1、2.7抛物线及其方程 2.7.1抛物线的标准方程 学 习 目 标核 心 素 养 1理解抛物线的定义、标准方程及其 推导过程(重点) 2掌握抛物线的定义及其标准方程的 应用(难点) 1通过抛物线的定义、标准方程的学 习，培养数学抽象、直观想象素养 2借助于标准方程的推导过程，提升 逻辑推理，数学运算素养 在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮击炮， 击炮是一种 曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难 防，地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的对于躲在战壕中的敌人，击炮的 密集发射无疑是一场灾难因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走 入”抛物线看一看追
2、击炮的弹道曲线 1抛物线的定义 思考 1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线 吗？ 提示不一定当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直 线 l 的一条直线；l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线 2抛物线的标准方程 图形标准方程焦点坐标准线方程 y22px(p0) p 2，0 xp 2 y22px(p0)p 2，0 xp 2 x22py(p0)0，p 2 yp 2 x22py(p0)0，p 2 yp 2 思考 2：确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？ 提示：确定两个量，一个是 p，另一个是一次项系数的正负 思考 3：已知抛物线的标准方程，怎样
3、确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 提示一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴(或 y 轴)上；若系数为正，则 焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确 定 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)标准方程 y22px(p0)中的 p 的几何意义是焦点到准线的距离 () (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定 () (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线 () 答案(1)(2)(3) 提示(1)抛物线的标准方程中 p(p0)即为焦点到准线的距离 (2)一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半 轴还
4、是负半轴上 (3)当定点在直线上时，不表示抛物线 2抛物线 yax2的准线方程是 y2，则实数 a 的值为() A1 8 B1 8 C8D8 B由 yax2，得 x21 ay， 1 4a2，a 1 8 3抛物线 y216x 的焦点坐标为() A(4,0)B(4,0) C(0,4)D(0，4) Ay216x，p8，p 24，开口方向向左， 焦点坐标为(4,0) 4抛物线 x216y 的准线方程为 y4抛物线的焦点在 y 轴上，开口方向向上，故准线方程为 yp 2， 且 2p16，p 24，准线方程为 y4 求抛物线的标准方程 【例 1】求满足下列条件的抛物线的标准方程 (1)过点 M(6,6)；
5、 (2)焦点 F 在直线 l：3x2y60 上 思路探究 解(1)由于点 M(6,6)在第二象限， 过 M 的抛物线开口向左或开口向上 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上， 设其方程为 y22px(p0)， 将点 M(6,6)代入，可得 362p(6)， p3 抛物线的方程为 y26x 若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x22py(p0)， 将点 M(6,6)代入可得，362p6，p3， 抛物线的方程为 x26y 综上所述，抛物线的标准方程为 y26x 或 x26y (2)直线 l 与 x 轴的交点为(2,0)， 抛物线的焦点是 F(2,0)， p 22，p4， 抛物线的标准方程
6、是 y28x 直线 l 与 y 轴的交点为(0，3)， 即抛物线的焦点是 F(0，3)， p 23，p6， 抛物线的标准方程是 x212y 综上所述，所求抛物线的标准方程是 y28x 或 x212y 求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为： 1依据条件设出抛物线的标准方程的类型； 2求参数 p 的值； 3确定抛物线的标准方程. 提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设 y2ax 或 x2aya0 的形式，以简化讨论过程. 跟进训练 1已知抛物线顶点在原点，对称轴是 x 轴，点 P(5,2 5)到焦点的距离为 6，求抛物线的标准方程 解设焦点 F(a,0)，|PF| a52206，
7、 即 a210a90，解得 a1，或 a9 当焦点为 F(1,0)时，p2，抛物线的开口向左，其方程为 y24x；当焦 点为 F(9,0)时，p18，抛物线开口向左，其方程为 y236x 抛物线定义的应用 探究问题 1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？ 提示抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为 M；一 个定点 F，即抛物线的焦点；一条定直线 l，即为抛物线的准线；一个定值，即 点 M 与点 F 的距离和 M 到 l 的距离之比等于 1定点 F 不能在直线上，否则， 动点 M 的轨迹就不是抛物线 2如何看待抛物线中焦点和准线的位置？ 提示焦点在抛物线开口方
8、向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背 着准线” 3抛物线方程中参数 p 的几何意义是什么？ 提示抛物线的标准方程中参数 p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的 距离(即焦准距)，所以 p 的值永远大于 0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负 值时，不要出现 p0 的错误 【例 2】 若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 1 2，0的距离比它到 y 轴的距离大 1 2求点 M 的轨迹方程 思路探究把|MF|比 M 到 y 轴的距离大1 2，转化为|MF|与点 M 到 x 1 2的 距离相等，从而利用抛物线定义求解 解由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 1 2，0的距离比它到 y 轴的距离
9、大1 2， 所以动点 M 到 F 1 2，0的距离与它到直线 l：x1 2的距离相等 由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含 原点)，其方程应为 y22px(p0)的形式，而p 2 1 2， 所以 p1,2p2，故点 M 的轨迹方程为 y22x(x0) 1(变换条件、改变问法)若本例中点 M 所在轨迹上一点 N 到点 F 的距离为 2，求点 N 的坐标 解设点 N 的坐标为(x0，y0)，则|NF|2，即 x01 2 2y2 04，又由例 题的解析知点 M 的轨迹方程为 y22x(x0)，故 y202x0， 由可得 x03 2， y0 3， 或 x03 2
10、， y0 3， 故点 N 的坐标为 3 2， 3或 3 2， 3 2(变换条件、改变问法)若本例中增加一点 A(3,2)，其他条件不变，求|MA| |MF|的最小值，并求出点 M 的坐标 解如图， 由于点M在抛物线上， 所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|， 于是|MA|MF|MA|MN|，所以当 A、M、N 三点共线时，|MA|MN|取最小 值，亦即|MA|MF|取最小值， 最小值为 31 2 7 2 这时点 M 的纵坐标为 2，可设 M(x0,2)， 代入抛物线方程得 x02，即 M(2,2) 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离
11、等 于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化， 从而简化某些问题 (2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时， 往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 抛物线的实际应用 【例 3】(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦 点处，已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是() A1125 cmB5625 cm C20 cmD10 cm (2)某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用 一根支柱支撑，求其中最长支柱的长 (1)B如图，建立直角坐标
12、系，设抛物线方程是 y22px(p0)A(40,30) 在抛物线上， 3022p40，p45 4 ， 光源到反光镜顶点的距离为 p 2 45 4 2 45 8 5625(cm) (2)解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0)依题意 知，点 P(10，4)在抛物线上， 1002p(4)，2p25 即抛物线方程为 x225y 每 4 米需用一根支柱支撑， 支柱横坐标分别为6，2,2,6 由图知，AB 是最长的支柱之一 设点 B 的坐标为(2，yB)，解得 yB 4 25，点 A 的坐标为(2，4)，|AB| yB(4) 4 254384， 最长支柱的长为 384 米 求抛物线实
13、际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系 (2)设出合适的抛物线方程 (3)通过计算求出抛物线的标准方程 (4)求出需要求出的量 (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题 跟进训练 2河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小 船宽 4 m，高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 075 m，则水面上涨到与抛 物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解如图所示，以拱桥的拱顶为原点， 以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知点 B(4，5)在抛物线上，故 p8 5，得 x 216 5 y 当船面两
14、侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为 AA，则 A(2，yA)， 由 2216 5 yA，得 yA5 4 又知船面露出水面上的部分高为 075 m， 所以 h|yA|0752(m) 所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距 2 m 时，小船开始不能通航 1抛物线的定义中不要忽略条件：点 F 不在直线 l 上 2确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数 p，但由于标准 方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类 讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在 x 轴上的抛物线标 准方程可设为 y22mx(m0)，焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为
15、 x2 2my(m0) 1抛物线 y24x 上的点 M(4，y0)到其焦点 F 的距离为() A3B4 C5D6 C由抛物线 y24x，得 F(1,0)，如图，|FM|4p 2415 2抛物线的准线方程为 x4，则抛物线方程为() Ax216yBx28y Cy216xDy28x C抛物线的准线为 x4，易知抛物线是开口向右的抛物线设方程为 y22px(p0)，则p 24，p8，抛物线方程为 y 216x 3若抛物线 y22px(p0)的焦点与椭圆x 2 6 y 2 2 1 的右焦点重合，则实数 p 4因为椭圆x 2 6 y 2 2 1，所以 a26，b22， 所以 c2a2b24，故 c2， 所以右焦点为(2,0)，所以p 22，p4 4抛物线 y22px(p0)上有一点 M 的横坐标为9，它到焦点的距离为 10，求此抛物线方程和 M 点的坐标 解设焦点为 F p 2，0， M 点到准线的距离为 d， 则 d|MF|10， 即 9p 210，p2， 抛物线方程为 y24x 将 M(9，y)代入抛物线的方程， 得 y6M 点坐标为(9,6)或(9，6)
