1、2.5.2椭圆的几何性质 学 习 目 标核 心 素 养 1根据椭圆的方程研究曲线的几何性 质，并正确地画出它的图形 2根据几何条件求出曲线方程，并利 用曲线的方程研究它的性质、 图形 (重 点、难点) 通过椭圆几何性质的学习，培养直观 想象，数学运算素养 奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面， 舞台在这个椭圆面的一个焦点 处 当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处 汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没 有)所以能产生很好的听觉效果其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几 何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？ 椭圆的简单几何性质
2、焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 对称性对称轴 x 轴和 y 轴，对称中心(0,0) 范围xa，a，xb，b， yb，bya，a 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)， B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b,0)，B2(b,0) 轴长短轴|B1B2|2b，长轴|A1A2|2a 焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|2c 离心率ec a(0e1) 思考 1：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？ 提示最大距离
3、：ac；最小距离：ac 思考 2：椭圆方程x 2 a2 y2 b21(ab0)中 a，b，c 的几何意义是什么？ 提示在方程x 2 a2 y2 b21(ab0)中，a，b，c 的几何意义如图所示即 a， b，c 正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的长轴长等于 a () (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值 ac() (3)椭圆上的离心率 e 越小，椭圆越圆() 答案(1)(2)(3) 提示(1)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的长轴长等于 2a (2)椭圆上的点到焦点
4、的距离的最大值为 ac，最小值为 ac (3)离心率 ec a越小，c 就越小，这时 b 就越接近于 a，椭圆就越圆 2椭圆 6x2y26 的长轴端点坐标为() A(1,0)，(1,0)B(6,0)，(6,0) C( 6，0)，( 6，0)D(0， 6)，(0， 6) Dx2y 2 6 1 焦点在 y 轴上，长轴端点坐标为(0， 6)，(0， 6) 3椭圆 x24y24 的离心率为() A 3 2 B3 4 C 2 2 D2 3 A化椭圆方程为标准形式得x 2 4 y21， 所以 a24，b21，所以 c2a2b23 所以 ec a 3 2 4椭圆x 2 9 y 2 161 的焦点坐标是 ，顶
5、点坐标是 (0， 7)(3,0)，(0，4)由方程x 2 9 y 2 161 知焦点在 y 轴上，所以 a 2 16，b29，c2a2b27 因此焦点坐标为(0， 7)，顶点坐标为(3,0)，(0，4) 椭圆的几何性质 【例 1】求椭圆 16x225y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶 点的坐标 思路探究化为标准方程，确定焦点位置及 a，b，c 的值，再研究相应的 几何性质 解把已知方程化成标准方程x 2 52 y2 421，可知 a5，b4，所以 c3因 此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a10 和 2b8，离心率 ec a 3 5，两个焦点 分别是 F1(3,0)和 F2(3,0
6、)，椭圆的四个顶点是 A1(5,0)，A2(5,0)，B1(0，4)和 B2(0,4) 1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确 定焦点的位置，进而确定椭圆的类型 2焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2b2c2求出焦 点坐标，再写出顶点坐标 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 a，b，c 的两倍 跟进训练 1求椭圆 4x29y236 的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率 解将椭圆方程变形为x 2 9 y 2 4 1， a3，b2，c a2b2 94 5 椭圆的长轴长和焦距分别为 2a6,2c2 5，焦点坐标为 F1( 5，0
7、)， F2( 5，0)， 顶点坐标为 A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，离心率 ec a 5 3 利用几何性质求椭圆的标准方程 【例 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆 4x29y236 有相同的焦距，且离心率为 5 5 ； (2)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，4) 解(1)将方程 4x29y236 化为x 2 9 y 2 4 1， 可得椭圆焦距为 2c2 5又因为离心率 e 5 5 ， 即 5 5 5 a ，所以 a5，从而 b2a2c225520 若椭圆焦点在 x 轴上，则其标准方程为x 2 25 y2 201； 若椭圆焦点在 y 轴上
8、，则其标准方程为y 2 25 x2 201 (2)依题意 2a22b，即 a2b 若椭圆焦点在 x 轴上，设其方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 则有 a2b， 4 a2 16 b21. 解得 a268， b217， 所以标准方程为x 2 68 y2 171 若椭圆焦点在 y 轴上，设其方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)， 则有 a2b， 16 a2 4 b21， 解得 a232， b28. 所以标准方程为x 2 8 y 2 321 利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项 1用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法. 2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路
9、是“选标准，定参数”，即先明 确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：求出 a2，b2的值；确定焦点所在的 坐标轴；写出标准方程. 3在求解 a2、 b2时常用方程组思想， 通常由已知条件与关系式 a2b2c2， ec a等构造方程组加以求解. 提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解. 跟进训练 2求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是 10，离心率是4 5； (2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6 解(1)设椭圆的方程为 x2 a2 y2 b21(ab0)或 y2 a2 x2 b21(ab0) 由已知得 2a10，a5，ec a 4 5，c4 b2a
10、2c225169 椭圆方程为x 2 25 y2 9 1 或x 2 9 y 2 251 (2)依题意可设椭圆方程为 x2 a2 y2 b21(ab0) 如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2的中线(高)， 且|OF|c，|A1A2|2b,2c6， cb3，a2b2c218， 故所求椭圆的方程为x 2 18 y2 9 1 求椭圆的离心率 探究问题 1求椭圆离心率的关键是什么？ 提示根据 ec a，a 2b2c2，可知要求 e，关键是找出 a，b，c 的等量关 系 2a，b，c 对椭圆形状有何影响？ 提示 【例 3】已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的
11、直线 交椭圆于 A，B 两点，若ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率 思路探究由题设求得 A、B 点坐标，根据ABF2是正三角形得出 a，b， c 的关系，从而求出离心率 解设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，焦点坐标为 F 1(c,0)，F2(c,0) 依题意设 A 点坐标为 c，b 2 a ， 则 B 点坐标为 c，b 2 a ， |AB|2b 2 a 由ABF2是正三角形得 2c 3 2 2b 2 a ， 即3b22ac， 又b2a2c2， 3a2 3c22ac0， 两边同除以 a2得 3 c a 2 2c a 30， 解得 ec a 3 3 1(变换条件)本例中将条件“
12、过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF2是正三角形”改为“A 为 y 轴上一点，且 AF1的中点 B 恰好在 椭圆上，若AF1F2为正三角形”如何求椭圆的离心率？ 解设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，焦点坐标为 F 1(c,0)，F2(c,0)， 设 A 点坐标为(0，y0)(y00)， 则 B 点坐标为 c 2， y0 2 ， B 点在椭圆上， c2 4a2 y20 4b21， 解得 y204b2b 2c2 a2 ， 由AF1F2为正三角形得 4b2b 2c2 a2 3c2， 即 c48a2c24a40， 两边同除以 a4得 e48e240， 解得
13、e 31 2(变换条件)“若ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在 x 轴上，且 A 点的纵坐标等于短半轴长的2 3”，求椭圆的离心率 解设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，F 1(c,0)，F2(c,0)， 由题意知 A c，2 3b在椭圆上， c 2 a2 4 91，解得 e 5 3 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出 a 和 c，再求 ec a，也可利用 e 1b 2 a2求解 (2)若a和c不能直接求出， 则看是否可利用条件得到 a和c的齐次等式关系， 然后整理成c a的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率 e 的方程，进而求 解 1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标
14、准形式要先化成标准形式，再确 定焦点的位置，找准 a、b 2利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法 3求离心率 e 时，注意方程思想的运用 1椭圆x 2 9 y 2 161 的离心率( ) A 7 4 B 9 16 C1 3 D1 4 Aa216，b29，c27，从而 ec a 7 4 2若中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18，且两个焦点恰好将 长轴三等分，则此椭圆的方程是() Ax 2 81 y2 721 Bx 2 81 y2 9 1 Cx 2 81 y2 451 Dx 2 81 y2 361 A由已知得 a9,2c1 32a，c 1 3a3，b 2a2c272 又焦点
15、在 x 轴上，椭圆方程为x 2 81 y2 721 3椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为 () A1 2 B2 C1 4 D4 C椭圆 x2my21 的标准形式为：x2y 2 1 m 1 因为焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的 2 倍，所以1 m4，所以 m 1 4 4若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离 心率是 3 5 由题意有 2a2c2(2b)，即 ac2b， 又 c2a2b2，消去 b 整理得 5c23a22ac， 即 5e22e30，e3 5或 e1(舍去) 5已知椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 9 1 (1)求椭圆的长轴长和短轴长； (2)求椭圆的离心率； (3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点 P(4，1)的椭圆方程 解(1)椭圆的长轴长为 2a6，短轴长为 2b4 (2)c a2b2 5， 所以椭圆的离心率 ec a 5 3 (3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则 b3，可设椭圆方程为 x2 a2 y2 9 1，又椭圆过点 P(4,1)， 将点 P(4,1)代入得 16 a2 1 91， 解得 a218故所求椭圆方程为x 2 18 y2 9 1
