1、2.5椭圆及其方程 2.5.1椭圆的标准方程 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义 解决实际问题(重点) 2掌握用定义法和待定系数法求椭圆 的标准方程(重点) 3理解椭圆标准方程的推导过程，并 能运用标准方程解决相关问题(难点) 1通过椭圆的定义、标准方程的学习， 培养数学抽象素养 2借助于标准方程的推导过程，提升 逻辑推理、数学运算素养 “嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星， 其主要目的是释放月球车 为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验， 并对“嫦娥三号” 着陆区进行高精度成像“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是 以月球为一个焦点的
2、椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标准方程 1椭圆的定义 (1)定义：如果 F1，F2是平面内的两个定点，a 是一个常数，且 2a|F1F2|， 则平面内满足|PF1|PF2|2a 的动点 P 的轨迹称为椭圆 (2)相关概念：两个定点 F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2| 称为椭圆的焦距 思考 1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|” 的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 提示2a 与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件结论 2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆 2a|F1F2|动点的轨迹是线段 F1F2 2a|F1F
3、2|动点不存在，因此轨迹不存在 2椭圆的标准方程 焦点位置在 x 轴上在 y 轴上 标准方程 x2 a2 y2 b21 (ab0) y2 a2 x2 b21 (ab0) 图形 焦点坐标(c,0)(0，c) a，b，c 的关系a2b2c2 思考 2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？ 提示a，b 的值及焦点所在的位置 思考 3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？ 提示把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 () (2)椭圆x 2 16 y2 251 的焦点坐标是(3
4、,0) () (3)y 2 a2 x2 b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆 () 答案(1)(2)(3) 提示(1)需 2a|F1F2| (2)(0，3) (3)ab0 时表示焦点在 y 轴上的椭圆 2以下方程表示椭圆的是() Ax2y21B2x23y26 Cx2y21D2x23y26 B只有 B 符合椭圆的标准方程的形式 可化为x 2 3 y2 2 1 3以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是 2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程 是() Ax 2 5 y 2 4 1 Bx 2 3 y 2 4 1 Cx 2 5 y 2 4 1 或x 2 3 y 2 4 1 Dx 2 9 y 2 4 1 或x
5、 2 3 y 2 4 1 C若椭圆的焦点在 x 轴上， 则 c1， b2， 得 a25， 此时椭圆方程是x 2 5 y2 4 1；若焦点在 y 轴上，则 a2，c1，则 b23，此时椭圆方程是x 2 3 y 2 4 1 4椭圆x 2 9 y 2 4 1 的左、右焦点 F1，F2，点 P 在椭圆上，若|PF1|4，则|PF2| 2由椭圆的定义知|PF1|PF2|6，所以|PF2|6|PF1|642 求椭圆的标准方程 【例 1】根据下列条件，求椭圆的标准方程 (1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26 (2)经过点 P 1，3 2 ，两焦点间的距离为
6、2，焦点在 x 轴上 (3)过(3,2)且与x 2 9 y 2 4 1 有相同的焦点 解(1)椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：y 2 a2 x2 b21(ab 0) 2a26,2c10，a13，c5 b2a2c2144 所求椭圆的标准方程为： y2 169 x2 1441 (2)设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 焦点在 x 轴上，2c2，a2b21， 又椭圆经过点 P 1，3 2 ， 1 b21 9 4 b2 1， 解之得 b23，a24 椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 3 1 (3)由方程x 2 9 y 2 4 1 可知，其焦点的坐标为( 5，0)，
7、即 c 5 设所求椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，则 a 2b25，因为过点(3,2)，代 入方程为 9 a2 4 a251(ab0)， 解得 a215(a23 舍去)，b210， 故椭圆的标准方程为x 2 15 y2 101 利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求 a，b，c 的等量关系；(4)求 a，b 的值，代入所设方程 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况 讨论，可设椭圆方程为 mx2ny21(mn，m0，n0) 跟进训练 1求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)焦点在 x 轴上，且 a4，
8、c2； (2)经过点 P 1 3， 1 3 ，Q 0，1 2 解(1)a216，c24，b216412， 且焦点在 x 轴上，故椭圆的标准方程为x 2 16 y2 121 (2)法一： 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 依题意，有 1 3 2 a2 1 3 2 b2 1， 0 1 2 2 b2 1， 解得 a21 5， b21 4， 因为 ab0，所以方程组无解 当椭圆的焦点在 y 轴上时，设标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)， 依题意，有 1 3 2 a2 1 3 2 b2 1， 1 2 2 a2 01， 解得 a21 4， b21
9、5， 所以所求方程为y 2 1 4 x 2 1 5 1 法二：设所求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，且 mn)， 依题意得 1 9m 1 9n1， 1 4n1， 解得 m5， n4， 故所求方程为 5x24y21，即y 2 1 4 x 2 1 5 1 椭圆的定义及其应用 探究问题 1如何用集合语言描述椭圆的定义？ 提示PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2| 2如何判断椭圆的焦点位置？ 提示判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2项和 y2项的 分母哪个更大一些，即“谁大在谁上” 3椭圆标准方程中，a，b，c 三个量的关系是什么？ 提示椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的
10、点 M 到两焦点间距离的和的一 半， 可借助图形帮助记忆 a， b， c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边， a 是斜边，所以 ab，ac，且 a2b2c2(如图所示) 【例 2】设 P 是椭圆x 2 25 y2 75 4 1 上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若F1PF2 60，求F1PF2的面积 解由椭圆方程知，a225，b275 4 ，c225 4 ， c5 2，2c5 在PF1F2中， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 即 25|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2| 由椭圆的定义，得 10|PF1|PF2|， 即 100|PF1|2|P
11、F2|22|PF1|PF2| ，得 3|PF1|PF2|75， 所以|PF1|PF2|25， 所以 SF1PF21 2|PF 1|PF2|sin 6025 3 4 1将本例中的“F1PF260”改为“F1PF230”其余条件不变，求 F1PF2的面积 解由椭圆方程知，a225，b275 4 ，c225 4 ，c5 2，2c5 在PF1F2中， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 30， 即 25|PF1|2|PF2|2 3|PF1|PF2| 由椭圆的定义得 10|PF1|PF2|， 即 100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2| ，得(2 3)|PF1|P
12、F2|75， 所以|PF1|PF2|75(2 3)， 所以 SF1PF21 2|PF 1|PF2|sin 3075 4 (2 3) 2将椭圆的方程改为“ x2 100 y2 641”其余条件不变，求F 1PF2的面积 解|PF1|PF2|2a20，又|F1F2|2c12 由余弦定理知：(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 即：144(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2| 所以|PF1|PF2|256 3 ， 所以 SF1PF21 2|PF 1|PF2|sin 6064 3 3 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2
13、a|F1F2|)，则点 M 的 轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题 过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时， 应先考虑是否能够利用椭圆的 定义求解 拓展延伸：椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1， F2构成的PF1F2， 称为焦点三角形 解 关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定 理等知识求解 与椭圆有关的轨迹问题 【例 3】如图，圆 C：(x1)2y225 及点 A(1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的 垂直平分线交 CQ 于 M，求点
14、M 的轨迹方程 解由垂直平分线性质可知|MQ|MA|， |CM|MA|CM|MQ|CQ| |CM|MA|5 M 点的轨迹为椭圆，其中 2a5， 焦点为 C(1,0)，A(1,0)， a5 2，c1，b 2a2c225 4 121 4 所求轨迹方程为： x2 25 4 y2 21 4 1 求解与椭圆相关的轨迹问题的方法 跟进训练 2已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1内部 且和圆 C1相内切，和圆 C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程 解如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r， 由题意动圆 M 内切于圆 C1， |MC1|13r 圆 M 外切于圆 C
15、2， |MC2|3r |MC1|MC2|16|C1C2|8， 动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2为焦点的椭圆， 且 2a16,2c8， b2a2c2641648， 故所求轨迹方程为x 2 64 y2 481 (1) 平面 内到两定 点 F1、 F2的距 离之和为 常数，即 |MF1| |MF2| 2a 2a|F1F2|，轨迹为椭圆 2a|F1F2|，线段 F1F2 2a|F1F2|，不存在 (2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数 a，b，c 其中的两个量；也可以用 待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步 骤可归纳为“先定位，后定量” (3)当焦点位置不确定时
16、， 可设椭圆方程为 mx2ny21(m0， n0， mn)， 因为它包括焦点在 x 轴上(mn)或焦点在 y 轴上(mn)两类情况，所以可以避免 分类讨论，从而达到了简化运算的目的 1椭圆x 2 25y 21 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的 距离为() A5B6 C7D8 D由椭圆定义知点 P 到另一个焦点的距离是 1028 2到两定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 的点的轨迹是() A椭圆B线段 C圆D以上都不对 B|MF1|MF2|F1F2|4，点 M 的轨迹为线段 F1F2 3椭圆x 2 16 y2 321 的焦距为 8由方程得 a232
17、，b216，c2a2b216 c4,2c8 4已知椭圆x 2 16 y2 9 1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F1的直线 l 交椭 圆于 A、B 两点，则ABF2的周长是 16由椭圆定义知，|AF1|AF2|BF1|BF2|2a8，又ABF2的周长等 于|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|16 5设 F1，F2分别为椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆 C 上的点 A 1，3 2 到 F1，F2两点的距离之和为 4，求椭圆 C 的方程是 x2 4 y 2 3 1|AF1|AF2|2a4 得 a2， 原方程化为x 2 4 y 2 b21， 将 A 1，3 2 代入方程得 b23， 椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1
