1、2.3.3直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 学 习 目 标核 心 素 养 1理解直线与圆的三种位置关系(重 点) 2会用代数法和几何法判断直线与圆 的位置关系(重点) 3能解决直线与圆位置关系的综合问 题(难点) 1通过直线与圆的位置关系的学习， 培养直观想象逻辑推理的数学核心素 养 2通过解决直线与圆位置关系的综合 问题，培养数学运算的核心素养 早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一 个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程你能想象到什么几何知识 呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系你发现了 吗？ 直线与圆的位置关系的判定 (直线 A
2、xByC0，AB0，圆(xa)2(yb)2r2，r0) 位置关系相交相切相离 公共点个数2 个1 个0 个 判定方法 几何法：设圆心到直线的 距离 d|AaBbC| A2B2 drdrdr 判定方法 代数法：由 AxByC0 xa2yb2r2 消元得到一元二次方程的 判别式 000 图形 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切 () (2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切() 答案(1)(2) 2 (教材 P110练习 A改编)直线 3x4y50 与圆 x2y21 的位置关系是 () A相交B相切 C相离D无法判断 B圆心
3、(0,0)到直线 3x4y50 的距离 d |5| 32421，又圆 x 2y21 的半径为 1，dr，故直线与圆相切 3直线 xy1 与圆 x2y22ay0(a0)没有公共点，则 a 的取值范围 是 0a 21由题意得圆心(0，a)到直线 xy10 的距离大于半径 a， 即|a1| 2 a，解得 21a 21，又 a0，0a 21 4直线3xy2 30，截圆 x2y24 所得的弦长是 2圆心到直线3xy2 30 的距离 d|2 3| 31 3所以弦长 l 2 R2d22 432 直线与圆位置关系的判定 【例 1】已知直线 yxb 与圆 x2y22，当 b 为何值时，圆与直线有两 个公共点？只
4、有一个公共点？没有公共点？ 思路探究可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线 的距离与半径的大小关系进行判断 解法一：由 x2y22 yxb 得 2x22bxb220， 方程的根的判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2) (1)当2b2 时，0，直线与圆有两个公共点 (2)当 b2 或 b2 时，0，直线与圆只有一个公共点 (3)当 b2 或 b2 时，0 方程组没有实数解，直线与圆没有公共点 法二：圆的半径 r 2，圆心 O(0,0)到直线 yxb 的距离为 d |b| 2 当 dr，即2b2 时，圆与直线相交，有两个公共点 当 dr，|b|2，即 b2 或 b2 时，
5、圆与直线相切，直线与圆只有一个 公共点 当 dr，|b|2，即 b2 或 b2 时，圆与直线相离，圆与直线无公共点 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断 (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线 与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 跟进训练 1已知圆的方程 x2(y1)22，直线 yxb，当 b 为何值时，圆与直线 有两个公共点，只有一个公共点，无公共点？ 解法一：由 yxb， x2y122 得 2x22(1b)xb22b
6、10， 其判别式4(1b)28(b22b1)4(b3)(b1)， 当3b1 时，0，方程有两个不等实根，直线与圆有两个公共点； 当 b3 或 1 时，0，方程有两个相等实根，直线与圆有一个公共点； 当 b3 或 b1 时，0，方程无实数根，直线与圆无公共点 法二：圆心(0,1)到直线 yxb 距离 d|1b| 2 ，圆半径 r 2 当 dr，即3b1 时，直线与圆相交，有两个公共点； 当 dr，即 b3 或 1 时，直线与圆相切，有一个公共点； 当 dr，即 b3 或 b1 时，直线与圆相离，无公共点 直线与圆相切的有关问题 【例 2】过点 A(4，3)作圆 C：(x3)2(y1)21 的切线
7、，求此切线的 方程 思路探究利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出 切线方程 解因为(43)2(31)2171， 所以点 A 在圆外 (1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为 k， 则切线方程为 y3k(x4) 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为 1， 所以|3k134k| k21 1，即|k4| k21， 所以 k28k16k21，解得 k15 8 所以切线方程为 y315 8 (x4)， 即 15x8y360 (2)若直线斜率不存在， 圆心 C(3,1)到直线 x4 的距离也为 1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x4 综上，所求切线方程为 15
8、x8y360 或 x4 过一点的圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由 垂直关系得切线的斜率为1 k，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在， 则由图形可直接得切线方程 xx0或 yy0 (2)点在圆外时 几何法：设切线方程为 yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径， 可求得 k，也就得切线方程 代数法：设切线方程为 yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去 y 后得到 关于 x 的一元二次方程，由0 求出 k，可得切线方程 提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解 跟进训练 2过原点的直线与圆 x2y24x30
9、 相切，若切点在第三象限，求该直 线的方程 解圆 x2y24x30 化为标准式(x2)2y21，圆心 C(2,0)，设过 原点的直线方程为 ykx，即 kxy0直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径 即 |2k| k211，3k 21， k21 3，解得 k 3 3 切点在第三象限，k0， 所求直线方程为 y 3 3 x 直线截圆所得弦长问题 探究问题 1已知直线 l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？ 提示将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB| x2x12y2y12求弦长 2若直线与圆相交、圆的半径为 r、圆心到直线的距离为 d，如何求弦长？ 提示通过半弦长、弦心
10、距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦 长 l2 r2d2 【例 3】直线 l 经过点 P(5,5)并且与圆 C：x2y225 相交截得的弦长为 4 5，求 l 的方程 思路探究设出点斜式方程，利用交点坐标法或利用 r、弦心距及弦长的 一半构成直角三角形可求 解据题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y5k(x5)，与圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 法一：联立方程组 y5kx5， x2y225. 消去 y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0 由10k(1k)24(k21)25k(k2)0， 解得 k0又 x1x210k1k k21 ， x1x
11、225kk2 k21 ， 由斜率公式，得 y1y2k(x1x2) |AB| x1x22y1y22 1k2x1x22 1k2x1x224x1x2 1k2 100k21k2 k212 425kk2 k21 4 5两边平方，整理得 2k25k20，解得 k1 2或 k2 符合题意 故直线 l 的方程为 x2y50 或 2xy50 法二：如图所示，|OH|是圆心到直线 l 的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长 |AB|的一半 在 RtAHO 中，|OA|5， |AH|1 2|AB| 1 24 52 5， 则|OH| |OA|2|AH|2 5 |51k| k21 5， 解得 k1 2或 k2 直线
12、 l 的方程为 x2y50 或 2xy50 (变条件)直线 l 经过点 P(2， 1)且被圆 C： x2y26x2y150 所截得的 弦长最短，求此时直线 l 方程 解圆的方程为(x3)2(y1)225，圆心 C(3,1)因为|CP| 322112 55，所以点 P 在圆内当 CPl 时，弦长最短 又 kCP11 322所以 k l1 2，所以直线 l 的方程为 y1 1 2(x2)，即 x2y0 直线与圆相交时弦长的两种求法 (1)几何法：如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为 d，圆的半 径为 r，弦长为|AB|，则有 |AB| 2 2 d2r2，则|AB|2 r2d
13、2 图 1图 2 (2)代数法：如图 2 所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交 点分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| x1x22y1y22 1k2|x1x2| 1 1 k2|y 1y2|(直线 l 的斜率 k 存在且不为 0) 1如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法 (1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法； (2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法 提醒：能用几何法，尽量不用代数法 (3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系 或者这三条线段形成的三角形的性质求解， 而弦心距可利用点到直线的
14、距离公式 列式，进而求解即可 2利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点 (1)代入消元过程中消x还是消y取决于直线方程的特点， 尽量减少分类讨论， 如若直线方程为 xay10，则应将其化为 xay1，然后代入消 x (2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次 项系数为零，则判别式无意义 1直线 yx1 与圆 x2y21 的位置关系是() A相切B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离 B圆心到直线的距离 d 1 1212 2 2 1 又直线 yx1 不过圆心(0,0) 直线与圆相交但不过圆心 2设直线 l 过点 P(2,0)，且与圆 x2y21 相切，则 l 的斜
15、率是() A1B1 2 C 3 3 D 3 C设 l：yk(x2)， 即 kxy2k0 又 l 与圆相切， |2k| 1k21k 3 3 3直线 x2y5 50 被圆 x2y22x4y0 截得的弦长为 4圆的标准方程(x1)2(y2)25，圆心(1,2)到直线 x2y5 50 的距离 d|1225 5| 1222 1，所以弦长为 2 514 4若直线 xym0 与圆 x2y22 相离，则 m 的取值范围是 m2 或 m2因为直线 xym0 与圆 x2y22 相离，所以 |m| 1212 2，解得 m2 或 m2 5过点(1，2)的直线 l 被圆 x2y22x2y10 截得的弦长为 2，求 直线 l 的方程 解由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为 k设直线 l 的方程 为 y2k(x1) 又圆的方程为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1)，半径为 1，所以圆心到直线 的距离 d|2k12| 1k2 12 2 2 2 2 2 解得 k1 或 k17 7 所以直线 l 的方程为 y2x1 或 y217 7 (x1)， 即 xy10 或 17x7y30
