1、4.3统计模型统计模型 4.3.1一元线性回归模型一元线性回归模型 第第 1 课时课时相关关系与回归直线方程相关关系与回归直线方程 学 习 目 标核 心 素 养 1了解变量间的相关关系(易混点) 2会根据散点图判断数据是否具有相 关关系(重点) 3了解最小二乘法的思想，会求回归 直线方程， 掌握回归方程的性质 (重点、 难点) 1通过回归直线方程及相关关系的学 习，体会数学建模与直观想象的素养 2借助回归直线方程的求法，培养数 学运算的素养. 你知道“名师出高徒”的意思吗？高明的师傅一定能教出技艺高的徒 弟，比喻学识丰富的人对于培养人才的重要也就是说，高水平的老师往往能教 出高水平的学生 问题
2、： 那么老师的水平与学生的水平之间具有怎样的关系呢？这种关系是确 定的吗？该关系与函数关系相同吗？ 1相关关系 如果两个变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它 们之间的关系带有一定的随机性，像这样两个变量之间的关系，统计学上都称为 相关关系 思考 1：函数关系是相关关系吗？ 提示不是函数关系中两个变量之间是一种确定关系 2线性相关 (1)散点图 一般地，如果收集到了变量 x 和变量 y 的 n 对数据(简称为成对数据)，如下 表所示 序号 i123n 变量 xx1x2x3xn 变量 yy1y2y3yn 则在平面直角坐标系 xOy 中描出点(xi，yi)，i1,2,3，n，就
3、可以得到这 n 对数据的散点图 (2)线性相关：如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量 x 与变 量 y 之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称 x 与 y 线性相关 (3)正相关和负相关 若 x 与 y 线性相关，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这 两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量 负相关 3回归直线方程 (1)一般地，已知变量 x 与 y 的 n 对成对数据(xi，yi)，i1,2,3，n.任意给 定一个一次函数 ybxa，对每一个已知的 xi，由直线方程可以得到一个估计值 y ibxia， 如果一次函数y b xa 能使
4、y 1y12y2y22ynyn2 n i1 yiy i2 取得最小值， 则y b xa 称为 y 关于 x 的回归直线方程(对应的直线称为回归 直线)因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法 其中，回归系数b n i1 xi x yi y n i1 xi x 2 n i1xiyin x y n i1x 2 inx 2 ， a yb x . x 1 n(x 1x2xn)1 n n i1xi； y 1 n(y 1y2yn)1 n n i1yi. 4回归直线方程：y b xa 的性质 (1)回归直线一定过点( x ， y) (2)回归系数b 的实际意义 b 是回归方程的斜率； 当 x
5、增大一个单位时，y 增大b 个单位 思考 2：y 与 x 正负相关的充要条件分别是什么？ 提示当b 0 时，y 与 x 正相关，反之也成立，同理b0 是 y 与 x 负相关 的充要条件 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系. () (2)回归直线方程一定过样本中心点() (3)选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一 定相同() (4)根据回归直线方程得到的结论一定是可靠的() 答案(1)(2)(3)(4) 2下列两个变量具有正相关关系的是() A正方形的面积与边长 B吸烟与健康 C数学成绩与物理成绩 D汽车的重量与汽车每
6、消耗 1 L 汽油所行驶的平均路程 C正方形的面积与边长是函数关系， A 错误； 吸烟与健康具有负相关关系， B 错误；汽车越重，每消耗 1 L 汽油所行驶的平均路程越短，所以汽车的重量与 汽车每消耗 1 L 汽油所行驶的平均路程具有负相关关系， D 错误； 数学成绩越好， 物理成绩也会越好，所以数学成绩与物理成绩具有正相关关系，C 正确 3已知 x 与 y 之间的一组数据 x0123 y1357 若 y 与 x 线性相关，则 y 与 x 的回归直线y b xa 必过点( ) A(2,2)B(1.5,0) C(1,2)D(1.5,4) D x 0123 4 1.5， y 1357 4 4， 回
7、归直线必过点(1.5,4)故选 D. 4已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，且过定点(4,5)，则线性回归方程 是_ y 1.23x0.08 回归直线的斜率的估计值为 1.23， 即b 1.23，又回归直线过定点(4,5)， a 51.2340.08， y 1.23x0.08. 变量间相关关系的判断 【例 1】(1)下列关系中，属于相关关系的是_(填序号) 扇形的半径与面积之间的关系； 农作物的产量与施肥量之间的关系； 出租车费与行驶的里程； 降雪量与交通事故的发生率之间的关系 (2)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位： 百万元) x24568 y304060
8、5070 画出散点图； 从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？ (1)在中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系；在中，农 作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；为确定的 函数关系；在中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系 (2)解以 x 对应的数据为横坐标，以 y 对应的数据为纵坐标，所作的散 点图如图所示 从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系， 并且当广告费 支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的 附近，即 x 与 y 成正相关关系 两个变量是否相关的两种判断方法 1根据实际经验：借助积累的经验进行分析判
9、断 2利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观 地进行判断如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变 量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响 跟进训练 1. 在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是() (1)(2)(3)(4) A(1)(2)B(1)(3) C(2)(4)D(2)(3) D图(1)的两个变量具有函数关系； 图(2)(3)的两个变量具有相关关系； 图(4) 的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系 求回归直线方程 【例 2】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产 量 x(吨)与相应的生产能耗 y
10、(吨标准煤)的几组对应数据 x3456 y2.5344.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据， 用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y b x a ； (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据(2)求出 的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准 煤？ (参考数值：32.5435464.566.5) 解(1)由题设所给数据，可得散点图如图 (2)由对照数据，计算得： 4 i1x 2 i86， x 3456 4 4.5， y 2.5344.5 4 3.5， 已知 4 i1xiyi66.5， 所以，由最小
11、二乘法确定的回归方程的系数为 b 4 i1xiyi4 x y 4 i1x 2 i4x 2 66.544.53.5 8644.52 0.7， a yb x3.50.74.50.35. 因此，所求的线性回归方程为y 0.7x0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗，得降低的生产 能耗为 90(0.71000.35)19.65(吨标准煤) 求回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i1,2，n) (2)作出散点图，确定 x，y 具有线性相关关系 (3)计算 x ， y， n i1x 2 i， n i1xiyi. (4)代入公式计算b ， a ，
12、公式为 b n i1xiyin x y n i1x 2 inx 2 ， a yb x . (5)写出回归方程y b xa . 跟进训练 2已知变量 x，y 有如下对应数据 x1234 y1345 (1)作出散点图； (2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归方程 解(1)散点图如图所示 (2) x 1234 4 5 2， y 1345 4 13 4 ， 4 i1xiyi16122039, 4 i1x 2 i1491630， b 3945 2 13 4 304 5 2 2 13 10， a 13 4 13 10 5 20， 所以y 13 10 x 即为所求的回归方程. 回归直线方程的性质及应用 探
13、究问题 假设 y 与 x 具有相关关系，而且回归直线方程为y b xa . 1回归直线方程的单调性由哪个参数决定？ 提示b . 2该方程必过哪个定点？ 提示( x ， y) 【例 3】(多选题)设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具 有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立 的回归方程为y 0.85x85.71，则下列结论中正确的是( ) Ay 与 x 具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点中心( x ， y) C若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体
14、重必为 58.79 kg ABC当 x170 时，y 0.8517085.7158.79， 体重的估计值为 58.79 kg，故 D 错误，ABC 均正确 1相关关系的正、负相关类同于函数的增、减性，与其斜率有关，必要时 可画散点图以增强直观性 2由回归方程得出的函数值不一定是准确值，只是个估计值 跟进训练 3(1)根据如下样本数据得到的回归方程为y b xa ，则( ) x345678 y4.02.50.50.52.03.0 A.a 0，b 0 B.a 0，b 0 C.a 0，b 0 D.a 0，b 0 (2)某单位为了了解用电量 y 度与气温 x 之间的关系， 随机统计了某 4 天的 用电
15、量与当天气温，并制作了对照表 气温()1813101 用电量(度)24343864 由表中数据得线性回归方程y b xa 中b 2，预测当气温为4 时，用 电量的度数约为_度 (1)B(2)68(1)画出散点图，知a 0，b 0. (2) x 10， y40，回归方程过点( x， y)， 40210a . a 60.y2x60. 令 x4，y (2)(4)6068. 1相关关系和函数关系的异同点 (1)相同点：两者均是指两个变量的关系 (2)不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系 2判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图根 据散点图，可以很容易看出两
16、个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正 相关还是负相关 3回归方程必过点( x ， y)利用回归方程，我们可以进行估计和预测， 若回归方程为y b xa ，则在 xx0 处的估计值为 y 0b x 0a . 1 以下四个散点图中， 两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是() AB CD B中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型 2由变量 x 与 y 相对应的一组数据(1，y1)，(5，y2)，(7，y3)，(13，y4)，(19， y5)得到的线性回归方程为y 2x45，则 y( ) A135B90 C67D63 D x 1 5(1571319)9， y 2 x45， y 2945
17、63，故选 D. 3工人工资 y(元)与劳动生产率 x(千元)的相关关系的回归方程为y 50 80 x，下列判断正确的是() A劳动生产率为 1 000 元时，工人工资为 130 元 B劳动生产率提高 1 000 元时，工人工资平均提高 80 元 C劳动生产率提高 1 000 元时，工人工资平均提高 130 元 D当月工资为 250 元时，劳动生产率为 2 000 元 B因为回归直线的斜率为 80，所以 x 每增加 1，y 平均增加 80，即劳动生 产率提高 1 000 元时，工人工资平均提高 80 元 4某地区近 10 年居民的年收入 x 与年支出 y 之间的关系大致符合y 0.8x 0.1
18、(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为 15 亿元，则今年支出估计是 _亿元 12.1将 x15 代入y 0.8x0.1，得y12.1. 5由某种设备的使用年限 xi(年)与所支出的维修费 yi(万元)的数据资料算得 如下结果， 5 i1x 2 i90， 5 i1xiyi112， 5 i1xi20， 5 i1yi25. (1)求所支出的维修费 y 对使用年限 x 的线性回归方程y b xa ； (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； 当使用年限为 8 年时，试估计支出的维修费是多少？ 解(1) 5 i1xi20， 5 i1yi25， x 1 5 5 i1xi4， y 1 5 5 i1yi5， b 5 i1xiyi5 x y 5 i1x 2 i5 x 2 112545 90542 1.2， a yb x 51.240.2. 线性回归方程为y 1.2x0.2. (2)由(1)知b 1.20，变量 x 与 y 之间是正相关 由(1)知，当 x8 时，y 1.280.29.8，即使用年限为 8 年时，支出的 维修费约是 9.8 万元
