1、第十章概率 章末检测 (时间：120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1以下事件是随机事件的是() A下雨屋顶湿B秋后柳叶黄 C有水就有鱼D水结冰体积变大 【答案】C【解析】A，B，D 是必然事件故选 C 2盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共 10 个，从中随机取出 1 个，若是肉馅包子的 概率为2 5，不是豆沙馅包子的概率为 7 10，则素馅包子的个数为( ) A1B2 C3D4 【答案】C【解析】由题意可知这个包子是肉馅或素馅的概率为 7 10，所以它是素馅包 子的概率为 7 10 2 5 3 10，故素馅包子的个数为 10 3 1
2、03.故选 C 3据天气预报：在春节假期湖北武汉地区降雪的概率为 0.2，湖南长沙地区降雪的概率 为 0.3.假定这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，则 0.44 等于() A两地都降雪的概率B两地都不降雪的概率 C至少有一地降雪的概率D恰有一地降雪的概率 【答案】C【解析】武汉和长沙两地都降雪的概率 P(A)0.20.30.06，故 A 错误； 两地都不降雪的概率 P(B)(10.2)(10.3)0.56， 故 B 错误； 至少有一地降雪的概率 P(C) 1(10.2)(10.3)0.44，故 C 正确；恰有一地降雪的概率 P(D)0.2(10.3)(1 0.2)0.30.38，故 D
3、错误故选 C 4某年级有 12 个班，现要从 2 班到 12 班中选 1 个班的学生参加一项活动，有人提议： 掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法() A公平，每个班被选到的概率都为 1 12 B公平，每个班被选到的概率都为1 6 C不公平，6 班被选到的概率最大 D不公平，7 班被选到的概率最大 【答案】D【解析】P(1)0，P(2)P(12) 1 36，P(3)P(11) 1 18，P(4)P(10) 1 12， P(5)P(9)1 9，P(6)P(8) 5 36，P(7) 1 6.故选 D 5(2019 年湖北高一期中)某射手在一次射击中，射中 10 环，9 环，8 环的概率
4、分别是 0.20,0.30,0.10，则该射手在一次射击中不够 8 环的概率为() A0.90B0.30 C0.60D0.40 【答案】D【解析】由题意知射手在一次射击中不够 8 环的对立事件是射手在一次射 击中不小于 8 环，射手在一次射击中不小于 8 环包括击中 8 环，9 环，10 环，这三个事件 是互斥的，射手在一次射击中不小于 8 环的概率是 0.200.300.100.60，射手在一 次射击中不够 8 环的概率是 10.600.40.故选 D 6(2020 年佛山月考)镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个 情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有大小两种，
5、大灯下缀 2 个小灯是小 灯球，大灯下缀 4 个小灯是大灯球，若这座楼阁的大灯共 360 个，小灯共 1 200 个，随机选 取 1 个灯球，则这个灯球是大灯球的概率为() A1 3 B2 3 C1 4 D3 4 【答案】 B 【解析】 设小灯球有 x 个， 大灯球有 y 个， 根据题意可得 xy360， 2x4y1 200， 解得 x120， y240， 则灯球的总数为 xy360 个， 故这个灯球是大灯球的概率为 p240 360 2 3.故选 B 7某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为 3 元，售价为 8 元，每天销 售的第 20 个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近 1
6、0 天这种商品的销售量，如图所 示设 x 为这种商品每天的销售量，y 为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于 96 元的几天里任选 2 天，则选出的这 2 天日利润都是 97 元的概率为() A1 9 B 1 10 C1 5 D1 8 【答案】B【解析】日销售量不少于 20 个时，日利润不少于 96 元，其中日销售量为 20 个时，日利润为 96 元；日销售量为 21 个时，日利润为 97 元从条形统计图可以看出， 日销售量为 20 个的有 3 天， 日销售量为 21 个的有 2 天， 日销售量为 20 个的 3 天记为 a， b， c，日销售量为 21 个的 2 天记为 A，B，从这
7、 5 天中任选 2 天，可能的情况有 10 种：(a，b)， (a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的 2 天日销售量都为 21 个的情况只有 1 种，故所求概率 p 1 10.故选 B 8(2020 年广州高一期末)甲、乙两人罚球的命中率分别为1 2， 1 3，两人分别罚球 2 次，则 他们共命中 3 次的概率为() A1 6 B1 9 C 1 12 D1 3 【答案】A【解析】根据题意得，甲、乙共命中 3 次的概率 p21 2 1 2 1 3 11 3 21 2 11 2 1 3 1 32 1 18 1 36 1
8、 6.故选 A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9下列事件中是随机事件的是() A明年 8 月 18 日，北京市不下雨 B在标准大气压下，水在 4时结冰 C从标有 1,2,3,4 的四张号签中任取一张，恰为 1 号签 D向量的模不小于 0 【答案】AC【解析】A，C 为随机事件，B 为不可能事件，D 为必然事件故选 AC 10一个人连续射击 2 次，则下列各事件关系中，说法正确的是() A事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B事件“第一次击中”与
9、事件“第二次击中”互斥 C事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互斥 D事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 【答案】CD【解析】对于 A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均 击中”，所以不是对立事件，A 错误；对于 B，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第 二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，B 错误； 对于 C， 事件“恰有一次击中”是“一次击中、 一次不中”， 它与事件“两次均击中” 是互斥事件，C 正确；对于 D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确故选 CD 11从装有两个红球和三个黑球
10、的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是() A“至少有一个黑球”与“都是黑球” B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D“至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】AB【解析】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A 正确；“至少有 一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B 正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有 两个黑球”不可能同时发生，C 不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发 生，D 不正确故选 AB 12某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第 1 号车站(首发站)乘车，假 设每人自第 2 号车站开始，在每个车站下
11、车是等可能的，则() A甲、乙两人下车的所有可能的结果有 9 种 B甲、乙两人同时在第 2 号车站下车的概率为1 9 C甲、乙两人同时在第 4 号车站下车的概率为1 3 D甲、乙两人在不同的车站下车的概率为2 3 【答案】ABD【解析】甲、乙两人下车的所有可能的结果为(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)， (3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 9 种，A 正确，甲、乙两人同时在第 2 号车站和第 4 号 车站下车的概率都是1 9，B 正确，C 错误甲、乙两人在不同的车站下事的概率为 13 1 9 2 3，D 正确故选 ABD 三、填空题(本大题共 4 小题，
12、每小题 5 分，共 20 分，请把答案填写在题中横线上) 13我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示： 年降水量/mm100,150)150,200)200,250)250,300 概率0.210.160.130.12 则年降水量在200,300(mm)范围内的概率是_ 【答案】0.25【解析】“年降水量在200,300(mm)范围内”由“年降水量在 200,250)(mm)范围内”和“年降水量在250,300(mm)范围内”两个互斥事件构成，因此概 率为 0.130.120.25. 14下列各对事件： 运动员甲射击一次，“射中 9 环”与“射中 8 环”； 甲、乙两运动员各射击
13、一次，“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”； 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”； 甲、 乙两运动员各射击一次， “至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中 目标”其中互斥事件的有_ 【答案】【解析】和不可能同时发生，是互斥事件中“甲射中 10 环” 与“乙射中 9 环”相互之间没有影响，是相互独立事件 15在抛掷一颗骰子的试验中，事件 A 表示“不大于 4 的偶数点出现”，事件 B 表示 “小于 5 的点出现”，则事件 A B 发生的概率为_( B 表示 B 的对立事件) 【答案】2 3 【解析】事件 A 包含的基本事件为“出现 2 点”或“出
14、现 4 点”； B 表 示“大于等于 5 的点出现”， 包含的基本事件为“出现 5 点”或“出现 6 点” 显然 A 与 B 是互斥的，故 P(A B )P(A)P( B )1 3 1 3 2 3. 16(2019 年西安高一期中)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库 的概率为 0.025，其余两个各为 0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，则军火库发生爆炸 的概率为_ 【答案】0.225【解析】军火库发生爆炸的概率 p0.0250.10.10.225. 四、解答题(本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余小题为 12 分，共 70 分，解答应写出 必要的文字说明、证明过
15、程或演算步骤) 17一个盒子中装有 4 张卡片，每张卡片上写有 1 个数字，数字分别是 1,2,3,4.现从盒 子中随机抽取卡片 (1)若一次抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上的数字之和大于 7 的概率； (2)若第一次抽取 1 张卡片，放回后再抽取 1 张卡片，求至少有一次抽到数字 3 的概率 解：(1)设 A 表示事件“抽取的 3 张卡片上的数字之和大于 7”，任取 3 张卡片，3 张卡 片上的数字的全部可能结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共 4 个其中数字之和大于 7 的是(1,3,4)，(2,3,4)，共 2 个，故 P(A)1 2. (2)设 B
16、 表示事件“至少有一次抽到数字 3”，第一次抽取 1 张卡片，放回后再抽取 1 张卡片的全部可能结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)， (3,3)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)， 共 16 个 至少有一次抽到数字 3 的结果有(1,3)， (2,3)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，共 7 个故所求事件的概率为 P(B) 7 16. 18袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1 的小球 1 个，标号
17、为 2 的小球 n 个已知从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号是 2 的小球 的概率是1 2. (1)求 n 的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的 小球标号为 b.记事件 A 表示“ab2”，求事件 A 的概率 解：(1)由题意可知 n 11n 1 2，解得 n2. (2)记标号为 2 的两个小球分别为 21,22，不放回地随机抽取 2 个小球的所有基本事件为 (0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共 12
18、 个，事件 A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共 4 个，所以 P(A) 4 12 1 3. 19 “抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味， 某组织进行了一次关于“是否参与抢 红包活动”的调查活动，在几个大型小区随机抽取 50 名居民进行问卷调查，对问卷结果进 行了统计，并将调查结果统计如下表： 年龄/岁10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70 调查人数46141286 参与的人数3412632 (1)补全如图所示有关调查人数的频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计这 50 名 居民年龄的中位数和平均数(结果精确到 0
19、.1)； (2)在被调查的居民中， 若从年龄在10,20)， 20,30)内的居民中各随机选取 1 人参加抽奖 活动，求选中的 2 人中仅有 1 人没有参与抢红包活动的概率 解：(1)补全频率分布直方图，如图所示： 这 50 名居民年龄的平均数约为(150.008250.012350.028450.024 550.016650.012)1041.4.设中位数为 x，则 0.080.120.280.024(x40)0.5， 解得 x40.8，所以这 50 名居民年龄的中位数约为 40.8. (2)记年龄在10,20)内的居民为 a1，A2，A3，A4(其中居民 a1没有参与抢红包活动)，年龄 在
20、20,30)内的居民为 b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民 b1，b2没有参与抢红包活动)从年 龄在10,20)，20,30)内的居民中各选取 1 人的情形有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)， (a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)， (A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)， (A4，B5)，(A4，B6)，共 24 种 其中仅有 1 人没有参与抢红
21、包活动的情形有 10 种，所以选中的 2 人中仅有 1 人没有参 与抢红包活动的概率 p10 24 5 12. 20(2020 年宜宾模拟)手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计了职工一天行走 步数(单位： 百步)， 将数据分组为(50,70， (70,90， (90,110， (110,130， (130,150， (150,170， (170,190，(190,210，绘制出如下频率分布直方图： (1)求直方图中 a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； (2)若该单位有职工 200 人，试估计职工一天行走步数不大于 13 000 的人数； (3)在(2)的条件下，
22、该单位从行走步数大于 15 000 的 3 组职工中用分层抽样的方法选取 6 人参加远足拉练活动，再从 6 人中选取 2 人担任领队，求这两人均来自区间(150,170的概 率 解：(1)由题意，得 0.002200.006200.00820a200.010200.00820 0.002200.002201，解得 a0.012.设中位数为 110 x，则 0.002200.00620 0.008200.012x0.5，解得 x15，所以中位数是 125. (2)由 200(0.002200.006200.008200.01220)112， 所以估计职工一天步 行数不大于 13 000 步的人数
23、为 112. (3)在区间(150,170中有 2000.0082032 人，在区间(170,190中有 2000.00220 8 人，在区间(190,210中有 2000.002208 人，按分层抽样抽取 6 人，则从(150,170 中抽取 4 人， (170,190中抽取 1 人， (190,210中抽取 1 人 设从(150,170中抽取职工为 a， b， c，d，从(170,190中抽取职工为 E，从(190,210中抽取职工为 F，则从 6 人中抽取 2 人的情 况有 ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF 共 15 种情况，其 中
24、满足两人均来自区间(150,170的有 ab，ac，ad，bc，bd，cd 共 6 种情况，所以 p 6 15 2 5. 所以两人均来自区间(150,170的概率为2 5. 21(2019 年哈尔滨三模)棉花的优质率是以其纤维长度来衡量的，纤维越长的棉花品质 越高棉花的品质分类标准为：纤维长度(单位：mm)小于等于 28 的为粗绒棉，纤维长度在 (25,33为细绒棉，纤维长度大于 33 的为长绒棉，其中纤维长度在 38 以上的棉花又名“军海 1 号”某采购商从新疆某一棉花基地抽测了 100 根棉花的纤维长度，得到数据绘制成频数 分布表如下： 纤维长度/mm小于或等于 25(25,33(33,3
25、8大于 38 根数2384020 (1)若将频率作为概率，根据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全 部棉花的 50%以上”的要求？ (2)用分层抽样的方法从长绒棉中抽取 6 根棉花，再从 6 根棉花中取两根进行检验，求 抽到的两根棉花只有一根是“军海 1 号”的概率 解：(1)将频率作为概率，根据以上数据， 长绒棉占全部棉花的比例为4020 100 60%， 该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的 50%以上”的要求 (2)用分层抽样的方法从长绒棉中抽取 6 根棉花，其中“军海 1 号”抽到的根数为 6 20 20402. 再从 6 根棉花中取两根进行检验，基本事件总数 n15
26、， 抽到的两根棉花只有一根是“军海 1 号”包含的基本事件个数 m8，抽到的两根棉 花只有一根是“军海 1 号”的概率 pm n 8 15. 22(2019 年北京朝阳区高一期末)某市从高二年级随机选取 1 000 名学生，统计他们选 修物理、化学、生物、 政治、历史和地理六门课程(前 3 门为理科课程，后 3 门为文科课程)的情况，得到如下 统计表，其中“”表示选课，“空白”表示未选. 科目方案人数物理化学生物政治历史地理 一220 二200 三180 四175 五135 六90 (1)在这 1 000 名学生中， 从选修物理的学生中随机选取 1 人， 求该学生选修政治的概率； (2)在这
27、1 000 名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取 2 名学生，如果在这 6 名学生中随机选取 2 名， 求这 2 名学生除选修物理以外， 另外两门选课中有相同科目的概率； (3)利用表中数据估计该市选课偏文(即选修至少两门文科课程)的学生人数多还是偏理 (即选修至少两门理科课程)的学生人数多，并说明理由 解：(1)选修物理的共有 220200180600 人，其中选修政治的有 220 人，所以从选 修物理的学生中随机选取 1 人，求该学生选修政治的概率 P1220 600 11 30. (2)设选择方案一的 2 名学生为 a1，a2，选择方案二的 2 名学生为 b1，b2，选择方案三的
28、 2 名学生为 c1，c2，从这 6 名学生中随机选取 2 人，有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)， (a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2， c2)，(c1，c2)共 15 种情况，其中除选修物理以外，另外两门选课中有相同科目的有(a1，a2)， (a1，c1)，(a1，c2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1， c2)共 11 种情况，所以所求概率 P211 15. (3)调查者中选偏文的共有 17513590400 人，频率为 0.4，选修偏理的有 1 000 400600 人，频率为 0.6.所以估计全市选课偏文的学生大约占 0.4，选课偏理的大约占 0.6. 所以估计全市选课偏理的学生多
