1、第四章第四章指数函数与对数函数指数函数与对数函数 考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1已知函数 f(x)为奇函数，且 x0 时，f(x)2xxm，则 f(1)(C) A1 2 B1 2 C2D2 解析因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(0)0，即 200m0，所以 m1，f(x) 2xx1(x0)因为 f(1)f(1)，f(1)2，所以 f(1)2. 2已知关于 x 的不等式(1 3) x432x，则该不等式的解集为( B) A4，)B(4，) C(，4)D(4,1
2、 解析依题意可知，原不等式可转化为 3 x432x，由于指数函数 y3x为增函数，所 以x42x，解得 x4，故选 B 3设函数 f(x)log2x，若 f(a1)2，则 a 的取值范围为(A) A(1,3)B(，3) C(，1)D(1,1) 解析函数 f(x)log2x 在定义域内单调递增，f(4)log242， 不等式 f(a1)2 等价于 0a14，解得1a3，故选 A 4已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上是增函数，令 af(1)， bf(2 0.3)，cf(20.3)，则( A) AbacBcba CbcaDabc 解析因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函
3、数，所以 cf(20.3)f(20.3) 又因为 y2x是 R 上的增函数 所以 02 0.3120.3.由于函数 f(x)在区间0， )上是增 函数，所以 f(2 0.3)f(1)f(20.3)f(20.3)，即 bac. 5已知 f(x) 3a1x4a，x1， logax，x1 是 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是(B) A(0,1)B1 7， 1 3) C(0，1 3) D(1 9， 1 3) 解析由题意得 3a10， 3a14a0， 0a1， 解得1 7an，若 logmn2lognm613，则函数 f(x)x m n2的大致 图象为(A) 解析由题意，令 tlogmn，则 2t
4、6 t 13，解得 t1 2或 t6(舍去)， 所以 n m，即m n21，所以 f(x)x m n2的大致图象为 A 中的图象 7若函数 f(x)log1 2 (x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，则实数 m 的取值 范围为(C) A4 3，3 B4 3，2 C4 3，2) D4 3，) 解析先保证对数有意义即x24x50，解得1x5，又可得二次函数 yx2 4x5 的对称轴为 x 4 212， 由复合函数单调性可得函数 f(x)log1 2 (x24x5) 的单调递增区间为(2,5)， 要使函数 f(x)log1 2(x 24x5)在区间(3m2， m2)内单调递增， 只需 3m
5、22， m25， 3m2m2， 解得4 3m200，则 n20182lg 2lg 3 lg 1.08 2021.8，所以 n2022. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中， 有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分) 9下列函数中，是奇函数且存在零点的是(AD) Ayx3xBylog2x Cy2x23Dyx|x| 解析A 中，yx3x 为奇函数，且存在零点 x0，与题意相符； B 中，ylog2x 为非奇非偶函数，与题意不符； C 中，y2x23 为偶函数，与题意不符； D 中，yx|x|是奇函
6、数，且存在零点 x0，与题意相符，故选 AD 10下列函数中值域为 R 的有(ABD) Af(x)3x1Bf(x)lg(x22) Cf(x) x2，0 x2， 2x，x2 Df(x)x31 解析f(x)3x1 为增函数，函数的值域为 R，满足条件 B由 x220 得 x 2或 x2 当 x2 时，f(x)2x4， 当 0 x2 时，f(x)x20,4，即函数的值域为0，)，不满足条件 Df(x)x31 是增函数，函数的值域为 R，满足条件 11若函数 f(x) ax，x1， 4a 2x2，x1 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围不能为 (BD) A(5,8)B(2,8) C6,8)D(
7、3,8) 解析因为函数 f(x) ax，x1， 4a 2x2，x1 是 R 上的增函数， 所以 a1， 4a 20， a14a 22， 解得 4a1， 3|x|，x1， 若 f(x)b0 有三个不等实数根，则 b 可取的 值有(BC) A1B2 C3D4 解析作出函数 f(x) 1lgx1，x1， 3|x|，x1 的图象如图： f(x)b0 有三个不等实数根， 即函数 yf(x)的图象与 yb 有 3 个不同交点， 由图可知，b 的取值范围是(1,3，故 b 可取 2,3. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13函数 f(x)ax(a0，a1)的反函数 g(x)过
8、点(9,2)，则 f(2)_9_. 解析由函数yax(a0， 且a1)的反函数的图象过点(9,2)， 可得： yax图象过点(2,9)， 所以 a29，又 a0，所以 a3.所以 f(2)329. 14 已知函数 f(x)b2 x 2x1为定义在区间2a,3a1上的奇函数， 则 a_1_， b_1_. 解析因为 f(x)是定义在2a,3a1上的奇函数， 所以定义域关于原点对称，即2a3a10，所以 a1， 因为函数 f(x)b2 x 2x1为奇函数， 所以 f(x)b2 x 2 x1 b2x1 12x b2 x 12x， 即 b2x1b2x，所以 b1. 15已知图象连续不断的函数 yf(x)
9、在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求 这个零点的近似值(精确度为 0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为_6_. 解析由0.4 2n 0.4 0.0140，故 n 的最小值为 6. 16 某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示， 假设其关系为指数函数， 并给出下列说法： 此指数函数的底数为 2； 在第 5 个月时，野生薇甘菊的面积就会超过 30 m2； 设野生薇甘菊蔓延到 2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为 t1，t2，t3，则有 t1t2t3； 野生薇甘菊在第1 到第3 个月之间蔓延的平均速度等于在第 2到第 4个月之间蔓延的 平均速
10、度 其中正确的说法有_(请把正确说法的序号都填在横线上) 解析其关系为指数函数，图象过点(4,16)， 指数函数的底数为 2，故正确； 当 t5 时，S3230，故正确； t11，t2log23，t3log26， t1t2t3，故正确； 根据图象的变化快慢不同知不正确，综上可知正确 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)(1)计算 3log3227 1 3 lg 50lg 2； (2)已知 2a3,4b6，求 2ba 的值 解析(1)3log3227 1 3 lg 50lg 223lg 1002327. (2)由 2a
11、3，得 alog23，又由 4b6，即 22b6，得 2blog26， 所以 2balog26log23log221. 18 (本小题满分 12 分)设函数 f(x)ax 15(a0， 且 a1)， 若 yf(x)的图象过点(3,20) (1)求 a 的值及 yf(x)的零点； (2)求不等式 f(x)2 的解集 解析(1)根据题意，函数 f(x)ax 15 的图象过点(3,20)，则有 20a25， 又由 a0，且 a1，则 a5， f(x)5x 15，若 f(x)5x150， 则 x2，即函数 f(x)的零点为 2. (2)f(x)2 即 5x 152，变形可得 5x15， 解可得 xlo
12、g515，即不等式的解集为log515，) 19(本小题满分 12 分)(2019河南南阳市高一期中测试)设函数 f(x)log2(4x)log2(2x)的 定义域为1 4，4 (1)若 tlog2x，求 t 的取值范围； (2)求 yf(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的 x 的值 解析(1)1 4x4，2log 2x2， 2t2. t 的取值范围是2,2 (2)yf(x)log2(4x)log2(2x)(2log2x)(1log2x)， 由(1)知 tlog2x，t2,2， y(t2)(t1)t23t2(t3 2) 21 4. 当 t3 2，即 log 2x3 2，x 2 4 时，
13、ymin1 4， 当 t2，即 log2x2，x4 时，ymax12. 20(本小题满分 12 分)某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到西红 柿种植成本 Q(单位：元/102kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表： 时间 t50110250 种植成本 Q150108150 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的 变化关系 Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt； (2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本 解析(1)由提供的数据知道， 描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变
14、化关系的函数 不可能是常数函数，从而用函数 Qatb，Qabt，Qalogbt 中的任意一个进行描述时 都应有 a0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合所以， 选取二次函数 Qat2btc 进行描述 以表格所提供的三组数据分别代入 Qat2btc 得到， 1502 500a50bc 10812 100a110bc 15062 500a250bc ， 解得 a 1 200 b3 2 c425 2 . 所以，描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q 1 200t 23 2t 425 2 . (2)当 t 3 2 2 1 200 150 天时，西红柿种植
15、成本最低为 Q 1 200150 23 2150 425 2 100 (元/102kg) 21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2x的定义域是0,3，设 g(x)f(2x)f(x2)， (1)求 g(x)的解析式及定义域； (2)求函数 g(x)的最大值和最小值 解析(1)f(x)2x， g(x)f(2x)f(x2)22x2x 2. 因为 f(x)的定义域是0,3，所以 02x3,0 x23，解得 0 x1.于是 g(x)的定义域 为x|0 x1 (2)设 g(x)(2x)242x(2x2)24. x0,1，2x1,2， 当 2x2，即 x1 时，g(x)取得最小值4； 当 2x1，即
16、 x0 时，g(x)取得最大值3. 22(本小题满分 12 分)若函数 f(x)满足 f(logax) a a21(x 1 x)(其中 a0 且 a1) (1)求函数 f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性； (2)当 x(，2)时，f(x)4 的值恒为负数，求 a 的取值范围 解析(1)令 logaxt(tR)，则 xat， f(t) a a21(a tat) f(x) a a21(a xax)(xR) f(x) a a21(a xax) a a21(a xax)f(x)，f(x)为奇函数 当 a1 时，yax为增函数，ya x为增函数，且 a2 a210， f(x)为增函数 当 0a1 时，yax为减函数，ya x为减函数，且 a2 a210， f(x)为增函数f(x)在 R 上为增函数 (2)f(x)是 R 上的增函数，yf(x)4 也是 R 上的增函数 由 x2，得 f(x)f(2)，要使 f(x)4 在(，2)上恒为负数， 只需 f(2)40，即 a a21(a 2a2)4. a a21 a41 a2 4，a214a，a24a10， 2 3a2 3.又 a1， a 的取值范围为2 3，1)(1,2 3
