1、2020-2021 学年新教材人教 A 版必修第二册 第十章 概率 单元测试 (时间:120 分钟分值:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题 所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1.甲、乙两人同时参加某次外语考试,若甲、乙考试达到优秀的概 率分别为 0.6,0.7,且两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的 概率为() A.0.42B.0.12C.0.18D.0.28 答案:B 2.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水的概率为 80%”,这是指() A.明天该地区有 80%的地方降水,有 20%的地方不降水
2、B.明天该地区有 80%的时间降水,其他时间不降水 C.明天该地区降水的可能性为 80% D.气象台的专家中有 80%的人认为会降水,另外有 20%的专家认 为不降水 答案:C 3.我国古代数学名著 数书九章 有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1 534 石(石,读音 dn,古代计量单位),验得米内夹谷,抽样 取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为() A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1 365 石 答案:B 4.在一次随机试验中,若 A, B, C 三个事件发生的概率分别为 0.2, 0.3, 0.5,则下列说法一定正确的是() A.B
3、 与 C 是互斥事件 B.A+B 与 C 是对立事件 C.A+B+C 是必然事件 D.0.3P(A+B)0.5 答案:D 5.一道试题,若 A,B,C 三人可解出的概率分别为1 2, 1 3, 1 4,则三人独立 解答,只有一人解出的概率为() A. 1 24B. 11 24C. 17 24D.1 答案:B 6.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6点 数的正方体玩具)先后抛掷 2次,若记第一次出现的点数为m,记第二次 出现的点数为 n,则 m=3n 的概率为() A. 1 18B. 1 12C. 1 9D. 1 6 答案:A 7.甲骑自行车从 A 地到 B 地,途
4、中要经过 4 个十字路口,如果甲在 每个十字路口遇到红灯的概率都是1 3,且在每个路口是否遇到红灯相互 独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首 次遇到红灯的概率是() A.1 3B. 4 27C. 4 9D. 1 27 答案:B 8.某单位在院外栽植了 2 棵雪松、2 棵银杏,若这两种树在该地区 的成活率分别是4 5, 5 6 (每棵树是否成活相互没有影响),则这 4 棵树至少 有 1 棵成活的概率为() A.899 900B. 769 900C. 701 900D. 269 900 答案:A 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题
5、给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对 的得 3 分,有选错的得 0 分) 9.下列事件中,是随机事件的是() A.任意买一张电影票,座位号是 2 的倍数 B.13 个人中至少有两个人出生月份相同 C.车辆随机到达一个路口,遇到红灯 D.明天是雨天 答案:ACD 10.不透明的口袋内装有大小、质地相同的红色、绿色和蓝色卡 片各2张,若一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥 而不对立的事件有() A.2 张卡片都不是红色 B.2 张卡片恰有一张红色 C.2 张卡片至少有一张红色 D.2 张卡片都为绿色 答案:ABD 11.掷一枚硬币两次,记事件 A=
6、“第一次出现正面”,B=“第二次出现 反面”,则有() A.A 与 B 相互独立 B.P(AB)=P(A)+P(B) C.A 与 B 互斥 D.P(AB)=1 4 答案:AD 12.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表: 投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数 1005518 记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件 A,投中三分球 为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中, 正确的是() A.P(A)=0.55B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27D.P(B+C)=0.55 答案:ABC 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共
7、20 分.将答案填在题 中的横线上) 13.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,“关于偶数的哥德 巴赫猜想”可表述为:任一大于2的偶数,都可写成2个质数之和.若将6 拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为1 5. 14.1 名工人维护 3 台独立的游戏机,若一天内这 3 台需要维护的 概率分别为0.9,0.8和0.6,则一天内至少有1台游戏机不需要维护的概 率为 0.568(结果用小数表示). 15.一个盒子中放有大小和质地相同的 4 个白球和 1 个黑球,若从 中任取 2 个球,则所取的 2 个球不同色的概率为2 5. 16.(本题第一空 2 分,第二空 3 分)A,
8、B,C 三人将参加某项测试,三 人能否达标互不影响,若他们能达标的概率分别是4 5, 3 5, 1 2,则三人都能达 标的概率是 6 25,三人中至少有一人能达标的概率是 24 25. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算过程) 17.(10 分)如图,下面是某市 2 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势 图及空气质量指数与污染程度对应表.某人随机选择 2 月 1 日至 2 月 13 日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天). 空气质量指数空气质量等级 小于 100优良 大于 100,且小于 150轻度污染 大于 150,且小于 200
9、中度污染 大于 200,且小于 300重度污染 大于 300严重污染 (1)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(只 写出结论,不要求证明) (2)求此人到达当日空气质量优良的概率. (3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污 染的概率. 解:设 Ai表示事件“此人于 2 月 i 日到达该市”(i=1,2,13). (1)从 2 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. (2)根据题意,P(Ai)= 1 13,且 AiAj=(ij,j=1,2,13). 设“此人到达当日空气优良”为事件 B, 则 B=A1A2A3A7A12A13, 所以 P(B)=P(A1
10、A2A3A7A12A13)= 6 13. (3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为 事件 A. 由题意可知,P(A)=P(A4A5A6A7A8A9A10A11)=P(A4)+ P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)= 8 13. 18.(12 分)经统计,某医院一个结算窗口排队结算的人数及相应的 概率如下表: 排队人数0561011151620212525 人以上 概率0.10.150.250.250.20.05 (1)求超过 20 人排队结算的概率; (2)求两天中,恰有 1 天出现超过 20 人排队结算的概率. 解:(1)
11、记“超过 20 人排队结算”为事件 A, 因为事件“排队人数为21-25”与“排队人数为25人以上”为互斥事 件. 所以 P(A)=0.2+0.05=0.25. (2)记“第一天超过20人排队结算”为事件B1,“第二天超过20人排 队结算”为事件 B2,则“恰有 1 天出现超过 20 人排队结算”为事 件 B1?2+?1B2. 因为事件 B1与?2相互独立,?1与 B2相互独立, 所以 P(B1?2)=P(B1)P(?2)=1 4(1- 1 4) = 3 16, P(?1B2)=P(?1)P(B2)=(1-1 4) 1 4= 3 16. 因为 B1?2与?1B2为互斥事件, 所以 P(B1?2
12、+?1B2)=P(B1?2)+P(?1B2)=3 8. 19.(12 分)某省高考实行“3+1+2”模式.“3+1+2”模式:“3”为全国统 考科目语文、 数学、 外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生要在物理、 历史科目中选择 1 科;“2”为再选科目,考生可在化学、生物、政治、地 理 4 个科目中选择 2 科,共计 6 个考试科目. (1)若学生甲在“1”中选物理,在“2”中任选 2 科,求学生甲选化学和 生物的概率; (2)若学生乙在“1”中任选 1 科,在“2”中任选 2 科,求学生乙不选政 治但选生物的概率. 解:(1)记“学生甲选化学和生物”为事件 A. 学生甲在“1”中选物理
13、,在“2”中任选2科的基本事件有:(生,化),(生, 政),(生,地),(化,政),(化,地),(政,地),共 6 种. 事件 A 包含的基本事件有:(生,化),共 1 种. 由古典概型概率计算公式得 P(A)=1 6. 所以学生甲选化学和生物的概率是1 6. (2)记“学生乙不选政治但选生物”为事件 B. 学生乙在“1”中任选 1 科,在“2”中任选 2 科的基本事件有:(物,生, 化),(物,生,政),(物,生,地),(物,化,政),(物,化,地),(物,政,地),(史,生,化),(史, 生,政),(史,生,地),(史,化,政),(史,化,地),(史,政,地),共 12 种. 事件 B 包
14、含的基本事件有:(物,生,化),(物,生,地),(史,生,化),(史,生, 地),共 4 种. 由古典概型概率计算公式得 P(B)= 4 12= 1 3. 所以学生乙不选政治但选生物的概率是1 3. 20.(12 分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派 3 名、1 名、2 名运动员参加某次比赛,甲协会的运动员编号分别为 A1,A2,A3,乙协会 的运动员编号为 A4,丙协会的运动员编号分别为 A5,A6,从这 6 名运动 员中随机抽取 2 名参加双打比赛. (1)用所给编号列出所有可能抽取的结果; (2)求丙协会至少有 1 名运动员参加双打比赛的概率; (3)求参加双打比赛的 2 名运动员来自
15、同一协会的概率. 解:(1)由题意,从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所 有可能抽取的结果有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3), (A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6), 共 15 种. (2)因为丙协会至少有1名运动员参加双打比赛,所以编号为A5,A6 的 2 名运动员至少有 1 人被抽到,其结果为(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5), (A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A
16、4,A6),(A5,A6),共9种,所以丙协会至少 有 1 名运动员参加双打比赛的概率 P= 9 15= 3 5. (3)2 名运动员来自同一协会的结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3), (A5,A6),共 4 种, 参加双打比赛的 2 名运动员来自同一协会的概率 P= 4 15. 21.(12 分)一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个,除颜色 外其他特征完全相同,已知蓝色球有 3 个.若从这个袋子中随机取出 1 个球,取到红色球的概率是1 6. (1)这个袋子中有多少个红色球? (2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将 1 号红色球,1 号白色 球,2 号蓝色球和
17、 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲、乙两人 先后从这个袋子中各取 1 个球(甲先取,取出的球不放回),求甲取出的 球的编号比乙大的概率 P. 解:(1)设这个袋子中有 x 个红色球. 依题意得 ? 24= 1 6, 解得 x=4. 所以这个袋子中有 4 个红色球. (2)由题意,知试验发生包含的所有的基本事件有(红 1,白 1),(红 1, 蓝 2),(红 1,蓝 3),(白 1,红 1),(白 1,蓝 2),(白 1,蓝 3),(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 2,蓝 3),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共有 12 个. 满足条件的事件包含的
18、基本事件有(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 5 个, 所以 P= 5 12. 22.(12 分)某工厂生产一种汽车的元件,该元件是经过 A,B,C 三道 工序加工而成的,A,B,C 三道工序加工的元件合格率分别为1 2, 2 3, 3 4.已知 每道工序的加工都相互独立,三道工序加工都合格的元件为一等品;恰 有两道工序加工合格的元件为二等品;其他的为废品,不进入市场. (1)生产一个元件,求该元件为二等品的概率; (2)从该工厂生产的这种元件中任意取出 3 个元件进行检测,求至 少有 2 个元件是一等品的概率. 解:(1)不
19、妨设一个元件经 A,B,C 三道工序加工合格的事件分别为 A,B,C, 则 P(A)=1 2,P(B)= 2 3,P(C)= 3 4,P(?)= 1 2, P(?)=1 3,P(?)= 1 4. 设事件 D 为“生产一个元件,该元件为二等品”, 根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式, P(D)=P(?BC+A?C+AB?)=P(?BC)+P(A?C)+P(AB?)=(1-1 2) 2 3 3 4+ 1 2(1- 2 3) 3 4+ 1 2 2 3(1- 3 4)= 11 24. 所以生产一个元件,该元件为二等品的概率为11 24. (2)生产一个元件,该元件为一等品的概率 P=1 2 2 3 3 4= 1 4. 设事件 E 为“任意取出 3 个元件进行检测,至少有 2 个元件是一等 品”,则 P(E)=3(1 4) 2(1-1 4)+( 1 4) 3=10 64= 5 32. 所以至少有 2 个元件是一等品的概率为 5 32.
