1、2.2.3两条直线的位置关系 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握两条直线相交的判定方法，会求两条 相交直线的交点坐标(重点) 2掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注 意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线 平行与垂直的差别(重点) 3灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置 关系(难点) 1通过学习两直线位置关系 的方法， 培养逻辑推理的数学 核心素养 2借助两直线方程的学习， 培养数学运算的核心素养 过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不 少人着迷实际上，过山车运动包含了许多数学、物理学原理，人们在设计过山 车时巧妙地运用了这些原理过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道
2、，你能感受 到过山车中的平行吗？那么两条直线的平行用什么来刻画呢？ 1两条直线相交、平行与重合的条件 (1)几何方法判断 若两直线的斜率均存在， 我们可以利用斜率和在 y 轴上的截距判断两直线的 位置关系，其方法如下： 设 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2， l1与 l2相交k1k2； l1l2k1k2且 b1b2； l1与 l2重合k1k2且 b1b2 (2)向量方法判断 设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20， 因为 v1(A1，B1)是直线 l1的一个法向量，v2(A2，B2)是直线 l2的一个法向 量 l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共
3、线， 即A1B2A2B1 l1与 l2平行或重合的充要条件是 v1与 v2共线，即 A1B2A2B1； l1与 l2重合的充要条件是，存在实数使得 A1A2， B1B2， C1C2. 思考： 直线AxByC10与直线AxByC20， 平行的充要条件是什么？ 重合呢？ 提示平行的充要条件是 C1C2，重合的充要条件为 C1C2 2两条直线垂直 对应关系 l1与 l2的斜率都存在， 分别 为 k1，k2，则 l1l2k1k2 1 l1与 l2中的一条斜率不存在， 另 一条斜率为零，则 l1与 l2的位 置关系是 l1l2 图示 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若两条直线斜率相等，则
4、这两条直线平行() (2)若 l1l2，则 k1k2() (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直 线相交() (4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜 率不存在情况，故(2)错误；(3)正确 2已知 A(2,0)，B(3,3)，直线 lAB，则直线 l 的斜率为() A3B3C1 3 D1 3 B因为 kkAB30 323，所以 l 的斜率为 3 3直线 l1与 l2的斜率是一元二次方程 2 019x22 020 x2 0190 的两根， 则 l1与
5、 l2的位置关系为 垂直由题意知一元二次方程 2 019x22 020 x2 0190 的两根 x1x2 1， 直线 l1、l2的斜率之积 k1k21，直线 l1l2 4若直线 l：xay20 平行于直线 2xy30，则 a 1 2 因为直线 l：xay20 平行于直线 2xy30，所以 1(1) 2a0，解得 a1 2 5经过点 P(2，1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为 45的直线垂直，则 a 6由题意知a1 321，所以 a6 两条直线相交、平行、重合的判定 【例 1】已知两直线 l1：xmy60；l2：(m2)x3y2m0，当 m 为 何值时，直线 l1与 l2：(1)相交；(2)平行
6、；(3)重合 思路探究可尝试根据两直线相交、平行、重合的等价条件，列出方程求 参数的值 解直线 l1：xmy60， 直线 l2：(m2)x3y2m0， A11，B1m，C16，A2m2，B23，C22m (1)若 l1与 l2相交，则 A1B2A2B10，即 13m(m2)0， 即 m22m30，即(m3)(m1)0，即 m3，且 m1 故当 m3，且 m1 时，直线 l1与 l2相交 (2)若 l1l2，则有 A1B2A2B10， B1C2B2C10， 即 3mm20， 2m2180， 即 m22m30， m29， 即 m3 或 m1， m3 且 m3， m1 故当 m1 时，直线 l1与
7、l2平行 (3)若 l1与 l2重合，则有 A1B2A2B10， B1C2B2C10， 即 3mm20， 2m2180， m3 或 m1， m3 或 m3， m3 故当 m3 时，直线 l1与 l2重合 根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用 斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两 直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系 更简便易行. 跟进训练 1l1：9xya20；l2：ax(a2)y10求当 a 为何值时，直线 l1 与 l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合 解由题意：A19，B11，C1a2，
8、A2a，B2a2，C21， (1)若 l1与 l2相交，则 A1B2A2B10， 即 9(a2)a(1)0，a9 5 故当 a9 5时，直线 l 1与 l2相交 (2)若 l1l2，则有 A1B2A2B10， B1C2B2C10， 即 9a2a10， 1a240， a9 5， a 3. 当 a9 5时，l 1与 l2平行 (3)若 l1与 l2重合，则有 A1B2A2B10， B1C2B2C10， 由(2)知 a9 5， a 3， 不成立，直线 l1与 l2不重合 综上所述：当 a9 5时，两直线相交，当 a 9 5时，两直线平行，不论 a 为何 值两直线不会重合 两条直线垂直的判定 【例 2
9、】(1)l1经过点 A(3,2)，B(3，1)，l2经过点 M(1,1)，N(2,1)，判断 l1 与 l2是否垂直； (2)已知直线 l1经过点 A(3，a)，B(a2,3)，直线 l2经过点 C(2,3)，D(1，a 2)，若 l1l2，求 a 的值 思路探究(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线 的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为 0，若为 0，则垂直； (2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于1 求解；若一条直线的斜率 不存在，由另一条直线的斜率为 0 求解 解(1)直线 l1的斜率不存在，直线 l2的斜率为 0，所以 l1l2 (2)由题意，知 l2的斜率
10、k2一定存在，l1的斜率可能不存在 当 l1的斜率不存在时，3a2，即 a5，此时 k20， 则 l1l2，满足题意 当 l1的斜率 k1存在时，a5， 由斜率公式，得 k1 3a a23 3a a5，k 2a23 12 a5 3 由 l1l2，知 k1k21， 即3a a5 a5 3 1，解得 a0 综上所述，a 的值为 0 或 5 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存 在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则 进行第二步 (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式 (3)求值：计算斜率的值，进行判
11、断尤其是点的坐标中含有参数时，应用 斜率公式要对参数进行讨论 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注 意讨论斜率不存在的情况 跟进训练 2分别判断下列两直线是否垂直 (1)直线 l1的斜率为10，直线 l2经过点 A(10,2)，B(20,3) (2)直线 l1经过 A(3,4)，B(3,7)，直线 l2经过点 P(2,4)，Q(2,4) (3)直线 l1的斜率为1 3，直线 l 2与直线 2x3y10 平行 解(1)直线 l1的斜率为 k110，直线 l2的斜率为 k2 32 2010 1 10，k 1k2 10 1 101所以直线 l 1与 l2垂直 (2)直线
12、 l1的斜率不存在，故 l1与 x 轴垂直，直线 l2的斜率为 0，故直线 l2 与 x 轴平行，所以 l1与 l2垂直 (3)直线 l1的斜率为 k11 3，直线 l 2的斜率为 k22 3，k 1k22 91，所以 直线 l1与 l2不垂直 直线平行与垂直的综合应用 探究问题 1已知ABC 的三个顶点坐标 A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断ABC 的形状吗？ 提示如图， AB 边所在的直线的斜率 kAB1 2， BC 边所在直线的斜率 k BC 2由 kABkBC1，得 ABBC，即ABC90 ABC 是以点 B 为直角顶点的直角三角形 2若已知直角三角形 ABC 的顶点
13、A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出 m 的值吗？ 提示若A 为直角，则 ACAB， 所以 kACkAB1，即m1 25 11 151，得 m7； 若B 为直角，则 ABBC，所以 kABkBC1， 即11 15 m1 21 1，得 m3； 若C 为直角，则 ACBC，所以 kACkBC1， 即m1 25 m1 21 1，得 m2 综上可知，m7 或 m3 或 m2 【例 3】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 OPQR 的顶点坐标按逆 时针顺序依次为 O(0,0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，R(2t,2)，其中 t0试判 断四边形 OPQR 的形状 思路探究利用直线方
14、程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直 线的位置关系 解由斜率公式得 kOPt0 10t， kQR 22t 2t12t t 1t，k OR 20 2t0 1 t ， kPQ 2tt 12t1 2 2t 1 t 所以 kOPkQR，kORkPQ，从而 OPQR， ORPQ 所以四边形 OPQR 为平行四边形 又 kOPkOR1，所以 OPOR， 故四边形 OPQR 为矩形 1将本例中的四个点，改为“A(4,3)，B(2,5)，C(6，3)，D(3，0)，顺 次连接 A，B，C，D 四点，试判断四边形 ABCD 的形状” 解由题意 A，B，C，D 四点在平面直角坐标系内的位置如图， 由斜率公
15、式可得 kAB 53 24 1 3， k CD 03 36 1 3， k AD 03 343， kBC35 62 1 2 所以 kABkCD，由图可知 AB 与 CD 不重合，所以 ABCD，由 kADkBC， 所以 AD 与 BC 不平行 又因为 kABkAD1 3(3)1， 所以 ABAD，故四边形 ABCD 为直角梯形 2将本例改为“已知矩形 OPQR 中按逆时针顺序依次为 O(0，0)，P(1，t)， Q(12t,2t)，试求顶点 R 的坐标” 解因为 OPQR 为矩形，所以 OQ 的中点也是 PR 的中点，设 R(x，y)， 则由中点坐标公式知 012t 2 1x 2 ， 02t 2
16、 ty 2 ， 解得 x2t， y2. 所以 R 点的坐标是(2t,2) 1利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤 2判定几何图形形状的注意点 (1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状， 以明确证明的目标 (2)证明两直线平行时，仅仅有 k1k2是不够的，还要注意排除两直线重合 的情况 (3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况 1本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断 两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直 2本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤 (2)利用斜率公式判断两条
17、直线垂直的方法 (3)判断图形形状的方法步骤 3本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对 字母分类讨论 1直线 xay70 与直线(a1)x2y140 平行，则 a 的值是() A1B2C1 或2D1 或 2 B由已知，得 a(a1)20， 解得 a2 或 a1当 a1 时，两直线重合，a2 2如图，直线 l1的倾斜角130，直线 l1l2，则 l2的斜率为() A 3 3 B 3 3 C 3D 3 Ck1tan 30 3 3 ， 又 l1l2，k1k21， k2 3 3已知过点 A(2，m)和 B(m,4)的直线与直线 2xy10 平行，则 m 的 值为() A8B0
18、C2D10 A由已知，得4m m22，m8 4已知直线 l 的倾斜角为 45，直线 l2的斜率为 km23，若 l1l2，则 m 的值为 2由题意知 m23tan 45，解得 m2 5当 m 为何值时，过两点 A(1,1)，B(2m21，m2)的直线： (1)倾斜角为 135； (2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直； (3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行 解(1)由 kABm3 2m2 tan 1351， 解得 m3 2或 m1 (2)由 kABm3 2m2 ，且72 03 3 则m3 2m2 1 3，解得 m 3 2或 m3 (3)令m3 2m2 93 422，解得 m 3 4或 m1
