1、第第 1 页页 共共 25 页页 全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全 高等数学公式 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 导数公式： 基本积分表： ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx
2、 Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n
3、 n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 第第 2 页页 共共 25 页页 三角函数的有理式积分： 三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1
4、2 sin u du dx x tgu u u x u u x ， 一些初等函数： 两个重要极限： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： 诱导公式： 三角函数公式： 诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90 - cos sin ctg tg 90 + cos -sin -ctg -tg 180 - sin -cos -tg -ctg 180 + -sin -cos tg ctg 270 - -cos -sin ctg tg 270 + -cos sin -ctg -tg 360 - -sin cos -tg -ctg 360
5、 + sin cos tg ctg 和差角公式： 和差化积公式： 和差角公式： 和差化积公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2
6、 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 .590457182818284. 2) 1 1 (lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 3 页页 共共 25 页页 倍角公式： 倍角公式： 半角公式： 半角公式： cos1 sin sin cos1
7、cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理：正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理：余弦定理：Cabbaccos2 222 反三角函数性质：反三角函数性质：arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( )( nkknnnn n k kknk n n uv
8、vu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值定理与导数应用： 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf )(F )( )( )()( )()( )()()( 曲率： 曲率： . 1 ; 0 . )1 ( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式： 定积分的近似计算： 定积分的近似计算： 2 3 3
9、3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 4 页页 共共 25 页页 b
10、 a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf )(4)(2)( 3 )( )( 2 1 )( )()( 1312420 110 110 抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式： 定积分应用相关公式： b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数： 空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之
11、间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间 ,cos)( .sin, cos ,cos PrPr)(Pr ,cosPr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资
12、资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 5 页页 共共 25 页页 （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 , 22 2 11 ;, 13 02 ),(,0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
13、 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v
14、dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz ，隐函数 ，隐函数 隐函数的求导公式： 时，当 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 全微分： 0),( )()(0),( ),(),( ),(),( )(),( ),(),( 2 2 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不
15、 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 6 页页 共共 25 页页 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),( 0),( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： 微分法在几何上的应用： ),(),(),(
16、3 0)(,()(,()(,(2 ),(),(),(1 ),(0),( , 0),( 0),( 0)()()( )()()( ),( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz
17、 xz zy zy 、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线 方向导数与梯度：方向导数与梯度： 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),(
18、 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 7 页页 共共 25 页页 不确定时 值时，无极 为极小值 为极大值 时， 则： ，令：设 ,0 0 ),( , 0 ),( , 0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000
19、BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用： 重积分及其应用： D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 )( ),( )( ),( )( ),( ,)0(), 0 , 0( )
20、,(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),( ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心： 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r )()()( 1 , 1 , 1 sin),(sin),(),( sinsin cos s
21、insin cossin ),sin,cos(),( ,),(),(,sin cos 222222 2 00 ),( 0 22 2 ，转动惯量： ，其中重心： ，球面坐标： 其中： 柱面坐标： 曲线积分：曲线积分： 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 8 页页 共共 25 页页 )( )()()()(),(
22、),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L 特殊情况： 则：的参数方程为：上连续，在设 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧 。，通常设 的全微分，其中：才是二元函数时，在 ：二元函数的全微分求积 注意方向相反！减去对此奇点的积分， ，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、 是一个单连通区域；、 无关的条件：平面上曲线积分与路径 的面积：时，得到，即：当 格林公式：格林公式： 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关 ，则：的参数方程为设 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐 0),()
23、,(),( ),( )0 , 0(),(),(2 1 2 1 2, )()( )coscos( )()(),()()(),(),(),( )( )( 00 ),( ),( 00 yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx DL DLDL LL L 曲面积分： 曲面积分： dsRQPRdxdyQdzdxPdydz d
24、zdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx )coscoscos( ),(,),( ,),(),( ),(,),( ),(),(),( ),(),(1),(,),( 22 系：两类曲面积分之间的关 号。，取曲面的右侧时取正 号；，取曲面的前侧时取正 号；，取曲面的上侧时取正 ，其中：对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分： 高斯公式：高斯公式： 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童
25、鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 9 页页 共共 25 页页 dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n div )coscoscos( ., 0div,div )coscoscos()( 成：因此，高斯公式又可写 ，通量： 则为消失的流体质量，若即：
26、单位体积内所产生散度： 通量与散度：高斯公式的物理意义 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 的环流量：沿有向闭曲线向量场 旋度： ，关的条件：空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成： kji rot coscoscos )()()( 常数项级数： 常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列：
27、n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 ) 1( 321 1 1 1 12 级数审敛法： 级数审敛法： 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 10 页页 共共 25 页页 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确
28、定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数 11 1 3214321 , 0lim )0,( nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛： 绝对收敛与条件收敛： 时收敛 时发散 级数： 收敛；级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为
29、绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 ) 1(1 ) 1 () 1 ()2( ) 1 ()2( )2( ) 1 ( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数： 幂级数： 0 0 1 0 )3(lim )3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于
30、级数 时，发散 时，收敛于 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 11 页页 共共 25 页页 函数展开成幂级数：函数展开成幂级数： n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf ! )0( ! 2 )0( )0()0(
31、)(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )( )( ! 2 )( )()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式： 充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项： 函数展开成泰勒级数： 一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数： )( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin ) 11( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 欧拉公式： 欧拉公式： 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x x
32、ixe或 三角级数： 三角级数： 。上的积分 在任意两个不同项的乘积正交性： 。，其中， 0 ,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1 cossin )sincos( 2 )sin()( 00 1 0 1 0 nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数： 傅立叶级数： 是偶函数，余弦级数： 是奇函数，正弦级数： （相减） （相加） 其中 ，周期 nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos
33、 2 )(2 , 1 , 0cos)( 2 0 sin)(3 , 2 , 1nsin)( 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0 周期为周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数： 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q
34、 QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 12 页页 共共 25 页页 l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 1 0 其中 ，周期 微分方程的相关概念：微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，则设 的函数，解法：，即写成程可以写
35、成齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。得： 的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或一阶微分方程： u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy )( )( ),(),( )()()()( )()( 0),(),(),( 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程： ) 1 , 0()()(2 )(0)( ,0)( )()(1 )()( )( nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy
36、 n dxxPdxxP dxxP ，、贝努力方程： 时，为非齐次方程，当 为齐次方程，时当 、一阶线性微分方程： 全微分方程：全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的 ，其中： 分方程，即：中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP ),( ),(),(0),(),(),( 0),(),( 二阶微分方程：二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()( 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 21 22
37、 ,)(2 ,(*)0)(1 ,0(*) rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根、求出 的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程： 求解步骤： 为常数；，其中 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 13 页页 共共 25 页页 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3 21
38、rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根)04( 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根)04( 2 qp xr exccy 1 )( 21 一对共轭复根)04( 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir ， ， )sincos( 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型， 为常数， sin)(cos)()( )()( ,)( xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资
39、资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 14 页页 共共 25 页页 线性代数部分线性代数部分 1、行列式 1. n行列式共有 2 n个元素，展开后有!n项项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： 、 ij A和 ij a的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1)
40、ijij ijijijij MAAM 4. 设n行列式D： 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 1 D，则 (1) 2 1 ( 1) n n DD ； 将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为 2 D，则 (1) 2 2 ( 1) n n DD ； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为 3 D，则 3 DD； 将D主副角线翻转后，所得行列式为 4 D，则 4 DD； 5. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积 (1) 2 ( 1) n n ； 、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 (1) 2 ( 1
41、) n n ； 、拉普拉斯展开式： AOAC A B CBOB 、( 1)m n CAOA A B BOBC 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值； 6. 对于n阶行列式A，恒有： 1 ( 1) n nkn k k k EAS ，其中 k S为k阶主子式； 7. 证明0A 的方法： 、AA ； 、反证法； 、构造齐次方程组0Ax ，证明其有非零解； 、利用秩，证明( )r An； 、证明 0 是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更
42、更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 15 页页 共共 25 页页 0A （是非奇异矩阵）； ( )r An（是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组0Ax 有非零解； n bR ，Axb总有唯一解； A与E等价； A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为 0； T A A是正定矩阵； A的行（列）向量组是 n R的一组基； A是 n R中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n阶矩阵A： * AAA AA E 无条件恒无条件恒
43、成立； 3. 1 *111* ()()()()()() TTTT AAAAAA *111 ()()() TTT ABB AABB AABB A 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： 若 1 2 s A A A A ，则： 、 12s AA AA； 、 1 1 1 12 1 s A A A A ； 、 1 1 1 AOAO OBOB ；（主对角分块） 、 1 1 1 OAOB BOAO ；（副对角分块） 、 1 111 1 ACAA CB OBOB ；（拉普拉斯） 、 1 1 111 AOAO CBB CAB ；（
44、拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： r m n EO F OO ； 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 16 页页 共共 25 页页 等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对
45、于同型矩阵A、B，若( )( )r Ar BAB； 2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非 0 元素必须为 1； 、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 、若(,)(,) r A EE X ，则A可逆，且 1 XA； 、对矩阵( ,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成 1 A B ，即： 1 ( ,)( ,) c A BE A B ； 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果( , )( , ) r A bE x，则A可逆，且 1 xA b ； 4. 初等矩阵和对角矩阵的
46、概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 、 1 2 n ，左乘矩阵A， i 乘A的各行元素；右乘， i 乘A的各列元素； 、对调两行或两列，符号( , )E i j，且 1 ( , )( , )E i jE i j ，例如： 1 11 11 11 ； 、倍乘某行或某列，符号( ( )E i k，且 1 1 ( ( )( ( )E i kE i k ，例如： 11 1 1 (0) 1 1 kk k ； 、倍加某行或某列，符号( ( )E ij k,且 1 ( ( )( ()E ij kE ijk ，如： 1 11 11(0) 11 kk k ；
47、5. 矩阵秩的基本性质： 、0()min( , ) m n r Am n ； 、()( ) T r Ar A； 、若AB，则( )( )r Ar B； 、若P、Q可逆，则( )()()()r Ar PAr AQr PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩） 、max( ( ), ( )( ,)( )( )r A r Br A Br Ar B；（） 、()( )( )r ABr Ar B；（） 、()min( ( ), ( )r ABr A r B；（） 、如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且0AB ，则：（） 、B的列列向量全部是齐次方程组0AX 解（转置运算后的结论）； 、(
48、 )( )r Ar Bn 、若A、B均为n阶方阵，则()( )( )r ABr Ar Bn； 报报考考中中科科大大软软件件工工程程的的童童鞋鞋请请加加中中科科大大软软院院考考研研资资料料群群，资资料料都都是是免免费费的的，不不 断断更更新新，Q QQ Q 群群：3 32 29 98 85 52 25 58 81 1 报报考考问问题题分分析析请请联联系系学学长长 QQ：1905496136 微信公众号：KK资料库 第第 17 页页 共共 25 页页 6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）列矩阵（向量）行矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； 、型如
49、 1 01 001 ac b 的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式： 0111111 0 () n nnnmn mmnnnnmmn m nnnnnn m abC aC abC abCa bC bC a b ； 注：、()nab展开后有1n项； 、 0 (1)(1)! 1 1 2 3!()! mn nnn n nnmn CCC mm nm 、组合的性质： 11 11 0 2 n mn mmmmrnrr nnnnnnnn r CCCCCCrCnC； 、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： 、伴随矩阵的秩： * ( ) ()1( )1 0( )1 nr An r Ar An r An ； 、伴
50、随矩阵的特征值： *1* (,) AA AXX AA AA XX ； 、 *1 AA A、 1 * n AA 8. 关于A矩阵秩的描述： 、( )r An，A中有n阶子式不为 0，1n阶子式全部为 0；（两句话） 、( )r An，A中有n阶子式全部为 0； 、( )r An，A中有n阶子式不为 0； 9. 线性方程组：Axb，其中A为m n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程； 10. 线性方程组Axb的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解；
