1、第四十二讲：空间几何体的结构及其表面积、体积第四十二讲：空间几何体的结构及其表面积、体积 【学习目标学习目标】 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征； 2. 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图会用斜二测画法画出他们的直观图； 3. 了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式。 【重点、难点重点、难点】 重点：认知空间几何体的结构特征； 难点：了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积计算公式。 【知识梳理知识梳理】 1 1、简单多面体的结构特征、简单多面体的结构特征 （1）棱柱的侧棱都，上下底面是的多边形； （2）棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个的三角形； （3）棱台可
2、由的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形. 2 2、旋转体的形成、旋转体的形成 几何体旋转图形旋转轴 圆柱矩形所在的直线 圆锥直角三角形所在的直线 圆台直角梯形所在的直线 球半圆所在的直线 3 3、直观图、直观图 斜二测画法： （1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中 x 轴、 y 轴的夹角为 o 45（或 o 135） ， z 轴与 x 轴和 y 轴所在平面. （2）原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍，平行于x轴和z轴 的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段在直观图中长度为. 4 4、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆
3、柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式 =2Srl 圆柱侧 =Srl 圆锥侧 =+ )Sr r l 圆台侧 （ 5 5、柱体、椎体、台体和球的表面积和体积、柱体、椎体、台体和球的表面积和体积 几何体表面积体积 柱体 （棱柱和圆柱） 底侧表面积 SSS2 V 椎体 （棱锥和圆锥） 底侧表面积 SSS V 台体 （棱台和圆台）下上侧表面积 SSSS hSSSSV)( 3 1 下上下上 球 S 3 3 4 RV 【典题分析典题分析】 题型题型 1 1：空间几何体的结构特征：空间几何体的结构特征 例 1 给出下列命题： （1）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； （2）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，
4、则其三个侧面也两两垂直； （3）在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； （4）存在每个面都是直角三角形的四面体； （5）棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的个数为（） A. 2B. 3C. 4D. 5 【方法规律】【方法规律】 （1）定义法：根据几何体定义进行判断。 （2）反例法 . 【题组练习】 1、给出下列命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。 其中正确命题
5、的个数是() A、0B、1C、2D、3 2、如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后 水槽中的水形成的几何体是() A棱柱B棱台C棱柱与棱锥的组合体D不能确定 题型题型 2 2：空间几何体的直观图、侧面展开图：空间几何体的直观图、侧面展开图 例 2 （1）已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图CBA的面积为（） A. 2 4 3 aB. 2 8 3 aC. 2 8 6 aD. 2 16 6 a （2）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图.圆柱表 面上的点M在正视图上对应点为A，圆柱表面上的点N在左 视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N
6、的路径 中，最短路径的长度为（） A.172B.52C. 3D.2 【方法规律】【方法规律】 1.直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解；二是直接 套用等量关系 原图形直观图 SS 4 2 ；2.解决空间几何体面积上两点距离的最短问题，常借助其 侧面展开图。 【题组练习】 1、 如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为 1 的等 腰梯形，那么这个平面图形的面积是() 212 .1.12.22. 222 ABCD 2、如图，矩形OABC 是水平放置的一个平面图形的直观 图，其中6OAcm ，2OCcm ，则原图形是（） A正方形B矩形 C菱形D一般
7、的平行四边形 3、如图是某圆锥的三视图，A，B 为圆锥表面上两点在正视图中的 位置，其中 B 为所在边中点，则在该圆锥侧面上 A，B 两点最短的 路径长度为（） A5B6C3D3 4、如图，底面半径为 1，高为 2 的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 题型题型 3 3：空间几何体的表面积：空间几何体的表面积 例 3 （1）如图，直角梯形ABCD中，DCAD ,BCAD/, 222ADCDBC，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体 的表面积为. （2）若正四棱锥的底面边长和高都为 2，其表面积为. （3） 圆台的上、 下底面半
8、径分别是 10cm和 20cm， 它的侧面展开图的扇环的圆心角是 o 180， 那么圆台的表面积为 2 cm（结果中保留） 【方法规律【方法规律】（1）旋转体的表面积分割为圆锥的侧面积与圆柱的侧面积及底面积之和； （2） 多面体侧面积的问题关键是找到其特征几何图形； （3）圆台的侧面积问题，采用了还原成圆 锥的思想. 【题组练习】 1、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是() A3B3 3C6D9 2、已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 7 8 ，SA与圆锥底面所成角为 45， 若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_ 3、（多选题） 已知四棱
9、台1111 ABCDABC D 的上下底面均为正方形， 其中 2 2AB ， 11 2AB ， 111 2AABBCC ，则下述正确的是（） A该四棱台的高为3B 11 AACC C该四棱台的表面积为 26 D该四棱台外接球的表面积为16 题型题型 4 4：空间几何体的体积：空间几何体的体积 例 4 （1）如图所示，正三棱柱 111 CBAABC的底面边长为 2，侧棱长为3，D为BC中点， 则三棱锥 11DC BA的体积为（） A. 3B. 2 3 C. 1D. 2 3 （2）如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB,AC,AD两两互相 垂 直 ， 平 面/ABC平 面DEFG， 平 面/B
10、EF平 面ADGC， 2DGADAB，1 EFAC，则该多面体的体积为 【方法规律】【方法规律】 处理体积问题的思路： （1） “转” ：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将 原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高； （2） “拆” ：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算； （3） “拼” ：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱， 将一个三棱柱复原成一个三棱柱，这些都是拼补的方法。 【题组练习】 1、 如图长方体 1111 DCBAABCD的体积是 120，E是 1 CC的中点， 则三棱锥BCDE 的体积是
11、. 2、一个几何体的三视图如图，其正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半 圆，则该几何体的体积是() A 4 3 3 B 1 2 C 3 3 D 3 6 2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A. 2 3 B C 4 3 D 5 3 题型题型 5 5：与球有关的切、接问题：与球有关的切、接问题 例 4 （1）已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内切球的表面积为（） A.B. 2 3 C.2D.3 （2）已知三棱锥ABCP的三条侧棱两两互相垂直，且5AB，7BC，2AC，则 此三棱锥的外接球的体积为（） A. 3 8 B. 3 28 C. 3 1
12、6 D. 3 32 （3）已知直三棱柱 111 CBAABC的各顶点都在以O为球心的球面上，且 4 3 BAC， 2 1 BCAA，则球O的体积为（） A.34B.8C.12D.20 【方法规律】【方法规律】 与球有关的切、接问题的解法： （1）旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平 面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. （2）多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解. 若球面上四点CBAP,中PCPBPA,两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长 方体或正方体，利用 222 2cbaR求R
13、. 一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱锥.先借助几何体的几何特征确定球心 位置，然后把半径放在直角三角形中求解. 【题组练习】 1、三棱锥PABC中，15ABBC，6AC ，PC 平面ABC，2PC ，则该三棱锥 的外接球表面积为_ 2、（多选题） 己知正三棱锥P ABC的底面边长为 1， 点P到底面ABC的距离为 2， 则 （ ） A该三棱锥的内切球半径为 2 6 B该三棱锥外接球半径为 7 2 12 C该三棱锥体积为 2 12 DAB与PC所成的角为 2 3、如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD底面ABCD，且 mPD ，mPCPA2，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是.
