1、巩固层知识整合 (教师用书独具) 提升层题型探究 空间向量及其运算 【例 1】(1)在空间四边形 OABC 中，其对角线为 OB，AC，M 是 OA 的 中点，G 为ABC 的重心，用基向量OA ， OB ，OC 表示向量MG (2)已知三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5) 求以 AB，AC 为邻边的平行四边形的面积 若|a| 3，且 a 分别与AB ，AC 垂直，求向量 a 的坐标 解(1)如图，连接 AG 并延长交 BC 于点 D D 为 BC 的中点， AD 1 2(AB AC ) G 为ABC 的重心，AG 2 3AD 1 3(AB AC )， 又AB OB OA
2、 ，AC OC OA ， AG 1 3(AB AC )1 3(2OA OB OC ) M 为 OA 的中点，AM 1 2OA MG AG AM 1 3(2OA OB OC )1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC (2)由题意，可得AB (2，1,3)，AC (1，3,2)， 所以 cos AB ， AC AB AC |AB |AC | 236 14 14 7 14 1 2， 所以 sin AB ， AC 3 2 ， 所以以 AB，AC 为邻边的平行四边形的面积为 S21 2|AB |AC |sinAB ， AC 14 3 2 7 3 设 a(x，y，z)，由题意，得 x2y2z23，
3、 2xy3z0 x3y2z0. ， 解得 x1， y1， z1， 或 x1， y1， z1. 所以向量 a 的坐标为(1,1,1)或(1，1，1) 1向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、 三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义 2熟记空间向量的坐标运算公式 设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)， (1)加减运算：ab(x1x2，y1y2，z1z2) (2)数量积运算：abx1x2y1y2z1z2 (3)向量夹角：cosa，b x1x2y1y2z1z2 x21y21z21 x22y22z22 (4)向量长度：设 M1(x1，y1，z1
4、)，M2(x2，y2，z2)， 则|M1M2 | x1x22y1y22z1z22 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算 跟进训练 1已知向量AB (4,3)，AD (3，1)，点 A(1，2) (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标； (2)若点 P(2，y)满足PB BD ，求 y 与的值 解(1)设 B(x，y)，A(1，2)，AB (x1，y2)(4,3)， x14， y23， 解得 x3， y1， 即 B(3,1)， 同理可得 D(4，3) 线段 BD 的中点 M 的坐标为 1 2，1 (2)PB (1,1y)，BD (7，4)， 由PB BD 得(1,1y)(7，
5、4)， 71， 1y4， y3 7， 1 7. 利用空间向量证明平行、垂直问题 【例 2】四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD 是正方形，E 是 PA 的中点，求证： (1)PC平面 EBD； (2)平面 PBC平面 PCD 证明如图，以 D 为坐标原点，分别以 DC，DA，DP 所在的直线为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 设 DCa， PDb， 则 D(0,0,0)， C(a,0,0)， B(a， a,0)， P(0,0， b)， E 0，a 2， b 2 (1)DE 0，a 2， b 2 ，DB (a，a,0) 设平面 EBD 的一个法向量为 n(x，y，z)
6、， 则 DE n0， DB n0， 即 a 2y b 2z0， axay0. 令 x1，得 n 1，1，a b ， 因为PC n(a,0，b) 1，1，a b 0， 所以PC n，故 PC平面 EBD (2)由题意得平面 PDC 的一个法向量为DA (0，a,0)， 又PB (a，a，b)，PC (a,0，b)， 设平面 PBC 的一个法向量为 m(x1，y1，z1)， 则 PB m0， PC m0， 即 ax1ay1bz10， ax1bz10， 得 y10，令 x11，则 z1a b， 所以 m 1，0，a b ， 因为DA m(0，a,0) 1，0，a b 0， 所以DA m，即平面 PB
7、C平面 PCD 1证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量 2证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 (2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线 (3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量 是共面向量 3证明面面平行的方法 (1)转化为线线平行、线面平行处理 (2)证明这两个平面的法向量是共线向量 4证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直 5证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量 (2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直 6证明面面垂直的方法 (1)转化为证
8、明线面垂直 (2)证明两个平面的法向量互相垂直 跟进训练 2如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PB 与底面成 45角，底 面 ABCD 为直角梯形，ABCBAD90，PABC1 2AD1，问在棱 PD 上 是否存在一点 E，使 CE平面 PAB？若存在，求出点 E 的位置；若不存在，说 明理由 解分别以 AB、AD、AP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 P(0,0,1)，C(1,1,0)， D(0,2,0) 设 E(0，y，z), 则PE (0，y，z1)，PD (0,2，1) PE PD ， y(1)2(z1)0 AD (0,2,0)是平面 PAB 的法向量 又CE
9、(1，y1，z)，由 CE平面 PAB CE AD ，(1，y1，z)(0,2,0)0，y1，代入得 z1 2，E 是 PD 的中点，存在 E 点为 PD 中点时，CE平面 PAB 利用空间向量求角 【例 3】正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1所成的角 解建立以 A 点为坐标原点，以过 A 垂直于 AB 的直线，AB、AA1为 x，y， z 轴的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)， B(0， a,0)， A1(0,0， 2a)， C1 3 2 a，a 2， 2a 法一：取 A1B1的中点 M，则 M 0，a 2， 2a，连接 AM、
10、MC1， 有MC1 3 2 a，0，0 ，AB (0，a,0)， AA1 (0,0， 2a)， MC1 AB 0， MC1 AA1 0，MC1 AB ，MC 1 AA1 ， 则 MC1AB，MC1AA1，又 ABAA1A， MC1平面 ABB1A1， C1AM 是 AC1与侧面 A1ABB1所成的角 由于AC1 3 2 a，a 2， 2a，AM 0，a 2， 2a， AC1 AM 0a 2 4 2a29a 2 4 |AC1 | 3 4a 2a2 4 2a2 3a， |AM | a2 4 2a23 2a， cosAC1 ， AM 9a2 4 3a3 2a 3 2 ，AC1 ， AM 30， 即
11、AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30 法二：AB (0，a,0)，AA 1 (0,0， 2a)，AC1 3 2 a，a 2， 2a， 设侧面 ABB1A1的法向量 n(，x，y)， nAB 0，且 nAA 1 0， ax0 且2ay0， xy0，故 n(，0,0) AC1 3 2 a，a 2， 2a， cosAC1 ，n nAC1 |n|AC1 | 2|， |cosAC1 ，n|1 2，AC 1与侧面 ABB1A1所成的角为 30 用向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为 090，需找到两异面直 线的方向向量，借助方向向量所成角求解 (2)直线与平面所成的角
12、：要求直线 a 与平面所成的角，先求这个平面的 法向量 n 与直线 a 的方向向量 a 的夹角的余弦 cos n， a ， 再利用公式 sin |cos n，a|，求 (3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量 n1与 n2， 则平面与所成的角跟法向量 n1与 n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断 二面角是锐角还是钝角 跟进训练 3如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1 (1)证明：BE平面 EB1C1； (2)若 AEA1E，求二面角 BECC1的正弦值 解(1)由长方体 ABCDA1B1C1D1可知 B1C
13、1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1， B1C1BE，又因为 BEEC1，EC1C1B1C1，EC1平面 EB1C1，C1B1 平面 EB1C1，BE平面 EB1C1 (2)以 CD，CB，CC1所在的直线为 x，y，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 设 AEA1E1，BE平面 EB1C1，BEEB1， AB1，则 E(1,1,1)，A(1,1,0)， B1(0,1,2)，C1(0,0,2)， BCEB1， EB1平面 EBC，故可取平面 EBC 的法向量为 mEB1 (1,0,1) 设平面 ECC1的法向量为 n(x，y，z)， 由 nCC1 0， nCE 0， 可得 z0， xy
14、z0， 令 x1，则 n(1，1,0)， cosm，n mn |m|n| 1 2， 故二面角 BECC1的正弦值为 3 2 数学思想在向量中的应用 【例 4】 如图所示， 在四棱锥 OABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， ABC 4，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点 (1)证明：直线 MN平面 OCD； (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 解作 APCD 于点 P，分别以 AB，AP，AO 所在的直线为 x，y，z 轴建 立空间直角坐标系 Axyz，如图所示， 则 A(0,0,0)，B(1,0,0)， P 0， 2 2 ，0
15、，D 2 2 ， 2 2 ，0 ， O(0,0,2)，M(0,0,1)，N 1 2 4 ， 2 4 ，0 (1)证明：MN 1 2 4 ， 2 4 ，1 ， OP 0， 2 2 ，2 ，OD 2 2 ， 2 2 ，2 设平面 OCD 的法向量为 n(x，y，z)， 由 nOP 0，nOD 0，得 2 2 y2z0， 2 2 x 2 2 y2z0. 令 z 2，得 n(0,4， 2) MN n 1 2 4 0 2 4 4(1) 20， MN n 又 MN平面 OCD，MN平面 OCD (2)设异面直线 AB 与 MD 所成的角为 AB (1,0,0)，MD 2 2 ， 2 2 ，1 ， cosA
16、B ， MD AB MD |AB |MD | 2 2 2 1 2 AB 与MD 所成的角为2 3 故异面直线 AB 与 MD 所成的角2 3 3 空间向量的具体应用主要体现为两种方法向量法和坐标法.这两种方法 的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和 空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结 论.这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想. 跟进训练 4在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD2AB2 2，ABBC，如 图所示，把ABD 沿 BD 翻折，使得平面 ABD平面 BCD (1)求证：CDAB； (
17、2)若点 M 为线段 BC 的中点，求点 M 到平面 ACD 的距离； (3)在线段 BC 上是否存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成的角为 60？若存 在，求出BN BC的值；若不存在，请说明理由 解(1)证明：在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD2AB2 2， ABBC，所以 ADAB 2，BD AB2AD22，DBCADB45， CD 222 22222 2cos 452， 所以 BD2CD2BC2，所以 CDBD 因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，CD平面 BCD， 所以 CD平面 ABD，又 AB平面 ABD，所以 CDAB (2)由(1)
18、知 CDBD以点 D 为原点，DB 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直 线为 y 轴， 过点 D 作垂直于平面 BCD 的直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系 Dxyz， 如图所示，由已知得 A(1，0,1)，B(2,0,0)， C(0,2,0)，D(0,0，0)，M(1,1,0)，所以CD (0，2,0)，AD (1,0，1)，MC (1,1,0) 设平面 ACD 的一个法向量为 n(x，y，z)，则CD n0，AD n0，即 2y0， xz0. 令 x1，得 z1，y0，则平面 ACD 的一个法向量为 n(1,0，1)，所 以点 M 到平面 ACD 的距离为 d|nMC | |n| 1
19、2 2 2 (3)假设在线段 BC 上存在点 N， 使得 AN 与平面 ACD 所成的角为 60 设BN BC (01)，N(a，b,0)，则(a2，b,0)(2,2,0)， 所以 N(22，2，0)，AN (12，2，1) 又平面 ACD 的一个法向量为 n(1,0，1)， 且直线 AN 与平面 ACD 所成的 角为 60，所以 sin 60 |AN n| |AN |n| ， 即 |121| 1222212 2 3 2 ，可得 82210，解得1 4或 1 2(舍去) 综上所述，在线段 BC 上存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成的角为 60， 此时BN BC 1 4 培优层素养升华
20、 (教师用书独具) 【例】如图，在多面体 ABCDEF 中，CB平面 ABEF，四边形 ABCD 是 正方形，ABF 是一个正三角形，FEBE，且FEB120 (1)求证：AECF； (2)若三棱锥 FCBE 的体积为 2，求点 A 到平面 CDF 的距离 解(1)证明：CB平面 ABEF，AE平面 ABEF， CBAE， ABF 是一个正三角形，FEBE， AEBF， BFBCB，AE平面 BCF， CF平面 BCF，AECF (2)CB平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是一个正三角形， FEBE，且FEB120三棱锥 FCBE 的体积为 2， 设 ABa，则 BCBFa，
21、BEEF 3a 3 ， VFCBEVCBEF1 3BC 1 2EFBEsin 120 1 3a 1 2 1 3a 2 3 2 2，解 得 a2 3， ABEABFEBF603090， ABBE， 以 B 为原点，BA 为 x 轴，BE 为 y 轴，BC 为 z 轴，建立空间直角坐标系， A(2 3，0,0)，C(0,0,2 3)，D(2 3，0,2 3)，F( 3，3,0)，CA (2 3，0， 2 3)，CD (2 3，0,0)，CF ( 3，3，2 3)， 设平面 CDF 的法向量 n(x，y，z)， 则 nCD 2 3x0， nCF 3x3y2 3z0， 取 y1，得 n 0，1， 3
22、2 点 A 到平面 CDF 的距离 d|nCA | |n| 3 7 4 6 7 7 该类题目主要以立体几何为载体， 重点考查线线关系或线面关系及面面关系 和空间角问题， 通过该类题目的训练提高学生的运算求解素养及直观想象的数学 素养， 解决该类问题常结合空间向量来求解， 解决的关键是建好空间直角坐标系. 跟进训练 如图所示，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧面 ABCD 是梯形，ADBC，底面 ABB1A1为菱形，DABDAA1 (1)求证：A1BAD； (2)若 ADAB2BC， A1AB60， 点 D 在平面 ABB1A1上的射影恰为线段 A1B 的中点，求平面 DCC1D1与平面 A
23、BB1A1所成锐二面角的余弦值 解(1)证明：如图，连接 AB1，A1D，BD， 设 AB1交 A1B 于点 O， 连接 OD 由 AA1AB，DABDAA1，ADAD， 可得AA1DABD，所以 A1DBD 由于 O 是线段 A1B 的中点，所以 DOA1B 又根据菱形的性质得 AOA1B，所以 A1B平面 ADO， 从而 A1BAD (2)由题意知 DO平面 ABB1A1 因为底面 ABB1A1为菱形，所以 AB1A1B， 分别以射线 OB，射线 OB1，射线 OD 为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间 直角坐标系 Oxyz如图设 ADAB2BC2a， 由A1AB60可知 OBa，O
24、AOB1 3a， 所以 OD AD2OA2a， 从而 A(0， 3a,0)，B(a,0,0)，B1(0， 3a,0)，D(0,0，a)， 所以CC1 BB1 (a， 3a,0)，AD (0， 3a，a) 由BC 1 2AD 可得 C a， 3 2 a，1 2a， 所以DC a， 3 2 a，1 2a 设平面 DCC1D1的法向量为 m(x0，y0，z0)， 由 mCC1 0，mDC 0， 得 ax0 3ay00， ax0 3 2 ay01 2az 00. 取 y01，则 x0 3，z03 3，所以 m( 3，1,3 3) 又平面 ABB1A1的一个法向量为OD (0,0，a)， 所以 cosOD ，m OD m |OD |m| 3 3a 31a 3 31 93 故平面 DCC1D1与平面 ABB1A1所成锐二面角的余弦值为 3 31 93
