1、第四讲第四讲 不不 等等 式式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法高中阶段将进一步学习一 元二次不等式和分式不等式等知识本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识 一、一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式及其解法 1形如 2 0(0) (0)axbxca或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式 【例【例 1】解不等式 2 60 xx 分析：分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 - 正正(负负)得正、正负得负”的原 则，将其转化为一元一次不等式组 解：解：原不等式可以化为：(3)(2)0 xx， 于是： 30 20 x x 或 30 20 x x 33 32
2、 22 xx xx xx 或或 所以，原不等式的解是32xx 或 说明说明：当把一元二次不等式化为 2 0(0)axbxc或的形式后，只要左边可以分解为两 个一次因式，即可运用本题的解法 【例【例 2】解下列不等式： (1)(2)(3)6xx(2)(1)(2)(2)(21)xxxx 分析：分析：要先将不等式化为 2 0(0)axbxc或的形式，通常使二次项系数为正数 解：解：(1) 原不等式可化为： 2 120 xx，即(3)(4)0 xx 于是： 3030 34 4040 xx x xx 或 所以原不等式的解是34x (2) 原不等式可化为： 2 40 xx，即 2 40(4)0 xxx x
3、 于是： 00 04 4040 xx xx xx 或或 所以原不等式的解是04xx或 2 一元二次不等式 2 0(0)axbxc或与二次函数 2 (0)yaxbxca及一元二 次方程 2 0axbxc的关系(简称：三个二次) 以二次函数 2 6yxx为例： (1) 作出图象； (2) 根据图象容易看到，图象与x轴的交点是( 3,0),(2,0)，即 当32x 或时，0y 就是说对应的一元二次方程 2 60 xx 的两实根是32x 或 (3) 当32xx 或时，0y ，对应图像位于x轴的上方就 是说 2 60 xx的解是32xx 或 当32x 时，0y ，对应图像位于x轴的下方就是说 2 60
4、xx的解是 32x 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象 如果图象与x轴有两个交点 12 (,0),(,0)xx，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数 根 12 ,x x(也可由根的判别式0 来判断) 那么(图 1)： 2 12 0 (0) axbxcaxxxx或 2 12 0 (0) axbxcaxxx 如果图象与x轴只有一个交点(,0) 2 b a ，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 2 2 x b xx a (也可由根的判别式0 来判断) 那么(图 2)： 2 0 (0)
5、2 b axbxcax a 2 0 (0) axbxca无解 如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式 0 来判断) 那么(图 3)： 2 0 (0) axbxcax取一切实数 2 0 (0) axbxca无解 如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根 12 ,x x那么“0”型的解为 12 xxxx或(俗称两根之外)；“0”型的解为 12 xxx(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成 2 22 4 () 24 bacb axbxca
6、 x aa ，结合完全 平方式为非负数的性质求解 【例【例 3】解下列不等式： (1) 2 280 xx(2) 2 440 xx(3) 2 20 xx 解：解：(1) 不等式可化为(2)(4)0 xx 不等式的解是24x (2) 不等式可化为 2 (2)0 x 不等式的解是2x (3) 不等式可化为 2 17 ()0 24 x 【例【例 4】已知对于任意实数x， 2 2kxxk恒为正数，求实数k的取值范围 解：解：显然0k 不合题意，于是： 222 000 1 11( 2)4010 kkk k kkkk 或 【例【例 5】已知关于x的不等式 22 (1)30kxkx的解为13k ，求k的值 分
7、析分析：对应的一元二次方程的根是1和3，且对应的二次函数的图象开口向上根据一元二 次方程根与系数的关系可以求解 解：解：由题意得： 2 0 1 131 3 ( 1) 3 k k k k k 说明：说明：本例也可以根据方程有两根1和3，用代入法得： 22 ( 1)(1)( 1)30kk， 22 33(1)30kk，且注意0k ，从而1k 二、简单分式不等式的解法二、简单分式不等式的解法 【例【例 6】解下列不等式： (1) 23 0 1 x x (2) 2 3 0 1 x xx 分析：分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式 组处理；或者因为两个数(式
8、)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化 为整式不等式求解 (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数 解：解：(1) 解法(一) 原不等式可化为： 33 230230 3 122 10102 11 xxxx x xx xx 或或 解法(二) 原不等式可化为： 3 (23)(1)01 2 xxx (2) 22 13 1()0 24 xxx 原不等式可化为：303xx 【例【例 7】解不等式 1 3 2x 解：解：原不等式可化为： (35)(2)0 135355 30002 202223 xx xx xx xxxx 或 说明：说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先
9、将右端变为 0 (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 22 2020 15 32 55 3(2)13(2)123 33 xx xx xx xxxxx 或或或 三、含有字母系数的一元二次不等式三、含有字母系数的一元二次不等式 一元一次不等式最终可以化为 (0)axb a的形式 (1) 当0a 时，不等式的解为： b x a ； (2) 当0a 时，不等式的解为： b x a ； (3) 当0a 时，不等式化为：0 xb； 若0b ，则不等式的解是全体实数； 若0b ，则不等式无解 【例【例 8】求关于x的不等式 2 22m xmxm的解 解：解：原不等式可化为：(2)2m mx
10、m (1) 当202mm即时，1mx ，不等式的解为 1 x m ； (2) 当202mm即时，1mx 02m时，不等式的解为 1 x m ； 0m 时，不等式的解为 1 x m ； 0m 时，不等式的解为全体实数 (3) 当202mm即时，不等式无解 综上所述：当0m 或2m 时，不等式的解为 1 x m ；当02m时，不等式的解为 1 x m ；当0m 时，不等式的解为全体实数；当2m 时，不等式无解 练：练：解不等式（1） 22 210 xaxa （2） 2 10axxax 【例【例 9】已知关于x的不等式 2 2kkxx的解为 1 2 x ，求实数k的值 分析：分析：将不等式整理成ax
11、b的形式，可以考虑只有当0a 时，才有形如 b x a 的解，从 而令 1 2 b a 解：解：原不等式可化为： 2 (1)2kxk 所以依题意： 2 101 3 321 21 212 kk k k k k 或 练练习习 A组组 1解下列不等式： (1) 2 20 xx(2) 2 3180 xx (3) 2 31xxx(4)(9)3(3)x xx 2解下列不等式： (1) 1 0 1 x x (2) 31 2 21 x x (3) 2 1 x (4) 2 21 0 21 xx x 3解下列不等式： (1) 22 222xxx(2) 2 111 0 235 xx 4已知不等式 2 0 xaxb的
12、解是23x，求, a b的值 5解关于x的不等式(2)1mxm 6已知关于x的不等式22kxkkx的解是1x ，求k的值 7已知不等式 2 20 xpxq的解是21x ，求不等式 2 20pxqx的解 B组组 1已知关于x的不等式 2 0mxxm的解是一切实数，求m的取值范围 2若不等式 2 23 1 xx kk 的解是3x ，求k的值 3解关于x的不等式 22 56xaxa 4a取何值时，代数式 2 (1)2(2)2aa的值不小于 0？ 5已知不等式 2 0axbxc的解是x，其中0，求不等式 2 0cxbxa 的解 第四讲第四讲 不等式答案不等式答案 A 组组 1 1 (1)0 (2)36 (3)1 (4)3 2 xxxx 2 11 (1)11 (2)3 (3)20 (4) 22 xxxxxxx 或或或 3(1) 无解(2) 全体实数 45,6ab 5(1)当2m 时， 1 2 m x m ；(2)当2m 时， 1 2 m x m ；(3) 当2m 时，x取全体实数 61k 71x B 组组 1 1 2 m 25k 3(1)0a 时， 78 aa x；(2)0a 时，无解；(3)0a 时， 87 aa x 451aa 或 5 11 xx 或
