1、马鞍山市马鞍山市 2021 年高三第二次教学质量监测年高三第二次教学质量监测 理科数学试题理科数学试题 本试卷 4 页，满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右 上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液
2、，不按以 上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整沽，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1.已知集合 M=y|y=-x2,xR,N=x|-10)的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点，线段 AF,BF 的中点在 y 轴上 的射影分别为点 M,N,若AFM 与BFN 的面积之比为 4,则直线 AB 的斜率为 A. 1B. 2 C. 2D. 2 2 12.已知 a0,b0,下
3、列说法错误的是 A.若 0abb C.ab+ba1 恒成立D.a(0,1),使得 ae-a= 1 1 a e a 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知平面向量 a=(1, 2),b=(3,),若 a/(a-b),则实数的值为 . 14.设变量 x,y 满足 10, 30, 230. xy xy xy 则目标函数 z=3x+2y 的最小值为. 15.曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的 弯曲程度越小。已知椭圆 C: 22 22 xy ab 1(ab0)上点 P(xo,y0)处的曲率半
4、径公式为 R=a2b2 322 00 44 2 () . xy ab 若椭圆 C 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的 8 倍，则椭圆 C 的 离心率为. 16.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段 长叫做球缺的高，球缺的体积公式 V= 2 (3) 3 Rh h ,其中 R为球的半径，h 为球缺的高若一 球与一所有棱长为 6 的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积 为. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每
5、个试题考生都必须做答第每个试题考生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17.(12分） 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=5,且 an+1an=4Sn-1(nN*). （1)求数列an的通项公式； （2)记数列 1 1 nn a a 的前 n 项和为 Tn.若*nN ,Tn-m2+2m(m 为奇数），求 m 的值 18.(12分） 如图，六面体 ABCDEFG 中，BE1 面 ABC 且 BE面 DEFG, DG/EF,ED=DG=GF=1, AB=BC=CA=EF=2. （1)求证：DF
6、平面 ABED; （2)若二面角 A-DG-E 的余弦值为 57 19 ，求点 C 到面 BDF 的距离。 19.(12分） 为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布长江十年禁渔计划某市为了解 决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点、汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由 选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业。政府对提供培训的机构有不同的补贴政策： 面点培训每天 200元人，汽修培训每天 300 元人若渔民甲当天选择了某种职业培训，第 二天他会有 0.4 的可能性换另一种职业培训假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择 的是汽修培训，第 i天选择汽修培训的概率是 pi
7、(i=1,2,3,.,7). （1)求 P3; （2)证明：pi-0.5(i=1,2,3,7)为等比数列； （3)试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望（0.27近似看作 0). 20.(12分） 已知双曲线 2 2 2 y x b 1(b1)的左焦点为 F,右顶点为 A,过点 F 向双曲线的一条渐近线作垂 线，垂足为 P,直线 AP 与双曲线的左支交于点 B. （1)设 O为坐标原点，求线段 OP 的长度； （2)求证：PF 平分BFA. 21.(12分） 已知函数 f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x+a,其中 a为常数， （1)当 a=0 时，求 f(x)的极值； （
8、2)当 a 1 2 时，求证：对x1x2,且 x1,x2(0,+ ),不等式 112 221 ln(1)ln ln(1)ln xxxa xxxa 恒成立. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分 22.选修 4-4:坐标系与参数方程（10 分） x=1+cost-J3sint 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 1cos3sin 1 sin3cos xtt ytt （t为参数），以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极
9、坐标方程为=(R, 0,),且直线 C2与曲线 C1交于 A,B 两点 （1)求曲线 C1的极坐标方程； （2)当|AB|最小时，求的值 23.选修 4-5:不等式选讲（10 分） 已知函数 f(x)=|x+4|+|x|. （1)解不等式 f(2x-1)6; （2)记函数 f(x)的最小值为 a,且 m2+n2= 4 a ,其中 m,n 均为正实数，求证： 33 . 4 mna nm 2021年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测 理科数学理科数学参考答案参考答案 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 题号1234
10、56789101112 答案CABDCABDABDD 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 133 2 14815 3 2 16(28 6 54) 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共 60 分 17 【解析】 （1）设数列 n a 的公差为d，令 2n ，则 232 41a aS ，由 3 5a ， 得5(5 )4(103 )1dd2d（4分） 21 n an （6分） （2） 1 11111 () (21)(21)2 2121 nn
11、 a annnn 11 (1) 221 n S n ，可知 1 2 n S 恒成立， （9 分） 2 1 20 2 mm 22 1,1 22 m，（11分） 又m是奇数，所以 1m （12分） 18 【解析】 （1）因为BE 面ABC且BE 面DEFG，所以DEBE且ABBE， 于是，在面ABDE中，DEAB，同理，EFBC，所以60DEFABC， 又2EFDE，所以DFDE，由BE 面DEFG知DFBE， 因此，DF 面ABED（6分） （2）取AB中点O，由题可知，DEOB且DEOB，所以四边形OBED为平行四边 形，所以ODBE，于是OD面ABC，又 ABC 为正三角形，所以 ,OC O
12、A OD两两垂 直 （7分） 以O为坐标原点，,OC OA OD分别为, ,x y z正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 设(0)BEa a，则 3 1 (0,0,0), (0,1,0), (0, 1,0), ( 3,0,0),(0,0, ),(, ),( 3,0, ) 22 OABCDa Ga Ft， 设面ADG的法向量为 1 ( , , )nx y z ，则有： 1 1 ( , , ) (0, 1, )0 3 131 ( , , ) (,0)0 2222 nADx y zayaz nDGx y zxy ，不妨设3z 得 1 (, 3 , 3)naa 又BE与面DEFG垂直，故面DEFG的
13、法向量不妨设为 2 (0,0,1)n ， 由 12 12 2 12 |357 |cos,| 19| | 43 n n n n nn a ，解得2a 设面BDF的法向量为( , , )nx y z ，则有： ( , , ) (0,1,2)20 ( , , ) ( 3,0,0)30 n BDx y zyz n DFx y zx ，不妨设2y 得(0,2, 1)n （10分） 于是，点C到面BDF的距离 |22 5 5|5 CF n d n （12分） 19 【解析】 （1） 1 1p ， 2 0 6p. ， 3 0 60 60 40 40 52p. （3 分） （2）当第1i 天选择汽修培训时，第
14、i天选择汽修培训的概率为 1 0 6 i . p 当第1i 天选择面点培训时，第i天选择汽修培训的概率为 1 0 4 1 i .p 则 111 0 60 4 10 20 4 iiii p. p.p. p. ，而 1 0 50 20 5 ii p.p. 所以 0 5 i p. 是以 0.5为首项，0.2为公比的等比数列（8分） （3）设第i天政府的补贴费为 i a，则300200 1100200 iiii appp 而 1 0 5 0 20 5 n i p. ， 11 100 0 5 0 20 520050 0 2250 ii i a. 一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为 127
15、 aaa 7 10 2 250 750 10 2 . . 1812 5 . 元（12分） 20 【解析】 （1）不妨设P在第二象限，则渐近线OP的方程为ybx ，于是直线PF的方程 为 1 ()yxc b ，联立得 2 1 1 P c x bc ，于是 1 (, ) b P c c ， 2 22 2 11 |()( )1 bb OP ccc ； （5 分） （2）设直线PF的倾斜角为，则 1 tan b ， 22 2tan2 tan2 1tan1 b b ，（6分） 又(1,0)A，所以直线AP的斜率为 1 1 1 b b c c c ，直线AP的方程为(1) 1 b yx c ， 与双曲线联
16、立得： 222 (2 )2(22)0cc xxcc， 于是 2 2 22 2 BAB cc xx x cc ， 2 2 (1) (1) 12 BB bb c yx ccc ，又(,0)Fc，（9分） 因此直线BF的斜率为 2 23222 2 2 (1) 2 (1)22 2 tan2 222221 2 B B b c yb cbb cc ccxcccccb c cc ，（11分） 故PF平分BFA（12分） 21 【解析】 （1）当 0a 时， ( )lnf xxxx ， ( )lnfxx ，当 (0,1)x 时， 0fx ，即 f x 在(0,1)上单调减；当 (1,)x 时， 0fx ，即
17、f x 在(1, ) 上单调增（3 分） ( )f x 的极小值为 11f ，无极大值（5 分） （2）根据题意，要证明对 12 ,(0,)x x，且 12 xx ， 112 221 ln(1)ln ln(1)ln xxxa xxxa 等价于证 明12 12 11 ()ln(1)()ln(1)xaxa xx 设 1 ( )()ln(1)g xxa x ，由单调性的定义得要证明 原不等式等价于证明 1 ( )()ln(1)g xxa x 在(0, ) 上单调递减（6分） 即证 2 1 ( )ln(1)0 xa g x xxx 在(0, ) 上恒成立，即证 2 1 ln(1) xa xxx ， 1
18、 2 a， 1 2 22 xxa xxxx 只需证明 1 2 2 ln(1) x x xx 等价于证明 1 2 2 1 ln(1)0 x xxx （8分） 设 1 2 2 1 ( )ln(1)(0) x h xx xxx ，令 1 1t x ，则1t ， 2 1 ( )( )ln 2 t h xg tt t ， 只需证当1t 时， ( )0g t （10分） 因为 2 2 1 ( )0 2 t g t t ，所以 ( )g t 单调递减，所以 ( )(1)0g tg ，故原不等式成立 （12 分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答如
19、果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分 22 【解析】（1）由题， 12cos() 3 12sin() 3 xt yt ，故 22 (1)(1)4xy，即 22 2220 xyxy， 则 2 2 cos2 sin20，即 2 2 2 sin()20 4 （5分） （2）法一：设 12 (, ), (, )AB ，由（1）， 12 2 2sin() 4 ， 12 2 则 2222 121212 |()()48sin ()88 4 AB ， 当且仅当sin()0 4 时，|AB最小，此时， 4 k （kZ） 因为0, )，故 3 4 （10分） 法二：设圆心
20、1 C到直线 2 C的距离为d，则 2 | 2 4ABd， 又 1 |2dOC，当且仅当 1 OC与直线 2 C垂直时等号成立，此时|AB最小， 因为 1 4 COx ，0, )，故 3 4 （10分） 23【解析】（1）令( )(21) |23|21|g xfxxx， 当 3 2 x 时，( )(23)(21)4262g xxxxx ，则 3 2 2 x 当 31 22 x时，( )(23)(21)46g xxx，则 31 22 x 当 1 2 x 时，( )(23)(21)4261g xxxxx，则 1 1 2 x 综上：不等式的解集为 2,1.（5分） （2）因为 ( ) |4| |4| 4f xxxxx ，则4a ， 22 1mn 则 33442222222 ()2121 2 mnmnmnm nm n mn nmmnmnmnmn 又 22 12mnmn（当且仅当 2 2 mn时取等号），则 1 0 2 mn ， 则 1 221 1mn mn ，故得证 （10分）
