1、2.1坐标法坐标法 学 习 目 标核 心 素 养 1理解平面直角坐标系中的基本 公式(重点) 2理解坐标法的数学思想并能掌 握坐标法的应用(重点、难点) 1 通过学习实数与数轴上的点的对应关系， 培养直观想象的核心素养 2借助距离公式和坐标法的应用，培养数 学运算和数学建模的核心素养 小华以马路上的电线杆为起点，先向东走了 5 m，然后又向西走了 8 m，那 么小华现在的位置离电线杆多远？对于这类问题，我们可以建立一个直线坐标 系，确定出正、负方向，利用数轴上两点间的距离公式来求解 1平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上两点间的距离公式 如果数轴上点 A 对应的数为 x1(即 A 的坐标为
2、 x1，记作 A(x1)，且 B(x2)，则 向量AB 的坐标为 x2x1，数轴上两点之间的距离公式|AB|AB |x2x1|如果 M(x)是线段 AB 的中点，则AM MB 数轴上的中点坐标公式 xx1x2 2 思考：数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？ 提示给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数 是一一对应的 (2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB (x 2x1， y2y1)， |AB|AB | x 2x12y2y12， 若 M(x，y)是线段 AB 的中点，则AM MB ，则直角坐标系内的中点坐标公式 x
3、 x1x2 2 ，yy1y2 2 2坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算 等解决问题的方法称为坐标法 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应() (2)数轴上起点相同的向量方向相同() (3)点 M(x)位于点 N(2x)的左侧() (4)数轴上等长的向量是相等的向量() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)与有序实数对一一对应 (2)终点不一定相同 (3)x 与 2x 的大小无法确定 (4)方向不一定相同 2(教材 P69习题 21A改编)已知数轴上 A(3)，B(8)，则 A，B 两点间 的距离为() A
4、3B8C11D5 C|AB|8(3)|11 3已知 A(1,2)，B(2,6)，则 AB 的中点坐标为_ 3 2，4设 AB 的中点为 M(x，y)，则 x12 2 3 2，y 26 2 4，中点坐 标为 3 2，4 4已知 A(2,4)，B(1,3)，则 A，B 两点间的距离为_ 10|AB| 212432 10 数轴上的点与实数间的关系 【例 1】(1)若点 P(x)位于点 M(2)，N(3)之间，求 x 的取值范围； (2)试确定点 A(a)，B(b)的位置关系 解(1)由题意可知，点 M(2)位于点 N(3)的左侧，且点 P(x)位于点 M( 2)，N(3)之间，所以2xb 时， 点
5、A(a) 位于点 B(b)的右侧；当 a32，所以 A(32)位于 B(23)的左侧 (2)因为 m21m m1 2 2 3 4 3 40， 所以 m21m，所以 B(m21)位于 A(m)的右侧 (3)当 a0 时，|a|a，则 A(|a|)和 B(a)为同一个点 当 aa，则 A(|a|)位于 B(a)的右侧 数轴上两点间的距离 探究问题 1如果两点的位置不确定，如何求其距离？ 提示分类讨论 2向量的长度及数量的区别与联系 提示|AB|d(A，B)|xBxA|， ABxBxA 【例 2】已知数轴上点 A，B，P 的坐标分别为1,3，x 当点 P 与点 B 的距离是点 P 与点 A 的距离的
6、 3 倍时，求点 P 的坐标 x 思路探究数轴上两点间的距离点与实数的对应关系数轴上的基本 公式 解由题意知 |PB|3|PA|，即|x3|3|x1|， 则 3(x1)x3， 或 3(x1)(x3) 解得 x3；解得 x0 所以点 P 的坐标为3 或 0 1本例中若点 P 到点 A 和点 B 的距离都是 2，求点 P 的坐标 x，此时点 P 与线段 AB 有着怎样的关系？ 解由题意知|PA|PB|2， 即 |x1|2， |x3|2， 解得 x1 此时点 P 的坐标为 1，显然此时 P 为线段 AB 的中点 2本例中在线段 AB 上是否存在点 P(x)，使得点 P 到点 A 和点 B 的距离都
7、是 3？若存在，求出点 P 的坐标 x；若不存在，请说明理由 解不存在这样的点 P(x) 因为 d(A，B)|31|4，要使点 P 在线段 AB 上，且 d(P，A)d(P，B)3， 则 d(A，B)d(P，A)d(P，B)，这是不可能的 数轴上的基本公式应用思路与方法 (1)已知向量AB ， BC ，AC 中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用AC AB BC 求解 (2)已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用AB x BxA求解 (3)已知数轴上两点间的距离时，使用 d(A，B)|AB|xBxA|求解 两点间距离公式的应用 【例 3】已知ABC 的三个顶点坐标是 A(3,1)，B(
8、3，3)，C(1,7) (1)判断ABC 的形状； (2)求ABC 的面积 思路探究(1)先根据已知条件，画出草图，判断ABC 的大致形状，然后 从边着手或从角着手确定其形状 (2)结合三角形形状求解 解(1)|AB| 3323122 13， |AC| 1327122 13， 又|BC| 1327322 26， |AB|2|AC|2|BC|2且|AB|AC|， ABC 是等腰直角三角形 (2)ABC 的面积 SABC1 2|AC|AB| 1 22 132 1326 判断三角形形状的方法 (1)采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向 (2)利用两点间的距离公式，分别计算ABC
9、 三边的长度，根据三角形边的 长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理 跟进训练 2若等腰三角形 ABC 的顶点 A 是(3,0)，底边 BC 的长为 4，BC 边的中点为 D(5,4)，求等腰ABC 的腰长 解因为|AD| 5324022 5， 在等腰ABD 中， 由勾股定理得， |AB| |AD|2|BD|2 2042 6所以等腰ABC 的腰长为 2 6 坐标法的应用 【例 4】 如图所示， 四边形 ABCD 为等腰梯形， 利用坐标法证明梯形 ABCD 的对角线|AC|BD| 证明建立如图坐标系，设 A(0，0)，B(a,0)，C(b，c)，则点 D 的坐标是(a b，c) |AC|
10、 b02c02 b2c2， |BD| aba2c02 b2c2， 故|AC|BD| 利用坐标法解平面几何问题常见的步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系 跟进训练 3已知ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的平面直角 坐标系，证明：|AM|1 2|BC| 证明以 RtABC 的直角边 AB，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的 平面直角坐标系 设 B， C 两点的坐标分别为(b,0)， (0， c)， 斜边 BC 的中点为 M， 所以点 M 的坐标为 0b
11、 2 ，0c 2，即 b 2， c 2 由两点间的距离公式得 |BC| 0b2c02 b2c2， |AM| 0b 2 2 0c 2 2 1 2 b2c2， 故|AM|1 2|BC| 1坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之 一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离反过来，已知两点间的距离 也可以根据条件求其中一个点的坐标 2平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明用 坐标法解题时， 由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改 变的， 但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时 必须“避繁就简” 3本节课要掌握的规
12、律方法 (1)数轴上的点与实数之间的关系 (2)数轴上两点间的距离及平面直角坐标系内两点间的距离公式 4本节课的易错点是坐标法的应用，容易将坐标写错 1下列各组点中，点 C 位于点 D 的右侧的是() AC(3)和 D(4)BC(3)和 D(4) CC(4)和 D(3)DC(4)和 D(3) A由数轴上点的坐标可知 A 正确 2已知 A(8，3)，B(5，3)，则线段 AB 的中点坐标为() A 3 2，2B 3 2，3 C 3 2，3D 3 2，3 B由中点坐标公式可以求得 3已知 M(2,1)，N(1,5)，则|MN|等于_ 5|MN| 2121525 4已知矩形相邻两个顶点是 A(1,3)，B(2,4)，若它的对角线交点在 x 轴 上，求另外两顶点 C，D 的坐标 解设对角线交点为 P(x,0)，则|PA|PB|， 即(x1)2(03)2(x2)2(04)2， 解得 x5， 所以对角线交点为 P(5,0) 所以 xC2(5)(1)9， yC2033，即 C(9，3)； xD2(5)(2)8， yD2044，所以 D(8，4) 所以另外两顶点的坐标为 C(9，3)，D(8，4)
