1、2.7.2抛物线的几何性质 学 习 目 标核 心 素 养 1了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准 线等几何性质(重点) 2会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问 题(重点、难点) 3掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识 通过抛物线的几何性 质的学习，培养直观 想象、数学运算素养 如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛 物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射 出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计 了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等当然这条性质本身 也是抛物线的一条性质， 今
2、天我们就来具体研究一下构成抛物面的线抛物线 的几何性质 1抛物线的几何性质 标准方程 y22px(p 0) y22px(p 0) x22py(p0) x2 2py(p0) 图形 性质 范围 x0， yR x0，yRxR，y0 xR，y0 对称轴x 轴y 轴 顶点(0,0) 离心率e1 思考 1：抛物线 x22py(p0)有几条对称轴？ 提示有一条对称轴 思考 2：抛物线的范围是 xR，这种说法正确吗？ 提示抛物线的方程不同，其范围就不一样，如 y22px(p0)的范围是 x0，yR，故此说法错误 思考 3：参数 p 对抛物线开口大小有何影响？ 提示参数 p(p0)对抛物线开口大小有影响，因为过
3、抛物线的焦点 F 且 垂直于对称轴的弦的长度是 2p，所以 p 越大，开口越大 2焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y22px(p0)|AB|x1x2p y22px(p0)|AB|p(x1x2) x22py(p0)|AB|y1y2p x22py(p0)|AB|p(y1y2) 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)抛物线是中心对称图形() (2)抛物线的范围为 xR() (3)抛物线关于顶点对称() (4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)在抛物线中，以x 代 x，y 代 y，方程发生了变
4、化 (2)抛物线的方程不同，其范围不同，y22px(p0)中 x0，yR (3) (4)离心率都为 1，正确 2设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 6，则点 P 到该抛物线焦点 F 的距离是() A8B6C4D2 A抛物线的方程为 y28x， 其准线 l 的方程为 x2， 设点 P(x0，y0)到其准线的距离为 d， 则 d|PF|， 即|PF|dx0(2)x02， 点 P 到 y 轴的距离是 6， x06， |PF|628 3过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 x1 x26，则|AB| 8y24x，2p4，p2 由抛物线定义知：
5、|AF|x11，|BF|x21， |AB|x1x2p628 4顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且顶点与焦点的距离等于 6 的抛物线方 程是 y224x 或 y224x顶点与焦点距离为 6，即p 26，2p24，又对称 轴为 x 轴，抛物线方程为 y224x 或 y224x 由抛物线的几何性质求标准方程 【例 1】(1)平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A(2,1)，若线段 OA 的垂直 平分线过抛物线 y22px(p0)的焦点，则该抛物线的标准方程是 (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24y236 短轴所在的直线， 抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方
6、程 (1)y25x线段OA 的垂直平分线为4x2y50， 与x轴的交点为 5 4，0， 抛物线的焦点为 5 4，0，其标准方程是 y25x (2)解：椭圆的方程可化为x 2 4 y 2 9 1，其短轴在 x 轴上，抛物线的对称轴 为 x 轴， 设抛物线的方程为 y22px 或 y22px(p0) 抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 即p 23，p6， 抛物线的标准方程为 y212x 或 y212x， 其准线方程分别为 x3 和 x3 用待定系数法求抛物线方程的步骤 提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置不同的焦点设出不同的 方程 跟进训练 1已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，
7、其上一点 P 到准线及 对称轴距离分别为 10 和 6，求抛物线方程 解设抛物线方程为 y22ax(a0)，点 P(x0，y0) 因为点 P 到对称轴距离为 6，所以 y06， 因为点 P 到准线距离为 10，所以|x 0a 2|10 因为点 P 在抛物线上，所以 362ax0 由，得 a2， x09 或 a18， x01 或 a18， x01 或 a2， x09. 所以所求抛物线方程为 y24x 或 y236x 抛物线性质的应用 【例 2】(1)抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，点 A 是抛物线上一点， 且AFO120(O 为坐标原点)， AKl， 垂足为 K， 则AKF 的面积是
8、 (2)已知正三角形 AOB 的一个顶点 O 位于坐标原点，另外两个顶点 A，B 在 抛物线 y22px(p0)上，求这个三角形的边长 (1)4 3如图，设 A(x0，y0)， 过 A 作 AHx 轴于 H， 在 RtAFH 中，|FH|x01， 由AFO120，得AFH60， 故 y0|AH| 3(x01)， 所以 A 点的坐标为 (x0， 3x01)， 将点 A 坐标代入抛物线方程可得 3x2010 x030， 解得 x03 或 x01 3(舍)，故 S AKF1 2(31)2 34 3 (2)解：如图所示，设正三角形 OAB 的顶点 A，B 在抛物线上，且坐标分别 为 A(x1，y1)，
9、B(x2，y2)，则 y212px1，y222px2 又|OA|OB|，所以 x21y21x22y22， 即 x21x222px12px20， 整理得(x1x2)(x1x22p)0 x10，x20,2p0， x1x2，由此可得|y1|y2|， 即线段 AB 关于 x 轴对称 由此得AOx30， 所以 y1 3 3 x1，与 y212px1联立， 解得 y12 3p|AB|2y14 3p 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题 (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题 (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题 (4)焦点：解决焦点弦问题 提醒：解答本题时易忽
10、略 A，B 关于 x 轴对称而出错 跟进训练 2已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y 22px(p0) 的准线分别交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2，AOB 的 面积为 3，求抛物线的标准方程 解由已知得c a2，所以 a2b2 a2 4，解得b a 3 即渐近线方程为 y 3 x，而抛物线准线方程为 x p 2 ，于是 A p 2， 3 2 p ，B p 2， 3 2 p ，从而AOB 的面积为1 2 3p p 2 3 可得 p2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为 y24x 焦点弦问题 探究问题 以抛物线 y22px(p0)为例
11、，回答下列问题： (1)过焦点 F 的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？ 提示|AB|2 x0p 2 (焦点弦长与中点关系) |AB|x1x2p 2p sin2(为 AB 的倾斜角) A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2p 2 4 ，y1y2p2 SAOB p2 2sin 1 |AF| 1 |BF| 2 p(定值) (2)以 AB 为直径的圆与直线 l 具有怎样的位置关系？ 提示如图，AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的一条弦，设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，相应的准线为 l 所以以 AB 为直径的圆必与准线 l
12、相切 (3)解决焦点弦问题需注意什么？ 提示要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端 点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解 【例 3】已知抛物线方程为 y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛 物线交于 A，B 两点，且|AB|5 2p，求 AB 所在直线的方程 思路探究根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程 解过焦点的弦长|AB|5 2p， 弦所在的直线的斜率存在且不为零， 设直线 AB 的斜率为 k，且 A(x1，y1)，B(x2，y2) y22px 的焦点为 F p 2，0 直线方程为 yk xp 2 由 yk xp 2 ， y22px， 整理得 k2x
13、2(k2p2p)x1 4k 2p20(k0)， x1x2k 2p2p k2 ， |AB|x1x2pk 2p2p k2 p， 又|AB|5 2p， k 2p2p k2 p5 2p，k2 所求直线方程为 y2 xp 2 或 y2 xp 2 1(改变问法)本例条件不变，求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离 解设 AB 中点为 M(x0，y0)， 由例题解答可知 2x0 x1x23 2p， 所以 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 3 4p 2 (变换条件)本例中， 若 A、 B 在其准线上的射影分别为 A1， B1， 求A1FB1 解由例题解析可知 AB 的方程为 yk xp 2 ， 即 x1
14、 ky p 2， 代入 y22px 消 x 可得 y22p k yp2，即 y22p k yp20，y1y2p2， 由 A1点的坐标为 p 2，y 1 ，B1点的坐标为 p 2，y 2 ，得 kA1Fy1 p ，kB1F y2 p kA1FkB1Fy1y2 p2 1， A1FB190 解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时， 一是注意直线方程和抛物线 方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公 式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算. 1讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质， 也可以根据待定系数法求抛物线的方程 2解决抛物线的轨
15、迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定 义 3抛物线 y22px(p0)的过焦点的弦长|AB|x1x2p，其中 x1，x2分别 是点 A，B 横坐标的绝对值；抛物线 x22py(p0)的过焦点的弦长|AB|y1y2 p，其中 y1，y2分别是点 A，B 纵坐标的绝对值 4求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、 中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合 问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化 1若抛物线 y22x 上有两点 A、B 且 AB 垂直于 x 轴，若|AB|2 2，则抛 物线的焦点到直线 AB 的距离为
16、() A1 2 B1 4 C1 6 D1 8 A线段 AB 所在的直线方程为 x1，抛物线的焦点坐标为 1 2，0，则焦点 到直线 AB 的距离为 11 2 1 2 2在抛物线 y216x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为() A(4 2，2)B(4 2，2) C(2,4 2)D(2，4 2) D抛物线 y216x 的顶点 O(0,0)，焦点 F(4,0)，设 P(x，y)符合题意，则有 y216x， x2y2x42y2 y216x， x2 x2， y4 2. 所以符合题意的点为(2，4 2) 3 设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y24x 的焦点， A 是抛物线上一点， 若OA AF
17、4，则点 A 的坐标是() A(2，2 2)B(1，2) C(1,2)D(2,2 2) B由题意知 F(1,0)，设 A y20 4 ，y0 ，则OA y20 4 ，y0 ，AF 1y 2 0 4 ，y0 ， 由OA AF 4 得 y02，点 A 的坐标为(1，2)，故选 B 4已知 AB 是过抛物线 2x2y 的焦点的弦，若|AB|4，则 AB 的中点的纵 坐标是 15 8 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线 2x2y，可得 p1 4 |AB|y1y2p4， y1y241 4 15 4 ，故 AB 的中点的纵坐标是y1y2 2 15 8 5已知点 P(1，m)是抛物线 C：y22px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF| 2，直线 l：yk(x1)与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B (1)求抛物线 C 的方程； (2)若|AB|8，求 k 的值 解(1)抛物线 C：y22px 的准线为 xp 2， 由|PF|2 得：1p 22，得 p2 所以抛物线的方程为 y24x (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 ykx1， y24x， 可得 k2x2(2k24)xk20，16k2160， x1x22k 24 k2 直线 l 经过抛物线 C 的焦点 F， |AB|x1x2p2k 24 k2 28， 解得 k1， 所以 k 的值为 1 或1
