何意义 如图(1)(2)(3)所示 当a，b 时，的方向与 b 的方向相反，而且 2 AB 04 |a|cosa，b AB 05 一般地，如果 a，b 都是非零向量，则称|a|cosa，b为向量 a 在向量 06 b 上的投影的数量投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是 非负数，也可能是负数 07 08 两个非零向量 a，b 的数量积 ab，等于 a 在向量 b 上的投影的数量与 b 的 模的乘积这就是两个向量数量积的几何意义 【新知拓展】 1
13、a 在 b 方向上的投影的数量也可以写成，它的符号取决于角 的余弦 ab |b| 值 2在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 0 180. 3ab 的符号与 a 与 b 的夹角 的关系 设两个非零向量 a 与 b 的夹角为 ，则 (1)若 ab0 为锐角或零角 当 0时，a 与 b 共线同向，ab0. (2)ab0 或 a 与 b 中至少有一个为 0. 2 (3)ab0 为钝角或平角， 当 180时，a 与 b 共线反向，ab0(0)，向量夹角 不一定为锐角(钝角) 4向量的数量积 ab|a|b|cos 的主要应用 (1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向
14、量的夹角 由向量的方向确定) (2)利用公式变式 cos求夹角，应正确求出两个整体：数量积 ab 与 ab |a|b| 模积|a|b|，同时注意 0， (3)利用 ab0 证明垂直问题 1判一判(正确的打“” ，错误的打“”) (1)若 ab0，则 ab.() (2)两个向量的数量积是一个向量() (3)当 ab 时，|ab|a|b|.() 答案(1)(2)(3) 2做一做 (1)已知向量 a 与轴 l 的夹角为 30且|a|，则 a 在轴 l 上的投影的数量为 3 _ (2)已知|a|4，|b|2，且 a 与 b 的夹角为 135，则 ab_. 2 (3)在直角坐标系 xOy 内，已知向量与
15、 x 轴和 y 轴正向的夹角分别为 120 AB 和 30，则在 x 轴、y 轴上的投影的数量分别为_和_ BA 答案(1) (2)8(3) | 3 2 1 2 AB 3 2 AB 题型一 两个向量的夹角 例 1已知向量 a，b 的夹角为 60，试求下列向量的夹角： (1)a，b；(2)2a， b. 2 3 解如图，由向量夹角的定义可知： (1)向量a，b 的夹角为 120. (2)向量 2a， b 的夹角为 60. 2 3 金版点睛 (1)向量的夹角是针对非零向量定义的 (2)注意区别向量的夹角和直线的夹角，两者的范围不同，前者是0，180， 后者是0，90 (3)按照向量夹角的定义，只有两
16、个向量的起点重合时所对应的角才是两向 量的夹角，如图所示，BAC 不是向量与的夹角，作，则BAD CA AB AD CA 才是向量与的夹角 CA AB 已知向量 a 与 b 的夹角为 60且|b| |a|，求 ab 与 a 的夹 跟踪训练1 1 2 角 解如图，作a，b，则BOA60，连接 BA，则ab. OA OB BA 取 OA 的中点 D，连接 BD， |b| |a|，ODOBBDDA， 1 2 BDO602BAO， BAO30. ab 与 a 的夹角为 30. 题型二 向量的数量积定义 例 2已知|a|5，|b|2，若： (1)ab； (2)ab； (3)a 与 b 的夹角为 30.
17、分别求 ab. 解(1)当 ab 时，若 a 与 b 同向， 则它们的夹角为 0， ab|a|b|cos052110； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180， ab|a|b|cos18052(1)10. (2)当 ab 时，则它们的夹角为 90， ab|a|b|cos905200. (3)当 a 与 b 的夹角为 30时， ab|a|b|cos30525. 3 23 金版点睛 求平面向量的数量积的一般步骤及注意事项 (1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积 (2)a 与 b 垂直当且仅当 ab0. (3)非零向量 a 与 b 共线当且仅当 ab|a|b|. 已知|a|4，|b|5，
18、向量 a 与 b 的夹角 ，求 ab. 跟踪训练2 3 解ab|a|b|cos45 10. 1 2 题型三 向量在直线上的投影 例 3已知直线 l，(1)向量|4， ，l60，求在 l 上的投影的 OA OA OA 数量 OA1； (2)向量|4， ，l90，求在 l 上的投影的数量 OB1； OB OB OB (3)向量|4， ，l120，求在 l 上的投影的数量 OC1. OC OC OC 解(1)OA14cos604 2； 1 2 (2)OB14cos90400； (3)OC14cos12042. ( 1 2) 金版点睛 对向量在直线上的投影的理解 从定义上看，向量 b 在直线上的投影是
19、一个向量，其在直线上的投影的数 量可正、可负、可为零 (1)当 时，该数量为正实数 (0， 2) (2)当 时，该数量为负实数 ( 2，) (3)当 0 时，该数量为|b|. (4)当 时，该数量为|b|. 注意：此处 b 为非零向量 (5)当 时，该数量为 0. 2 已知|a|8，e 为单位向量，当它们的夹角为 时，a 在 e 方 跟踪训练3 3 向上的投影的数量为() A4B4 3 C4D8 2 3 2 答案B 解析因为 a 在 e 方向上的投影的数量为|a|cos 4，故选 B. 3 题型四 向量数量积的几何意义 例 4已知|b|3，a 在 b 方向上的投影的数量是 ，则 ab 为()
20、3 2 A3B. 9 2 C2D. 1 2 解析ab|a|b|cos|b|a|cos3 . 3 2 9 2 答案B 金版点睛 利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向 量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量代入向量数量积的公式即 可 已知 ab16，若 a 在 b 方向上的投影的数量为 4，则 跟踪训练4 |b|_. 答案4 解析设 a 与 b 的夹角为 ，ab16， |a|b|cos16.又a 在 b 方向上的投影的数量为 4， |a|cos4，|b|4. 1已知|a|3，|b|5，且 ab12，则向量 a 在向量 b 上的投影的数量为() A.B3 12 5
21、C4D5 答案A 解析设 a 与 b 的夹角为 ，则向量 a 在 b 上的投影的数量为 |a|cos. ab |b| 12 5 2已知|a|4，|b|2，当它们之间的夹角为 时，ab() 3 A4B4 3 C8D8 3 答案B 解析根据向量数量积的定义得 ab|a|b|cosa，b42cos 4. 3 3设 e1，e2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是() Ae1e21Be1e21 C|e1e2|1D|e1e2|1 答案C 解析当 e1，e2同向时，e1e2|e1|e2|cose1，e211cos01，当 e1，e2反向时，e1e2|e1|e2|cose1，e211cos1801. 4
22、已知|a|2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有实根，则 a 与 b 的夹角 的取值范围是() A.B. 0， 6 3， C.D. 3， 2 3 6， 答案B 解析由题意可得，|a|24ab0，|a|2|b|，cos ，. 1 2 3， 故选 B. 5在ABC 中，已知|6，且18，则ABC 的形状是 AB AC AB AC _ 答案等边三角形 解析|cosBAC， AB AC AB AC cosBAC ，BAC60. 1 2 又|，ABC 为等边三角形 AB AC 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂巩随堂巩固训练固训练课后课时精练课后课时精练 8.1.18.
23、1.1向量数量积的概念向量数量积的概念 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂巩随堂巩固训练固训练课后课时精练课后课时精练 课前自主学习课前自主学习课堂合作研究课堂合作研究随堂基础巩固随堂基础巩固课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养
24、形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平
25、达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 课前自主学习课前自主学习课堂合作研究课堂合作研究随堂基础巩固随堂基础巩固课后课时精练课后课时精练 核心素养形成核心素养形成 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握
26、核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时
27、精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课
28、后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 课前自主学习课前自主学习课
29、堂合作研究课堂合作研究随堂基础巩固随堂基础巩固课后课时精练课后课时精练 随堂水平达标随堂水平达标 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 核心概念掌握核心概念掌握核心素
30、养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 答案答案 解析解析 课前自主学习课前自主学习课堂合作研究课堂合作研究随堂基础巩固随堂基础巩固课后课时精练课后课时精练 课后课时精练课后课时精练 点击进入点击进入PPT课件课件 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂巩随堂巩固训练固训练课后课时精练课后课时精练 本课结束本课结束 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，(ab)b0，那么向量 a 与 b 的夹 角为() A30B45 C60D90 答案C 解析由题意可得 abb20，设 a 与 b 的夹角为 ，则 2cos1
31、，cos ，又 0， 为 60. 1 2 2已知平面向量 a，b 满足|a|，|b|2，ab3，则|a2b|() 3 A1B. 7 C4D2 37 答案B 解析根据题意，得|a2b|. a24ab4b27 3下列说法正确的是() A(ab)c(ca)b0 B|ab|a|b| Ca2|a|2 D在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，在方向上的数量为 1 AB CA 答案C 解析A 中左边是向量，右边是数，显然不等B 中|ab|a|b|cos|，D 中在方向上的数量为1. AB CA 4若 20，则ABC 为() AB BC AB A直角三角形B钝角三角形 C锐角三角形D等腰直角三角形 答案A
32、解析0 2 () AB BC AB AB BC AB ，BAC90.故选 A. AB AC AB AC 5. 如图，O，A，B 是平面上的三点，C 为线段 AB 的中点，向量a， OA b，设 P 为线段 AB 的垂直平分线上任意一点，向量p.若 OB OP |a|4，|b|2，则 p(ab)() A1B3 C5D6 答案D 解析由题图知，则0，p () CP BA CP BA OP OC CP 1 2 OA OB ，则 p(ab)(ab) (ab)(ab)(ab) (a2b2) CP 1 2abCP 1 2 CP 1 2 (|a|2|b|2)0 (4222)6. CP BA 1 2 1 2
33、二、填空题 6设向量 a，b 满足|a|b|1，ab ，则|a2b|_. 1 2 答案 3 解析依题意得(a2b)2a24b24ab543，则|a2b|. ( 1 2)3 7若 ab，c 与 a 及与 b 的夹角均为 60，|a|1，|b|2，|c|3，则 (a2bc)2_. 答案11 解析展开得， 原式|a|24|b|2|c|24|a|b|cos902|a|c|cos604|b|c|cos6011. 8设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： acbc(ab)c； (bc)a(ca)b 不与 c 垂直； |a|b|ab|； (3a2b)(3a2b)9|a|24|b|
34、2. 其中正确的序号是_ 答案 解析正确；因为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0.所 以(bc)a(ca)b 与 c 垂直 三、解答题 9已知|a|4，|b|8，a 与 b 的夹角是 120. (1)计算|4a2b|； (2)当 k 为何值时，(a2b)(kab) 解由已知，得 ab4816. ( 1 2) (1)(4a2b)216a216ab4b2 161616(16)4643162， |4a2b|16. 3 (2)若(a2b)(kab)，则(a2b)(kab)0. ka2(2k1)ab2b20， 即 16k16(2k1)2640，k7. 10. 如图，在OAB 中，点
35、 P 为线段 AB 上的一个动点(不包含端点)，且满 足. AP PB (1)若 ，用向量，表示； 1 2 OA OB OP (2)若|4，|3，且AOB60，求的取值范围 OA OB OP AB 解(1)， () AP 1 2PB OP OA 1 2 OB OP ，即. 3 2OP OA 1 2OB OP 2 3OA 1 3OB (2)|cos606. OA OB OA OB ， AP PB ()，(1)， OP OA OB OP OP OA OB . OP 1 1OA 1OB ， AB OB OA () OP AB ( 1 1OA 1OB ) OB OA 22 1 1OA 1OB ( 1
36、1 1)OA OB 3. 16966 1 310 1 13 1 0，3(10,3) 13 1 的取值范围是(10,3) OP AB B 级：“四能”提升训练 1已知向量与的夹角为 120，且|3，|2.若 AB AC AB AC ，且，则实数 的值为_ AP AB AC AP BC 答案 7 12 解析因为向量与的夹角为 120， AB AC 且|3，|2， AB AC 所以|cos120 AB AC AB AC 323. ( 1 2) 由，得0， AP BC AP BC 即( )()0， AP BC AB AC AC AB 所以 22(1) 0， AC AB AB AC 即 493(1)0，
37、解得 . 7 12 2平面四边形 ABCD 中，a，b，c，d，且 AB BC CD DA abbccdda，试问四边形 ABCD 的形状 解0， AB BC CD DA 即 abcd0，ab(cd)， 由上式可得(ab)2(cd)2， 即 a22abb2c22cdd2. 又 abcd， 故 a2b2c2d2. 同理可得 a2d2b2c2 由，得 a2c2，且 b2d2， 即|a|c|，且|b|d|，也即 ABCD， 且 BCDA. 四边形 ABCD 为平行四边形 故，即 ac， AB CD abbcab，即 ab0， ab，即. AB BC 综上知，四边形 ABCD 为矩形 课后课时精练课后
38、课时精练 点击进入点击进入WordWord文稿文稿 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 答案答案 解析解析 11 答案答案 12 答案答案 13 14 答案答案 15 答案答案 16 答案答案 解析解析 17 解析解析 18 答案答案 19 答案答案 本课结束本课结束 8.1.2向量数量积的运算律 (教师独具内容) 课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行 简单的应用 教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用 教学难点：平面向量数量积的运算律的证明. 【知识导学】
39、知识点平面向量数量积的运算律 已知向量 a，b，c 与实数 ，则 交换律 abba 01 结合律 (a)b(ab)a(b) 02 03 分配律 (ab)cacbc 04 【新知拓展】 对向量数量积的运算律的几点说明 (1)向量数量积不满足消去律：设 a，b，c 均为非零向量且 acbc，不能 得到 ab.事实上，如图所示，a，b，c，ABOC 于 D，可以 OA OB OC 看出，a，b 在向量 c 上的投影分别为|a|cosAOD，|b|cosBOD，此时 |b|cosBOD|a|cosAODOD.即 acbc.但很显然 ba. (2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(ab
40、)ca(bc)， 这是由于 ab，bc 都是实数，(ab)c 表示与 c 方向相同或相反的向量，a(bc)表 示与 a 方向相同或相反的向量，而 a 与 c 不一定共线 1判一判(正确的打“” ，错误的打“”) (1)对于向量 a，b，c 等式(ab)ca(bc)恒成立() (2)若 abac，则 bc，其中 a0.() (3)(ab)(ab)a2b2.() 答案(1)(2)(3) 2做一做 (1)已知|a|2，b 在 a 上的投影的数量为2，则 a(ab)_. (2)已知|a|3，|b|4，则(ab)(ab)_. (3)已知|a|6，|b|8， a，b120，则 |a2b2|_，|ab|_，
41、|a2b2|_. 答案(1)8(2)7(3)282100 37 题型一 求向量的夹角 例 1已知单位向量 e1，e2的夹角为 60，求向量 ae1e2，be22e1的 夹角 解设 a，b 的夹角为 ，单位向量的夹角为 60， e1e2|e1|e2|cos60 . 1 2 ab(e1e2)(e22e1)e1e2e 2e 2e1e2e 2e e1e212 2 22 12 22 1 ， 1 2 3 2 |a| a2e1e22|e1|2|e2|22e1e2 . 1113 |b| b2e22e12 . |e2|24e1e24|e1|2 144 1 23 cos . ab |a|b| 3 2 3 3 1
42、2 0，120. 金版点睛 求向量 a，b 夹角 的思路 (1)解题流程 求|a|，|b|计算ab 计算cos ab |a|b|结合 0，求出 (2)解题思想：由于|a|，|b|及 ab 都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及 ab 的 相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量 已知|a|3，|b|5，|ab|7，求 ab 及 a 与 b 的夹角 跟踪训练1 解|ab|7， (ab)2a22abb2|a|22ab|b|2342ab49，ab. 15 2 设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos . ab |a|b| 15 2 3 5 1 2 又0，故 a 与 b 的夹角 60. 题型二
43、求向量的模 例 2已知 x1 是方程 x2|a|xab0 的根，且 a24， a，b120. 求：(1)向量 b 的模；(2)向量 b 的模 解(1)a24，|a|24，即|a|2. 把 x1 代入方程 x2|a|xab0，得 1|a|ab0，ab3， 则 ab|a|b|cosa，b2|b|cos1203， |b|3. (2)由(1)知|b|3， |b|b|3|. 金版点睛 极化恒等式求模长 (1)两个结论 (ab)2a22abb2； (ab)(ab)a2b2. 证明(ab)2(ab)(ab)aaabbabba22abb2. (ab)(ab)aaabbabba2b2. 说明：下列结论也是成立的
44、： (ab)2a22abb2， (ab)(cd)acadbcbd. (2)由上述结论，我们不难得到 4ab(ab)2(ab)2， 即 ab (ab)2(ab)2 1 4 我们把该恒等式称为“极化恒等式” (3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法 求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用 a2|a|2，勿忘记开方 一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2 等 提醒：向量的模是非负实数；一个向量自身的数量积，等于它模的平方 (1)已知|a|6，|b|1，ab9，则a，b() 跟踪训练23 A120B150C60D30 (2)已知|a|b|5，向
45、量 a 与 b 的夹角为 ，求|ab|，|ab|. 3 答案(1)B(2)见解析 解析(1)cosa，b，又 0a，b180， ab |a|b| 9 6 3 1 3 2 所以a，b150，故选 B. (2)解法一：|ab| ab2a2b22ab |a|2|b|22|a|b|cosa，b 5. 52522 5 5 cos 33 |ab| ab2a2b22ab |a|2|b|22|a|b|cosa，b 5. 52522 5 5 cos 3 解法二：以 a，b 为邻边作ABCD，设 AC，BD 相交于点 E，如图所示 |a|b|且DAB ， 3 ABD 为正三角形， |ab|5，|ab|2| DB
46、AC AE 2 2 5. |AB |2|BE |2 52(5 2)23 题型三 用向量数量积解决垂直问题 例 3已知平面上三个向量 a，b，c 的模均为 1，它们相互之间的夹角为 120，求证：(ab)c. 证明证法一：|a|b|c|1，且 a，b，c 之间的夹角均为 120， (ab)cacbc|a|c|cos120|b|c|cos1200. (ab)c. 证法二：如图， 设a，b，c， OA OB OC 连接 AB，AC，BC 的三条线段围成正三角形 ABC，O 为ABC 的中心， OCAB. 又ab，(ab)c. BA 金版点睛 要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几
47、何的形 式表示，它往往对应一个向量关系式要善于发现这二者之间的关系，从一种 形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式 若 O 为ABC 所在平面内一点，且满足()( 跟踪训练3 OB OC OB 2)0，则ABC 的形状为() OC OA A正三角形B直角三角形 C等腰三角形DA，B，C 均不是 答案C 解析由()(2)0，得()0， OB OC OB OC OA CB AB AC 又， CB AB AC ()()0，即|2|20. AB AC AB AC AB AC |.ABC 为等腰三角形 AB AC 1若向量 a 的方向是正北方向，向量 b 的方向是西偏南 30方向，且
48、 |a|b|1，则(3a)(ab)等于() A.B 3 2 3 2 C.D 2 3 2 3 答案B 解析由题意知 a 与 b 的夹角为 120，ab . 1 2 (3a)(ab)3a23ab . 3 2 2若向量 a 与 b 的夹角为 60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量 a 的模是() A2B4 C6D12 答案C 解析(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|4 61672.解得 1 2 |a|6. 3已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么|ab|等于() A1B. 2 C.D2 3 答案A 解析|ab| ab2a2b22ab 1. 121221cosa，b
49、22cos60 4已知 a，b，c 为单位向量，且满足 3ab7c0，a 与 b 的夹角为 ， 3 则实数 _. 答案8 或 5 解析由 3ab7c0，可得 7c(3ab)，则 49c29a22b26ab.由 a，b，c 为单位向量，得 a2b2c21，则 49926cos ，即 23400，解得 8 或 5. 3 5已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61， (1)求 a 与 b 的夹角 ； (2)求|ab|和|ab|. 解(1)因为(2a3b)(2ab)61， 所以 4a24ab3b261， 所以 442443cos33261，cos ， 1 2 又因为 0，所以 120. (2
50、)因为|ab|2a22abb2 16243cos120913， 所以|ab|，同样可求得|ab|. 1337 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂巩随堂巩固训练固训练课后课时精练课后课时精练 8.1.28.1.2向量数量积的运算律向量数量积的运算律 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂巩随堂巩固训练固训练课后课时精练课后课时精练 课前自主学习课前自主学习课堂合作研究课堂合作研究随堂基础巩固随堂基础巩固课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核心概念掌握 核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成核心素养形成随堂水平达标随堂水平达标课后课时精练课后课时精练 核心概念掌握核
