1、1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 学 习 目 标核 心 素 养 1了解空间向量、向量的模、零向量、 相反向量、 相等向量、 共面向量等概念 (重 点) 2会用平行四边形法则、三角形法则作 出向量的和与差， 掌握数乘向量运算的意 义及运算律(重点、易混点) 3掌握两个向量数量积的概念、性质及 运算律(重点、易错点) 1通过空间向量有关概念的学习，培养 数学抽象素养 2借助于空间向量的线性运算，提升数 学运算素养 3借助于空间向量的数量积，提升数学 运算及逻辑推理的数学素养 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦 江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如
2、图 1，游客的实际位移是什么？可以用什么数 学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜 景，如图 2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 图 1图 2 1空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 (2)模(或长度)：向量的大小 (3)表示方法： 几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为 A 终点为 B 的向量，记为AB ，模为|AB| 字母表示法：可以用字母 a，b，c，表示，模为|a|，|b|，|c|， 2几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作 0 (2)单位向量：模等于 1 的向量称为单位向量 (
3、3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量 (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量 (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两 个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合通常规定零向量与任意向量平 行 (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过 平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ 提示空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共 面 3空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算 图 1图 2 (1)如图 1，OB
4、OA AB ab，CA OA OC ab (2)如图 2，DA DC DD1 DB1 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三 个向量有共同始点的对角线所表示的向量 (3)给定一个实数与任意一个空间向量 a，则实数与空间向量 a 相乘的运算 称为数乘向量，记作a其中： 当0 且 a0 时，a 的模为|a|，而且a 的方向： ()当0 时，与 a 的方向相同； ()当0 时，与 a 的方向相反 当0 或 a0 时，a0 (4)空间向量的线性运算满足如下运算律： 对于实数与，向量 a 与 b，有aa()a；(ab)ab 4空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角 如果a，b
5、 2，那么向量 a，b 互相垂直，记作 a b (2)空间向量数量积的定义： 已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做 a，b 的数量积(或内积)， 记作 ab (3)数量积的几何意义 向量的投影 如图所示， 过向量 a 的始点和终点分别向 b 所在的直线作垂线，即可得到 向量 a 在向量 b 上的投影 a. 数量积的几何意义： a 与 b 的数量积等于 a 在 b 上的投影 a的数量与 b 的长度的乘积， 特别地， a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a的数量 规 定零向量与任意向量的数量积为 0. (4)空间向量数量积的性质： abab0； aa|a|2a2； |ab|a
6、|b|； (a)b(ab)； abba(交换律)； (ab)cacbc(分配律) 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 () (2)两个相反向量的和为零向量() (3)只有零向量的模等于 0() (4)空间中任意两个单位向量必相等() 答案(1)(2)(3)(4) 提示大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相 反的两个向量称为相反向量； 任意两个单位向量的大小相等， 但方向不一定相同， 故不一定相等 2下列命题中正确的是() A(ab)2a2b2 B|ab|a|b| C(ab)ca(bc) D若 a(bc)，则 aba
7、c0 B对于 A 项，左边|a|2|b|2cos2a，b ，右边|a|2|b|2， 左边右边，故 A 错误 对于 C 项，数量积不满足结合律，C 错误 在 D 中，a(bc)0，abac0，abac，但 ab 与 ac 不一定等于 零，故 D 错误 对于 B 项，ab|a|b|cosa，b ，1cosa，b1， |ab|a|b|，故 B 正确 3(教材 P11练习 A改编)化简： (1)1 2(a2b3c)5 2 3a 1 2b 2 3c_； (2)(AB CD )(AC BD )_ (1)23 6 a3 2b 11 6 c(2)0(1)原式1 2ab 3 2c 10 3 a5 2b 10 3
8、 c23 6 a3 2b 11 6 c (2)原式AB AC CD BD CB BD CD CD CD 0 4如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，则 (1)AB ， A 1C1 _； (2)AB ， C 1A1 _； (3)AB ， A 1D1 _ (1)45(2)135(3)90(1)因为A1C1 AC ，所以AB ， A 1C1 AB ， AC 又CAB45，所以AB ， A 1C1 45 (2)AB ， C 1A1 180AB ， A 1C1 135 (3)AB ， A 1D1 90 空间向量的概念及简单应用 【例 1】(1)下列说法中正确的是() A若|a|b|，则 a，b
9、 的长度相同，方向相同或相反 B若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b| C空间向量的减法满足结合律 D在四边形 ABCD 中，一定有AB AD AC B|a|b|，说明 a 与 b 模长相等，但方向不确定对于 a 的相反向量 b a，故|a|b|，从而 B 正确只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一 般的四边形不具有AB AD AC ，只有平行四边形才能成立故 A、C、D 均不 正确 (2)如图所示，以长方体 ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的 向量中： 试写出与AB 是相等向量的所有向量； 试写出AA1 的相反向量； 若 ABAD2，AA11，求向量AC1
10、的模 解与向量AB 是相等向量的(除它自身之外)有A 1B1 ， DC 及D1C1 ， 共 3 个 向量AA1 的相反向量为A1A ， B1B ， C1C ， D1D |AC1 |AB |2|AD |2|AA1 |2 222212 93 1两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非 零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件 2熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的 运算律是解决好这类问题的关键 跟进训练 1给出以下结论： 两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同； 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，必有AC A1C1 ； 若空间向量
11、m， n， p 满足 mn， np， 则 mp 其中不正确的个数是() A0B1 C2D3 B两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故不正确；在正 方体 ABCDA1B1C1D1中，必有AC A1C1 成立，故正确；显然正确故选 B 2在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：AB 与C 1D1 ；AC1 与BD1 ； AD1 与C1B ； A1D 与B1C 其中互为相反向量的有 n 对， 则 n 等于() A1B2 C3D4 B对于AB 与C 1D1 ，AD1 与C1B 长度相等，方向相反，互为相反向量； 对于AC1 与BD1 长度相等， 方向不相反； 对于A1D 与B
12、1C 长度相等， 方向相同 故 互为相反向量的有 2 对 空间向量的线性运算 【例 2】(1)如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，N 是 A1B 的中点，若CA a，CB b，CC1 c，则CN () A1 2(abc) B1 2(abc) Cab1 2c Da1 2(bc) (2)如图，已知长方体 ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出 化简结果的向量 AA CB ； AA AB BC (1)B若 AB 中点为 D，CN CD DN 1 2(abc)，故选 B (2)解AA CB AA DA AA AD AD AA AB BC (AA AB )BC AB BC AC 向量A
13、D 、AC 如图所示： 1首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的 终点的向量，即A1A2 A2A3 A3A4 An1AnA1An 2首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 0如图， OB BC CD DE EF FG GH HO 0 跟进训练 3如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设AA1 a，AB b，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)AP ；(2)A 1N ；(3)MP NC1 解(1)P 是 C1D1的中点， AP AA 1 A1D1 D1P aAD 1 2D 1C
14、1 ac1 2AB ac1 2b (2)N 是 BC 的中点， A1N A1A AB BN ab1 2BC ab1 2AD ab1 2c (3)M 是 AA1的中点， MP MA AP 1 2A 1A AP 1 2a ac1 2b1 2a 1 2bc 又NC1 NC CC1 1 2BC AA1 1 2AD AA1 1 2ca， MP NC1 1 2a 1 2bc a1 2c 3 2a 1 2b 3 2c 数量积的运算及应用 探究问题 1空间两个向量夹角定义的要点是什么？ 提示(1)任意两个空间向量都是共面的， 故空间向量夹角的定义与平面向 量夹角的定义一样 (2)作空间两个向量夹角时要把两个向
15、量的起点放在一起 (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且a，bb，a 2联想空间向量数量积的定义，如何求两个向量 a，b 的夹角？如何求|a b|? 提示借助 cos a， b ab |a|b|， 求向量 a， b 的夹角 借助|ab| ab 2 a22abb2求模 【例 3】如图所示， 已知正四面体 OABC 的棱长为 1， 点 E，F 分别是 OA， OC 的中点求下列向量的数量积： (1)OA OB ； (2)EF CB ； (3)(OA OB )(CA CB ) 思路探究根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以 及两向量的夹角，注意充分结合正四面体的特征 解(1)正四面体的
16、棱长为 1，则|OA |OB |1OAB 为等边三角形， AOB60，于是： OA OB |OA |OB |cosOA ， OB |OA |OB |cosAOB11cos 601 2 (2)由于 E，F 分别是 OA，OC 的中点， 所以 EF 1 2AC， 于是EF CB |EF |CB |cosEF ， CB 1 2|CA |CB |cosAC ， CB 1 211cosAC ， CB 1 211cos 120 1 4 (3)(OA OB )(CA CB ) (OA OB )(OA OC OB OC ) (OA OB )(OA OB 2OC ) OA 2OA OB 2OA OC OB OA
17、 OB 22OB OC 11 22 1 2 1 212 1 21 1(变条件，变结论)若 H 为 BC 的中点，其他条件不变，求 EH 的长 解由题意知OH 1 2(OB OC )，OE 1 2OA ， EH OH OE 1 2(OB OC OA )， |EH |21 4(OB 2 OC 2OA22OB OC 2OB OA 2OC OA )， 又|OB |OC |OA |1且OB ， OC 60， OB ， OA 60， OC ， OA 60 OB OC 1 2，OB OA 1 2，OC OA 1 2 |EH |21 4 11121 22 1 22 1 2 1 2， 即|EH | 2 2 ，所
18、以 EH 的长为 2 2 2(变结论)求异面直线 OH 与 BE 所成角的余弦值 解在AOB 及BOC 中，易知 BEOH 3 2 ， 又BE 1 2OA OB ，OH 1 2(OB OC )， BE OH 1 4OA OB 1 4OA OC 1 2OB 21 2OB OC 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cosBE ， OH BE OH |BE |OH | 2 3， 又异面直线所成角的范围为 0， 2 ，故异面直线 OH 与 BE 所成角的余弦值 为2 3 1在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用
19、向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4)代入公式 ab|a|b|cosa，b求解 2非零向量 a 与 b 共线的条件是 ab|a|b| 提醒： 在求两个向量夹角时， 要注意向量的方向 如本例中 EF ， CB AC ， CB 120，易错写成 60，为避免出错，应结合图形进行计算 一、知识必备 1空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量单位向量的长度为 1，方向任意零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量与任意向量的 数量积为 0 2向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算加减法运算遵循平 行四边形法
20、则和三角形法则，向量的数量积运算要注意两个向量的夹角 二、方法必备 1数形结合法：求两向量夹角时，一定要结合图形确定角的位置 2转化法：在求异面直线所成的角时要转化为两个向量的夹角，结合异面 直线所成角的范围确定 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列各对向量夹角为 45的是() AAB 与A 1C1 BAB 与CA CAB 与A 1D1 DAB 与B 1A1 AA、B、C、D 四个选项中两个向量的夹角依次是 45，135，90，180， 故选 A 2 在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中， 若 E、 F 分别是 BC、 AD 的中点， 则AE AF 等于() A0B1 2 C1D1 DAE AF1 2(AB AC )1 2AD 1 4(AB AD AC AD )1 4(22)1 3化简：2AB 2BC 3CD 3DA AC _ 02AB 2BC 3CD 3DA AC 2(AB BC CD DA )CD DA AC 0CA AC 000 4已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_ 22|ab|2a22abb21322ab192242， 2ab46，|ab|2a22abb253046484 |ab|22
