1、习题课力的合成与分解 一、多个力的合成 1 合成方法： 多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则。 具体做法是先求出任意两个力的合力， 再求出这个合力跟第三个力的合力，然后依次进行，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果 就是这些力的合力 2合成技巧：求解多分力的合力时，一般常见的合成技巧如下： (1)将共线的分力合成(方向相同或相反)。 (2)将相互垂直的分力合成。 (3)两分力大小相等，夹角为 120时，合力大小等于分力，方向沿它们的夹角的角平分线方向。 3三个力合力范围的确定 (1)最大值：三个力方向均相同时，三力合力最大，FmF1F2F3。 (2)最小值 若一个力在另外两个力的和与差
2、之间，则它们的合力的最小值为零。 若一个力不在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值等于三个力中最大的力减去另外 两个力。 二、正交分解法 1概念 将力沿着两个选定的相互垂直的方向分解，叫力的正交分解。 2优点 正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是将矢量运算转化为代数运算。 其优点有： (1)可借助数学中的直角坐标系对力进行描述。 (2)分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简便、容易求解。 3适用情况 常用于三个或三个以上的力的合成。 4步骤 (1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系 x 轴和 y 轴的选择应使尽量多的力 在坐标轴上。 (2)正交分解
3、各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到 x 轴和 y 轴上，并求出各分力的大小，如 图所示。 (3)分别求出 x 轴、y 轴上各分力的矢量和，即： FxF1xF2x FyF1yF2y (4)求共点力的合力：合力大小 F F2xF2y，合力的方向与 x 轴的夹角为，则 tanFy Fx。 三、按力的效果分解、 1、按力的效果分解的基本步骤 （1）确定要分解的力 （2）根据力的实际作用效果确定两个分力的方向 （3）根据两个分力的方向作出力的平行四边形 （4）利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小 2、常见的按力的作用效果分解的实例 实例分析 质量为 m 的光滑小球被竖直挡板挡住静止于斜面上，其
4、重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力 F1；二是使 球压紧斜面的分力 F2。F1mgtan，F2 mg cos 质量为 m 的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力 产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力 F1；二是 使球拉紧悬线的分力 F2。F1mgtan，F2 mg cos 质量为 m 的物体被 OA、OB 绳悬挂于 O 点，其重力产生 两个效果：一是对 OA 的拉力 F1；二是对 OB 的拉力 F2。 F1mgtan，F2 mg cos 质量为 m 的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效 果：一是拉伸 AB 的分力 F1；二是压缩 BC 的分力 F2。 F1mgtan，F2 mg
5、cos 四、有限制条件的力的分解 1已知合力和两个分力的方向时，两分力有唯一解(如图 5 所示) 2已知合力和一个分力的大小和方向时，另一分力有唯一解(如图 6 所示) 3已知合力 F 以及一个分力 F1的方向和另一个分力 F2的大小时，若 F 与 F1的夹角为，有下面几 种可能： (1)当 Fsin F2F 时，有两解(如图甲) (2)当 F2Fsin 时，有唯一解(如图乙) (3)当 F2Fsin 时，无解(如图丙) (4)当 F2F 时，有唯一解(如图丁) 总结提升：力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构 成平行四边形，若能，即有解；若不能则无解 【
6、典例精析】 例 1.如图所示，在同一平面内，大小分别为 1 N、2 N、3 N、4 N、5 N、6 N 的六个力共同作用于一 点，其合力大小为() A0B1 NC2 ND3 N 答案：A 解析：先分别求 1 N 和 4 N、2 N 和 5 N、3N 和 6 N 的合力，大小都为 3 N，且三个合力互成 120角，如图所示： 根据平行四边形定则知，图中三个力的合力为零，即题中所给六个力的最终合力为零。故 A 正 确，B、C、D 错误。 【变式训练】物体同时受到同一平面内的三个共点力的作用，下列几组力的合力不可能为零的是 () A5 N,7 N,8 NB5 N,2 N,3 N C1 N,5 N,1
7、0 ND10 N,10 N,10 N 答案：C 解析：三个力合成，若前两个力的合力可与第三个力大小相等，方向相反，就可以使这三个力合力 为零，只要使第三个力在其他两个力的合力范围之内，就可能使合力为零，即第三个力 F3满足：|F1 F2|F3F1F2。选项 A 中，前两个力合力范围是：2 NF合12 N，第三个力在其范围之内； 选项 B 中，3 NF合7 N，第三个力在其合力范围之内；选项 C 中，4 NF合6 N，第三个力不 在其合力范围之内；选项 D 中，0F合20 N，第三个力在其合力范围之内。只有 C 中第三个力不 在前两个力合力范围之内，故 C 中的三个力的合力不可能为零。 【典例精
8、析】 例 2.在同一平面内共点的四个力 F1、F2、F3、F4的大小依次为 19 N、40 N、30 N 和 15 N，方向如 图 11 所示，求它们的合力(sin 370.6，cos 370.8) 答案：38.2 N，方向与 F1夹角为 45斜向右上 解析;本题若直接运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，需多次确定各个力的合力的大小和 方向，计算过程十分复杂为此，可采用力的正交分解法求解此题 如图甲，建立直角坐标系， 把各个力分解到这两个坐标轴上， 并求出 x 轴和 y 轴上的合力 Fx和 Fy，有 FxF1F2cos 37F3cos 3727 N， FyF2sin 37F3sin 37
9、F427 N. 因此，如图乙所示，合力： F F 2 xF 2 y38.2 N，tan Fy Fx1. 即合力的大小约为 38.2 N，方向与 F1夹角为 45斜向右上 总结提升：1坐标轴的选取原则：坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的 选取一般有以下两个原则： (1)使尽量多的力处在坐标轴上 (2)尽量使某一轴上各分力的合力为零 (3)正交分解法的适用情况：适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况 【典例精析】 例 3.如图所示， 质量为 m1的物体甲通过三段轻绳悬挂， 三段轻绳的结点为 O.轻绳 OB 水平且 B 端与 放置在水平面上的质量为 m2的物体乙相连，轻
10、绳 OA 与竖直方向的夹角37，物体甲、乙均处于 静止状态(已知：sin 370.6，cos 370.8，tan 370.75，g 取 10 N/kg.) 求： (1)轻绳 OA、OB 受到的拉力各多大？(试用三种方法求解) 答案：(1)5 4m 1g 3 4m 1g(2)3 4m 1g 解析：(1)方法一：对结点 O 进行受力分析(如图)，把 FA与 FB合成则F m1g 所以 FA m1g cos 5 4m 1g FBm1gtan 3 4m 1g 故轻绳 OA、OB 受到的拉力大小分别等于 FB、FA，即 5 4m 1g、3 4m 1g 方法二：把甲对 O 点的拉力按效果分解为 FOA和
11、FOB，如图所示 则 FOA m1g cos 5 4m 1g，FOBm1gtan 3 4m 1g. 方法三：把 OA 绳对结点 O 的拉力 FA进行正交分解，如图所示 则有 FAsin FB FAcos m1g 解得 FA5 4m 1g，FB3 4m 1g 总结提升：无论是力的合成、力的分解还是正交分解，都是求解力的计算方法，一般来说力的 合成、力的分解适用于计算物体受受两个力作用时，而受三个或三个以上一般适用于正交分解法。 【自我检测】 1 （多选）三个共点力的大小分别为 F15 N，F210 N，F320 N，则它们的合力() A不会大于 35 NB最小值为 5 N C可能为 0D可能为
12、20 N 答案：ABD 解析：三个力的合力最大值 FmaxF1F2F335 NF1与 F2的合力范围为 5 NF1215 N，当 F12 15 N 且与 F3反向时， 三个力的合力最小， Fmin|F12F3|5 N， 故三个力的合力范围为 5 NF35 N，故选项 A、B、D 正确 2某物体在 n 个共点力的作用下处于静止状态，若把其中一个力 F1的方向沿顺时针方向转过 90， 而保持其大小不变，其余力保持不变，则此时物体所受的合力大小为() AF1B. 2F1C2F1D0 答案：B 解析：物体受 n 个力处于静止状态，则其中(n1)个力的合力一定与剩余的那个力等大反向，故除 F1以外的其他
13、各力的合力大小等于 F1，方向与 F1的方向相反，故当 F1转过 90后，物体受到的合力 大小应为2F1，选项 B 正确。 3下图中三个大小相等的力 F，作用于同一点 O，则合力最小的是() 答案：C 解析：根据矢量合成的平行四边形定则可知，C 选项的合力为零，即合力最小，C 正确。 4如图所示，大小分别为 F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形(顶角为直角)下列 4 个 图中，这三个力的合力最大的是() 答案：C 解析：由矢量合成的法则可知，A 中的合力的大小为 2F1，B 中的合力的大小为 0，C 中的合力的大 小为 2F2，D 中的合力的大小为 2F3，因为 F2是直角三角形的
14、斜边，所以 F2最大，所以合力最大的 是 C 选项 5.某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图 1 所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表 示 1 N 大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是() A甲图中物体所受的合外力大小等于 4 N B乙图中物体所受的合外力大小等于 2 N C丙图中物体所受的合外力大小等于 0 D丁图中物体所受的合外力大小等于 0 答案：D 解析：题图甲，先将 F1与 F3直接合成，再以 3 N 和 4 N 为边画平行四边形，并结合勾股定理知合力 的大小为 5 N，A 项错误；题图乙，先将 F1与 F3正交分解，再合成，求得合力的大小等于 5 N，B 项错误；
15、题图丙，可将 F3正交分解，求得合力的大小等于 6 N，C 项错误；根据三角形法则，题图 丁中合力的大小等于 0，D 项正确 6.（2019蚌埠高一期中）如图所示，用一根细绳和一根杆组成三角支架，绳的一端绕在手指上， 杆的一端顶在掌心，当挂上重物时，绳与杆对手指和手掌均有作用，则手指与手掌所受的作用力方 向判断完全正确的是() 答案：D 解析：重物所受的重力产生斜向下拉绳子和水平向左压杆的作用效果，故绳子对手指有斜向下的作 用力，杆对手掌有水平向左的作用力，选项 D 正确。 7 .(多选)如图所示， 将光滑斜面上物体受到的重力 mg 分解为 F1、 F2两个力， 下列结论正确的是() AF1是
16、斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力 B物体受 mg、FN、F1、F2四个力作用 C物体只受重力 mg 和弹力 FN的作用 D力 FN、F1、F2三个力的作用效果跟 mg、FN两个力的作用效果相同 答案；CD 解析：物体受到重力的施力物体是地球；支持力的施力物体是斜面。F1、F2是将重力按效果分解所 得的两个分力，实际不存在。选项 C、D 正确。 8.人们不可能用双手掰开一段木桩，然而，若用斧子就容易把木桩劈开如图 15 所示，斧子的两个 斧面间的夹角为，两个斧面关于竖直平面对称，当斧子对木桩施加一个竖直向下的力 F 时，木桩的 两个劈开面受到的侧向压力 N 等于() AN
17、 F sin 2 BN F sin CN F 2sin 2 DN F 2sin 答案：C 解析：如图所示，将力 F 分解为 F1、F2两个分力，这两个分力分别与劈的两个侧面垂直，根据对称 性，两分力 F1、F2大小相等，这样，以 F1、F2为邻边的平行四边形就是一个菱形因为菱形的对角 线互相垂直且平分，所以有：F1F2 F 2sin 2 ，木桩的两个劈开面受到的 侧向压力 N 等于 F 2sin 2 . 9甲、乙两人用绳子拉船，使船沿 OO方向航行，甲用 1 000 N 的力拉绳子，方向如图 15 所示， 要使船沿 OO方向航行，乙的拉力最小值为() A5003 NB500 N C1 000
18、ND400 N 答案:B 解析:要使船沿 OO方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿 OO方 向如图所示，作平行四边形可知，当乙拉船的力的方向垂直于 OO时，乙 的 拉力 F乙最小，其最小值为 F乙minF甲sin 301 0001 2 N500 N，故 B正 确 10. 如图所示，用两根承受的最大拉力相等，长度不等的细线 AO、BO 悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则() AAO 先被拉断BBO 先被拉断 CAO、BO 同时被拉断D条件不足，无法判断 答案:B 解析:依据力的作用效果将重力分解如图所示，据图可知：FBFA。 又因为两绳承受能力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO 绳
19、先断，选 项 B 正确。 11.如图所示， 长为 l5 m 的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为 d4 m 的两杆的顶端 A、B 处。绳上挂一个光滑的轻质挂钩，下端悬 挂一个重为 G12 N 的物体，稳定后静止在图中位置。现在如果把 A 点向上移少许，再次稳定后，绳中的张力如何变化？ 答案:见解析 解析；物体受到挂钩两侧细绳的拉力和重力作用，则细绳的两个拉力的合力与物体的重力平衡。 根据平行四边形定则，作出两个拉力的合力如图所示。因为挂钩光滑，所以两侧的细绳拉力大 小相等，设拉力大小为 T，则作出的平行四边形是菱形，所以图中。 利用菱形的对角线互相垂直平分，可得 FG2Tsin。 如图中的虚线延长线所示，cosd l 4 5，所以37，T G 2sin10 N。 当把 A 点向上移动少许，由于细绳的长度和两杆的间距都没有变化，且挂钩光滑，所以物体再 次稳定时仍然满足37不变，故绳中的张力 T 也不变。
