1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲教师版Page 1 of 9 第九讲第九讲抽屉原理抽屉原理 教学目标教学目标 1、 典型抽屉原理的巩固和提高。典型抽屉原理的巩固和提高。 2、 熟练掌握最不利原则的应用。熟练掌握最不利原则的应用。 3、 学会利用枚举、排列组合、图形计数构造抽屉解决问题。学会利用枚举、排列组合、图形计数构造抽屉解决问题。 知识说明知识说明 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先
2、明确的提出来并用以证明一些数论 中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解 决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问 题题，在利用抽屉原则后在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决能很快使问题得到解决.在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以 填空题和口算题的形式出现
3、，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。填空题和口算题的形式出现，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。那么，那么，这一讲我就来巩固这一讲我就来巩固 学习学习抽屉原则抽屉原则以及它的典型应用。以及它的典型应用。 抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。 抽屉原理抽屉原理 1：将多于：将多于 n 件的物品任意放到件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件。件。 例：有例：有 5 只鸽子飞进只鸽子飞进 4 个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少
4、飞进了 2 只鸽子。只鸽子。 抽屉原理抽屉原理 2：将多于：将多于 mn 件的物品任意放到件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于于 m+1。 例例：如果将如果将 13 只鸽子放进只鸽子放进 6 只鸽笼里只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放那么至少有一只笼子要放 3 只或更多的鸽子只或更多的鸽子。道理很简道理很简 单。如果每只鸽笼里只放单。如果每只鸽笼里只放 2 只鸽子，只鸽子，6 只鸽笼共放只鸽笼共放 12 只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪 只鸽笼里，总有一只鸽笼放了只鸽笼里，总有一只鸽笼
5、放了 3 只鸽子。只鸽子。 分析：分析：把两种颜色看成两个把两种颜色看成两个“抽屉抽屉”根据抽屉原理根据抽屉原理 2 可知，至少有三个面被涂上相同的颜色可知，至少有三个面被涂上相同的颜色. 想挑战吗？ 给正方形涂上红色或蓝色的油漆，试证：正方形至少有三个面被给正方形涂上红色或蓝色的油漆，试证：正方形至少有三个面被 涂上相同的颜色涂上相同的颜色. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲教师版Page 2 of 9 专题精讲专题精讲 、抽屉原理的典型应用、抽屉原理的典型应用 解题思路：解题思路：做抽屉问
6、题关键是确定做抽屉问题关键是确定 “抽屉抽屉”和和“苹果苹果” ，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者 为为“苹果苹果” ，数量较少者为，数量较少者为“抽屉抽屉” 。 苹果苹果抽屉商抽屉商余数，得到的结论为：至少有一余数，得到的结论为：至少有一 个抽屉里有（商个抽屉里有（商1 1）个苹果。）个苹果。 【例【例 1】 （）证明）证明： （1）任意）任意 28 个人中，至少有个人中，至少有 3 个人的属相相同个人的属相相同。 （2）要想保证至少）要想保证至少 4 个人个人 的属相相同，至少有几个人？（的属相相同，至少有几个人？（3）要想保证至少）要想保证至
7、少 5 个人的属相相同，但不能保证有个人的属相相同，但不能保证有 6 个人的个人的 属相相同，那么总人数应该在什么范围内？属相相同，那么总人数应该在什么范围内？ 分析分析： （1）把）把 12 种属相看作种属相看作 12 个抽屉，个抽屉，28 812122 24 4，根据抽屉原理，至少有，根据抽屉原理，至少有 3 3 个人的属相相同个人的属相相同。 （2 2）要保证有至少要保证有至少 4 个人的属相相同，总人数最少为：个人的属相相同，总人数最少为：3 312121 13737（人）（人） （3）要保证有）要保证有 5 个人的属相相同，总人数最少为：个人的属相相同，总人数最少为：4 412121
8、 14949（人（人） ，不能保证有，不能保证有 6 6 个人属相个人属相 相相同的最多人数为：同的最多人数为：5 512126060（人（人） ，所以总人数应该在，所以总人数应该在 4949 人到人到 6060 人的范围内。人的范围内。 【前铺】下面的题看看谁解释的最清楚： （1）奥数网对所有五年级的同学进行出生年份统计，发现有 367 名 1996 年出生的同学，试说明： 这些同学中至少有 2 名同学是在同一天出生的。 （2）某班 32 名同学是在 5 月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？ （3）班上有 50 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友
9、能 得到不少于 3 本书？ 分析： （1） 1996 年是闰年，这一年应该有 366 天，学生数天数，把 366 天看作 366 个抽屉，将 367 名同学看作 367 个苹果。这样，把 367 个苹果放进 366 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果。 因此至少有 2 名同学的是同一天出生。 （2） 5 月有 31 天，学生数天数，把 31 天看作 31 个抽屉，将 32 名同学看作 32 个苹果。这样，把 32 个苹果放进 31 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果。因此至少有 2 名同学的是同一天出生。 （3）反用抽屉原理，求“苹果”即要保证至少有一个小朋友能得到不少于 3 本书
10、，最少拿：50（31） 1101（本） ，所以至少要拿 101 本书。 【拓展】学校有 55 个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于 2 人，又 知参赛者中任何 10 人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？ 分析：因为分成四组，必有一组的女生多于 2 人，所以女生至少有 4219（人） ，因为任意 10 人中 必有男生，所以女生人数也至多 9 人，所以女生有 9 人，则男生有 55946（人） 。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲教师版Page 3 of 9 、最
11、不利原则、最不利原则 解题思路解题思路：有些题目中没有明显的有些题目中没有明显的“苹果苹果”与与“抽屉抽屉” ，在解决问题时在解决问题时，需要要从问题的最差状态着手需要要从问题的最差状态着手， 才能满足题目的要求。才能满足题目的要求。 【例【例 2 2】 （）一副扑克牌，共一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：（张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：（1 1）至少有）至少有 5 张牌张牌 的花色相同的花色相同；（2 2）四种花色的牌都有四种花色的牌都有；（3 3）至少有至少有 3 张牌是红桃张牌是红桃。（4 4）至少从中取出几张牌至少从中取出几张牌， 才能保证至少有才能保
12、证至少有 2 张梅花牌和张梅花牌和 3 张红桃。张红桃。 分析：分析：一副扑克牌有四种花色，每种花色各一副扑克牌有四种花色，每种花色各 13 张，另外还有两张王牌，共张，另外还有两张王牌，共 5454 张。张。 （1 1）为了为了“保证保证”5 张牌花色相同张牌花色相同，我们应从最我们应从最“坏坏”的情况去分析的情况去分析，即先摸出了两张王牌即先摸出了两张王牌.把四种花色把四种花色 看作看作 4 个抽屉，要想有个抽屉，要想有 5 张牌属于同一抽屉，只需再摸出张牌属于同一抽屉，只需再摸出 44+117（张），也就是共摸出（张），也就是共摸出 19 张牌张牌.即即 至少摸出至少摸出 19 张牌，才
13、能保证其中有张牌，才能保证其中有 5 张牌的花色相同。张牌的花色相同。 （2 2）因为每种花色有）因为每种花色有 13 张牌张牌.若考虑最若考虑最“坏坏”的情况，即摸出了的情况，即摸出了 2 张王牌和三种花色的所有牌共计张王牌和三种花色的所有牌共计 13 32=41（张），这时，只需再摸一张即一共（张），这时，只需再摸一张即一共 42 张牌，就保证四种花色的牌都有了张牌，就保证四种花色的牌都有了.即至少摸出即至少摸出 42 张张 牌才能保证四种花色的牌都有。牌才能保证四种花色的牌都有。 （3 3）最坏的情形是先摸出了最坏的情形是先摸出了 2 张王牌和方块张王牌和方块、黑桃黑桃、梅花三种花色所有
14、牌共计梅花三种花色所有牌共计 1332=41 张张，只剩红只剩红 桃牌桃牌.这时只需再摸这时只需再摸 3 张，就保证有张，就保证有 3 张牌是红桃了张牌是红桃了.即至少摸出即至少摸出 44 张牌，才能保证其中至少有张牌，才能保证其中至少有 3 张红桃张红桃 牌。牌。 （4 4）因为每种花色有因为每种花色有 13 张牌张牌.若考虑最若考虑最“坏坏”的情况的情况，即摸出即摸出 2 2 张王牌张王牌、方块和黑桃两种花色的所有牌方块和黑桃两种花色的所有牌 共计共计：1322 2=28，然后是摸出所有的梅花和然后是摸出所有的梅花和 2 张红桃张红桃（想想若摸出所有的红桃和想想若摸出所有的红桃和 2 张梅
15、花张梅花，是最坏的是最坏的 情况么？），共计：情况么？），共计：2813133=44 张；张； 【前铺】一副扑克牌有 54 张，最少要抽取多少张牌，方能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数？ 分析：最“坏”的情况把大小王和点数为 1（A） 、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（J） 、12（Q） 、13 （K） 的牌各取 1 张， 在在这 15 张牌中没有两张牌的点数相同， 这样如果在任取一张， 它的点数必 为 1 到 13 中的一个，所以最少要取 16 张牌方能使其中至少有 2 张牌有相同的点数。 【例【例 3 3】 （）奥数网竞赛班选拔考试，共有）奥数网竞赛班选拔考试，共有 112
16、3 名同学参加，小明说名同学参加，小明说： “至少有至少有 10 名同学来自名同学来自 同一个学校同一个学校。 ”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？ 分析分析：本题需要求抽屉的数量本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最反用抽屉原理和最“坏坏”情况的结合情况的结合，最坏的情况是只有最坏的情况是只有 1010 个同学来自个同学来自 同一个学校同一个学校，而其他学学校都只有而其他学学校都只有 9 9 同学参加同学参加，则人数最多为则人数最多为：（11231010）9 91231236 6，因此这些因此这些 学校
17、最多有学校最多有：1231231 1124124（个个） （处理余数很关键处理余数很关键，如果有如果有 125125 个则不能保证个则不能保证至少有至少有 10 名同学来自同一名同学来自同一 个学校个学校） 。 【巩固】把 125 本书分给五（2）班的学生，如果其中至少有一个人分到至少 4 本书，那么，这个班最多 有多少人？ 分析：本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有 1 个人分 到 4 本书，而其他同学都只分到 3 本书，则人数最多为：（1254）3401，因此这个班最多有： 40141（人） （处理余数很关键，如果有 42 人则不能保证至少有一个人分
18、到 4 本书） 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲教师版Page 4 of 9 【例【例 4 4】 （）有一个布袋中有有一个布袋中有 4040 个相同的小球个相同的小球，其中编上号码其中编上号码 1 1、2 2、3 3、4 4 的各有的各有 1010 个个，问问：一一 次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有 3 3 个小球的号码相同？个小球的号码相同？ 分析分析: :将将 1 1、2 2、3 3、4 4 种号码看作种号码看作 4 4 个抽屉，要保证一
19、个抽屉中至少有个抽屉，要保证一个抽屉中至少有 3 3 个苹果，最个苹果，最“坏坏”的情况是每个的情况是每个 抽屉里有抽屉里有 2 2 个个“苹果苹果”，共有共有：4 42 28 8，再取再取 1 1 个就能满足要求个就能满足要求，所以所以一次至少要取出一次至少要取出 9 9 个小球个小球，才能才能 保证其中至少有保证其中至少有 3 3 个小球的号码相同个小球的号码相同. . 【巩固】有一个布袋中有 5 种不同颜色的球，每种都有 20 个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保 证其中至少有 3 个小球的颜色相同？ 分析：5 种颜色看作 5 个抽屉，要保证一个抽屉中至少有 3 个苹果，最“坏”的情
20、况是每个抽屉里有 2 个 “苹果”，共有：5210，再取 1 个就能满足要求，所以一次至少要取出 11 个小球，才能保证其中至 少有 3 个小球的号码相同. 【例【例 5 5】 （）将将 400400 本书随意分给若干同学本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过但是每个人不许超过 1111 本本，问问：至少有多少个同至少有多少个同 学分到的书的本数相同？学分到的书的本数相同？ 分析：每人不许超过分析：每人不许超过 1111 本，最本，最“坏坏”情况是每人得到的本数为：情况是每人得到的本数为：1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9、1010、1 11 1 这这 1
21、111 种各不相同的本数，共有：种各不相同的本数，共有：1 12 23 311116666，40066666 64 4，最不利的分法是：得，最不利的分法是：得 1 1、 2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9、1010、1111 本书的各本书的各 6 6 人人，还剩还剩 4 4 本书本书，要使每个人不超过要使每个人不超过 1111 本本，无论发给谁无论发给谁， 都会使至少有都会使至少有 7 7 人得到书的本书相同。人得到书的本书相同。 【巩固】要把 61 个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中每个盒子最多可以装 5 个乒乓球，问：至少有多少个 盒子中的乒乓球数目相同？ 分析：每
22、个盒子超不超过 5 个球，最“坏”的情况是每个盒子球数：1、2、3、4、5 这 5 种各不相同的个 数，共有：1234515，611541，最不利的分法是：得 1、2、3、4、5 个球的各 4 个， 还剩 1 个球，要使每个盒子不超过 5 个，无论发给那个盒子，都会使至少有 5 个盒子的球数相同。 、构造抽屉解决问题、构造抽屉解决问题 解题思路解题思路：有些问题没有明确的给出抽屉的数量，这就需要我们应用以前学过的枚举、排列组合、图有些问题没有明确的给出抽屉的数量，这就需要我们应用以前学过的枚举、排列组合、图 形计数的知识构造出抽屉来解决问题形计数的知识构造出抽屉来解决问题，这是一类比较综合性的
23、问题这是一类比较综合性的问题，需要大家细心的来构造需要大家细心的来构造 抽屉。抽屉。 【例【例 6 6】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 3 的倍数？的倍数？ 分析：分析：根据【前铺】根据【前铺】的讨论，任何整数除以的讨论，任何整数除以 3 的余数只能是的余数只能是 0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，。现在，对于任意的五个自然数， 根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。 第一种情形。有三个数在同一个
24、抽屉里，即这三个数除以第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以 3 后具有相同的余数。因为这三个数的余后具有相同的余数。因为这三个数的余 数之和是其中一个余数的数之和是其中一个余数的 3 倍，故能被倍，故能被 3 整除，所以这三个数之和能被整除，所以这三个数之和能被 3 整除。整除。 第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数， 这三个数被这三个数被 3 除的余数分别为除的余数分别为 0，1，2。因此这三个数之和能被。因此这三个数之和能被 3 整除。整除。
25、综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是 3 的倍数。的倍数。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲教师版Page 5 of 9 【前铺 1】证明：在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除。 分析：因为任何整数除以 3，其余数只可能是 0，1，2 三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽 屉”。一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。将四个自然数放入三个抽屉， 至少有一个抽屉里
26、放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3 的余数相同。这两个数的差必能被 3 整除。 （说明：本题是按照一个数字的余数构造的抽屉） 【前铺 2】任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是 7 的倍数？为什么？ 分析：因为任何整数除以 7，其余数只可能是 0、1、2、3、4、5、6 七种情形。我们将余数的这七种情形 看成是 1 七个“抽屉”。一个整数除以 7 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。要想两个数 的差是 7 的倍数，这两个数必同余，所以至少有一个抽屉里有两个数，故最少任取 718 个自然数才 能保证至少有两个数的差是 7 的倍数。 【巩固】在 1，4，7，10，1
27、00 中任选 20 个数，其中至少有不同的两组数，其和都等于 104，试证明。 分析：1，4，7，10，100 共有 34 个数，将其分为4，100，7，97，49，55，1，52共有 18 个抽屉. 从这 18 个抽屉里面任意抽取 20 个数，若取到1，52，则剩下的 18 个数取自前 16 个抽屉， 至少有 4 个数取自某两个抽屉中. 若不全取 1 和 52，则有多于 18 个数取自前 16 个抽屉，同样至少有 4 个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是 104. 【例【例 7 7】 （）新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给新年晚会上，
28、老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给 人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时，看不见颜色），结果发现总有人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时，看不见颜色），结果发现总有 3 3 个个 人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有几人？人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有几人？ 分析：取两个球的颜色有多少种情况为抽屉，所以抽屉有：红红、红黄、红白、红蓝、红绿、黄黄、黄分析：取两个球的颜色有多少种情况为抽屉，所以抽屉有：红红、红黄、红白、红蓝、红绿、黄黄、黄 白、黄蓝、黄绿、白白、白蓝、白绿、蓝蓝、蓝绿、绿绿共白、黄蓝、黄绿、白白、白蓝、白绿、蓝蓝
29、、蓝绿、绿绿共 1515 种情况，即有种情况，即有 1515 个抽屉，则参加个抽屉，则参加 取球的人数，即取球的人数，即“苹果苹果”的数量至少为：的数量至少为：15152 21 13131（人（人） 。 【巩固】老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得 2 分，没有做得 1 分，做错的 0 分。老师说：“可 以肯定全班同学中至少有 6 名同学各题的得分都相同。”那么，同学们请算算这个班至少有多少个人？ 分析：同学做两道题的得分情况为“抽屉”，用（a,b）表示各题的得分情况，其中 a，b 表示一题和二 题的得分，那么抽屉共有：（2，2）（2，1）（1，2）（2，0）（0，2）（1，1）（1，0）
30、（0，1）（0， 0）这 9 种情况，求学生数量即“苹果”数为：95146（人） 。 【例【例 8 8】 （）有红、黄、蓝、绿四种颜色的小旗各一面，取其中的一面小旗或者多面小旗由上而有红、黄、蓝、绿四种颜色的小旗各一面，取其中的一面小旗或者多面小旗由上而 下挂在旗杆上作为信号（挂多面小旗时，不同的顺序表示不同的信号，如：挂出红、黄颜色小下挂在旗杆上作为信号（挂多面小旗时，不同的顺序表示不同的信号，如：挂出红、黄颜色小 旗时，红、黄与黄、红表示不同的信号），问：（旗时，红、黄与黄、红表示不同的信号），问：（1 1）共有多少种不同的信号？（）共有多少种不同的信号？（2 2）如果某天）如果某天 发出
31、发出 323323 种信号，那么这天必定出现某种相同的信号多少次种信号，那么这天必定出现某种相同的信号多少次 分析：（分析：（1 1）若）若 4 4 种颜色的小旗仅取一面，则有种颜色的小旗仅取一面，则有 4 4 种不同的信号；种不同的信号； 若若 4 4 种颜色的小旗仅取两面，则有种颜色的小旗仅取两面，则有 4 43 31212（种）不同的信号；（种）不同的信号； 若若 4 4 种颜色的小旗仅取三面，则有种颜色的小旗仅取三面，则有 4 43 32 22424（种）不同的信号；（种）不同的信号； 若若 4 4 种颜色的小旗仅取四面，则有种颜色的小旗仅取四面，则有 4 43 32 21 12424
32、（种）不同的信号；（种）不同的信号； 则共有不同的信号共：则共有不同的信号共：4 41212242424246464（种）（种） （2 2）32332364645 53 3，根据抽屉原理，这一天某种信号必定至少出现，根据抽屉原理，这一天某种信号必定至少出现 6 6 次。次。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲教师版Page 6 of 9 【拓展】若干个小朋友去购买单价为 3 元和 5 元的两种商品，每人至少买一件，但是每人购买商品的金 额不得超过 15 元，小明说： “小朋友中一定至少有三人购买
33、的两种商品的数量完全相同，问：至少有多 少个小朋友？ 分析：设买 x 件 5 元的商品，y 件 3 元的商品， 则053153 5xy ，所以，03x；05y，但是 x，y 不能同时为 0。 （1）当 x0 时，y1，2，3，4，5 共 5 组情况； （2）当 x1 时，y0，1，2，3 共 4 组情况； （3）当 x2 时，y0，1 共 2 组情况； （4）当 x3 时，y0 共 1 组情况； 所以，总共只有 12 种情况，即 12 个抽屉，现在要求小朋友数即“苹果”数，根据抽屉原理，至少有三 人购买相同数量的两种商品，则小朋友至少有：122125（人） 。 【巩固】自制的一副玩具扑克共计
34、52 张（含 4 种牌：红桃、红方、黑桃、黒梅，每种牌都有 1、2、 13 点牌各一张），洗好后背面朝上放好，（1）一次至少抽取几张牌，才能保证其中必定有 2 张牌的点数 和颜色都相同？（2）如果要求一次抽出的牌中必定有 3 张牌的点数是相邻的（不计颜色）那么要取几张 牌? 分析：（1）最“坏”的情况取出红、黑色的 1、2、313 点牌各一张共：13226（张） ，那么在任 取一张必定和其中某一张牌的点数相同，于是就有两张牌的点数和颜色相同，因此至少要取 27 张牌才能 保证其中必定有 2 张牌的点数和颜色都相同 （2）要使三张牌的点数相邻有以下的搭配：（1，2，3）、（4，5，6）、（7，8
35、，9）、（10，11，12） 、 13，因而最“坏的情况对有下划线的 9 个数字，四种花色的牌都取，这样可以取到：9436（张） 牌，其中没有三张牌的点数是相邻的，现在再任意取一张，必定有 3 张点数是相邻的。 【例【例 9 9】 （）把把 1、2、3、10 这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻 的三个数之和不小于的三个数之和不小于 17。 分析：（方法一）：分析：（方法一）： 把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 a1、 a2、a3、a10（见图见图）.相邻的三个数为一组相
36、邻的三个数为一组，有有 a1a2a3、a2a3a4、a3a4a5、 a9a10d1、a10a1a2共共 10 组。组。 这十组数的和的总和为：（这十组数的和的总和为：（a1a2+a3）（）（a2+a3+a4）+（a10+a1a2 3（a1+a2+a3+a10） 355=16516105。 根据抽屉原理这十组数中至少有一组数的和不小于根据抽屉原理这十组数中至少有一组数的和不小于 17。 （方法二（方法二）：在在 10 个数中一定有一个数是个数中一定有一个数是 1，设设 a101，除去除去 a10之外之外，把把 a1、a2、a9这这 9 个数按顺个数按顺 序分为三组序分为三组 a1a2a3、a4a
37、5a6、a7a8a9.下面证明这三组中至少有一组数之和不小于下面证明这三组中至少有一组数之和不小于 17。 因为这三组数之和的总和为因为这三组数之和的总和为：（a1+a2+a3）（a4+a5+a6）+（a7+a8a9）a1+a2+a9 2+3+1054316+6。根据抽屉原理这三组数中至少有一组数之和不小于。根据抽屉原理这三组数中至少有一组数之和不小于 17。 第二种证法中去掉了最小数第二种证法中去掉了最小数 1，其实若去掉，其实若去掉 2、3、4 也可以的，因为也可以的，因为 54=3173，所，所 以用第二种证法还可以得出至少有一组数的和不小于以用第二种证法还可以得出至少有一组数的和不小于
38、 18 的结论，而第一种证法却不能的结论，而第一种证法却不能 得出这个结论。得出这个结论。 此外此外，由于由于 54=318，因此即使第二种证法也不能由抽屉原理得出三组数中至少有一组数的和不小因此即使第二种证法也不能由抽屉原理得出三组数中至少有一组数的和不小 于于 19 的结论的结论.事实上，如右图中所示，划了线的三组数的和都是事实上，如右图中所示，划了线的三组数的和都是 18（并且其他任何三个（并且其他任何三个 相邻数之和都小于相邻数之和都小于 18）。）。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲
39、教师版Page 7 of 9 【前铺】在边长为 3 米的正方形中，任意放入 28 个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的 面积不超过 1 平方米。 分析：将大正方形分成 9 个边长为 1 米的小正方形，则 9 个小正方形为“抽屉”有：28931，则 必有一个小正方形里（上）至少有 314（个）点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，那 么以这 4 个点为顶点的四边行的面积最大为 1 平方米；若有一个点落在正方形的内部，则面积将小于 1 平方米，综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过 1 平方米。 【例【例 1010】（）能否在能否在 10 行行 1
40、0 列的方格表的每个空格中分别填上列的方格表的每个空格中分别填上 1，2，3 这这 3 个数之一，个数之一， 而使大正方形的每行，每列及对角线上的各个数字和互不相同？对你的结论加以说明而使大正方形的每行，每列及对角线上的各个数字和互不相同？对你的结论加以说明. 分析：若每个方格均填分析：若每个方格均填“1” ，则十个数字和最小是，则十个数字和最小是 10； 若每个方格均填若每个方格均填“3” ，则十个数字和最大是，则十个数字和最大是 30. 因为从因为从 10 到到 30 之间只有之间只有 21 个互不相同的整数值，把这个互不相同的整数值，把这 21 互不相同的值作为互不相同的值作为 21 个
41、个“抽屉抽屉” ，而而 10 行、行、10 列及两条对角线上的各个数字和共有列及两条对角线上的各个数字和共有 22 个整数值，这样的元素的个数比抽屉的个数多个整数值，这样的元素的个数比抽屉的个数多 1 个，个， 根据抽屉原理可知，至少有两个数值同属于一个抽屉，即要使大正方形的每行、每列及对角线上的各个根据抽屉原理可知，至少有两个数值同属于一个抽屉，即要使大正方形的每行、每列及对角线上的各个 数字和互不相同是不可能的数字和互不相同是不可能的. 【前铺】用数字 1，2，3，4，5，6 填满一个 66 的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数 字，将每个 22 正方格内的四个数字的和称为这个
42、22 正方格的“标示数”，问：能否给出一种填法， 使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由。 分析：先计算出每个 22 正方格内的四个数字的和最小为：144，最大为：4 624，从 4 到 24 共有 21 个不同的值，即有 21 个“抽屉”；再找出在 66 的方 格表最多有：5525（个）22 正方格的“标示数”，即有 25 个“苹果”。根 据抽屉原理:252114,必有两个“标示数”相同。 【附加选讲】圆上的 100 个点将该圆等分为 100 段等弧，随意将其中的一些点染成红点，要保证至少有 4 个红点是一个正方形的 4 个顶点，问：你至少要染红多少个点？
43、分析：如右图所示，圆的一对直径 AC、BD 互相垂直时，则 ABCD 恰是一个正方 形，反过来，如果圆上的四点 A、B、C、D 恰是一个正方形 ABCD 的四个顶点， 则对角线 AC、BD 恰是该圆的一对互相垂直的的直径。 圆上的 100 个点将该圆等分为 100 段等弧，恰有 25 对互相垂直的直径，由于互 相垂直的直径的 4 个端点恰可以构成 25 个不同的正方形，最不利的情况是：每 对互相垂直的直径的 4 个端点中染红 3 个点，共染红：25375（个）点，此 时我们只要再染红一个点就必定会出现一个正方形的 4 个顶点都是红点，所以 至少要染红：75176(个)点 说明：附加题是图形与抽
44、屉原理的另一种情况，老师您可以根据班级的情况来决定讲附加说明：附加题是图形与抽屉原理的另一种情况，老师您可以根据班级的情况来决定讲附加。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲教师版Page 8 of 9 专题展望专题展望 抽屉原理的结论虽然简单，但这一类题目与数学中数论问题、图形计数、逻辑推理等分支都有结合，抽屉原理的结论虽然简单，但这一类题目与数学中数论问题、图形计数、逻辑推理等分支都有结合， 随着大家对这些数学知识具体的掌握，解决抽屉原理的问题也会更加得心应手。随着大家对这些数学知识具体的掌握
45、，解决抽屉原理的问题也会更加得心应手。 练习九练习九 1、 （） 证明证明： （1）任意任意 32 个人中个人中，至少有至少有 3 个人是在同一个月出生个人是在同一个月出生。 （2）要想保证至少要想保证至少 3 个人是个人是 在同一个月出生，至少有几个人？（在同一个月出生，至少有几个人？（3）要想保证至少）要想保证至少 5 个人是在同一个月出生，但不能保证有个人是在同一个月出生，但不能保证有 6 个个 人是在同一个月出生，那么总人数应该在什么范围内？人是在同一个月出生，那么总人数应该在什么范围内？ 分析分析： （1）把把 12 个月看作个月看作 12 个抽屉个抽屉，3212122 28 8，由
46、抽屉原理由抽屉原理，至少有至少有 3 3 个人个人是在同一个月出生是在同一个月出生。 （2）要保证有至少）要保证有至少 3 个人是在同一个月出生，总人数最少为：个人是在同一个月出生，总人数最少为：2 212121 12525（人）（人） （3）要保证有至少要保证有至少 5 个人是在同一个月出生个人是在同一个月出生，总人数最少为总人数最少为：4 412121 14949（人人） ，不能保证有不能保证有 6 6 个人个人是在同一个月出生是在同一个月出生的最多人数为：的最多人数为：5 512126060（人（人） ，所以总人数应该在，所以总人数应该在 4949 人到人到 6060 人的人的 范围内。
47、范围内。 2、 （） 布袋中有布袋中有 5 5 种不同颜色的小球共种不同颜色的小球共 6060 个个，其中每种颜色各有其中每种颜色各有 1212 个个，问问：一次至少要取出多一次至少要取出多 少个小球，才能保证其中至少有少个小球，才能保证其中至少有 5 5 个小球的颜色相同？个小球的颜色相同？ 分析：将分析：将 5 5 种颜色看作种颜色看作 5 5 个抽屉，要保证一个抽屉中至少有个抽屉，要保证一个抽屉中至少有 5 5 个苹果，最个苹果，最“坏坏”的情况是每个抽屉里的情况是每个抽屉里有有 4 4 个个“苹果苹果”，共有共有：5 54 42020，再取再取 1 1 个就能满足要求个就能满足要求，所
48、以所以一次至少要取出一次至少要取出 2121 个小球个小球，才能保证其才能保证其 中至少有中至少有 5 5 个小球的颜色相同个小球的颜色相同. . 3、 （） 52 张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花 4 种花色各种花色各 13 张，问：张，问： 至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少 2 张。张。 至少从中取出几张牌，才能保证有花色相同的牌至少至少从中取出几张牌，才能保证有花色相同的牌至少 5 张。张。 至少从中取出几张牌，才能保证有至少从中取出几张牌，才能保证有 4 种花色的牌。种花色的牌。 至少从中取
49、出几张牌，才能保证至少有至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张梅花牌和张梅花牌和 3 张红桃。张红桃。 至少从中取出几张牌，才能保证至少有至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张牌的数码（或字母）相同。张牌的数码（或字母）相同。 分析分析：.5 张张； 17 张张； 40 张张；因为每种花色有因为每种花色有 13 张牌张牌.若考虑最若考虑最“坏坏”的情况的情况，即摸出方块和即摸出方块和 黑桃两种花色的所有牌共计：黑桃两种花色的所有牌共计：132=26，然后是摸出所有的梅花和，然后是摸出所有的梅花和 3 张红桃（想想若摸出所有的红桃张红桃（想想若摸出所有的红桃和和 2 张梅花，是最坏的情况
50、么？），共计：张梅花，是最坏的情况么？），共计：2613133=42 张；张； 14 张。张。 4、 （）体育用品的仓库里有许多足球体育用品的仓库里有许多足球，排球和篮球排球和篮球，有有 6666 个同学来仓库拿球个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿要求每个人至少拿 一个最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？一个最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？ 分析：拿球配组的方式为抽屉，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共分析：拿球配组的方式为抽屉，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共 9 9 种情况，即有种情况
