1、第一讲第一讲 数与式的运算数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代 数式简称为数与式代数式中有整式（多项式、单项式） 、分式、根式它们具有实数的属性， 可以进行运算在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式） ， 并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运 算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式在 根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被 开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要
2、补充基于同样的原因，还要补充“繁 分式”等有关内容 一、乘法公式一、乘法公式 【公式【公式 1】cabcabcbacba222)( 2222 证明证明： 2222 )(2)()()(ccbabacbacba cabcabcbacbcacbaba222222 222222 等式成立 【例例 1】计算： 22 ) 3 1 2(xx 解解：原式= 22 3 1 )2(xx 9 1 3 22 3 8 22 )2( 3 1 2 3 1 2)2(2) 3 1 ()2()( 234 222222 xxxx xxxxxx 说明说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列 【公式【公式 2】 3322
3、 )(babababa(立方和公式立方和公式) 证明证明: 3332222322 )(bababbaabbaabababa 说明说明:请同学用文字语言表述公式 2. 【例例 2】计算：)( 22 bababa 解解：原式= 333322 )()()()(bababbaaba 我们得到： 【公式【公式 3】 3322 )(babababa(立方差公式立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式 1、2、3 均称为乘法公式乘法公式 【例例 3】计算： （1）)416)(4( 2 mmm（2）) 4 1 10 1 25 1 )( 2 1 5 1 ( 22 nmnmnm （3）)164
4、)(2)(2( 24 aaaa（4） 22222 )(2(yxyxyxyx 解解： （1）原式= 333 644mm （2）原式= 3333 8 1 125 1 ) 2 1 () 5 1 (nmnm （3）原式=644)()44)(4( 63322242 aaaaa （4）原式= 2222222 )()()(yxyxyxyxyxyx 6336233 2)(yyxxyx 说明说明： （1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结 构 （2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和 1、2、3、4、 10 的立方数，是非常有好处的 【例例 4】已
5、知013 2 xx，求 3 3 1 x x 的值 解解：013 2 xx0 x3 1 x x 原式=18)33(33) 1 )( 1 () 1 1)( 1 ( 22 2 2 x x x x x x x x 说明说明： 本题若先从方程013 2 xx中解出x的值后， 再代入代数式求值， 则计算较烦琐 本 题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本 题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举 【例例 5】已知0cba，求 111111 ()()()abc bccaab 的值 解解：bacacbcbacba, 0 原式= ab ba c
6、 ac ca b bc cb a abc cba ab cc ac bb bc aa 222 )()()( abccabccabbababa3)3(3)( 32233 abccba3 333 ，把代入得原式=3 3 abc abc 说明说明：注意字母的整体代换技巧的应用 引申引申：同学可以探求并证明： )(3 222333 cabcabcbacbaabccba 二、根式二、根式 式子(0)a a 叫做二次根式，其性质如下： (1) 2 ()(0)aa a(2) 2 |aa (3)(0,0)abab ab(4)(0,0) bb ab a a 【例例 6】化简下列各式： (1) 22 ( 32)(
7、 31)(2) 22 (1)(2) (1)xxx 解解：(1) 原式=|32|31| 2331 1 (2) 原式= (1)(2)23 (2) |1|2| (1)(2)1 (1x2) xxxx xx xx 说明说明：请注意性质 2 |aa的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的 取值分类讨论 【例例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1) 3 23 (2) 11 ab (3) 3 28 2 x xx 解解：(1) 原式= 2 3(23)3(23) 63 3 23(23)(23) (2) 原式= 22 aba bab abab (3) 原式= 22 2 2222
8、2 23 2 22 x x xxxx xxxx x 说明说明：(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方 数不含能开得尽方的因数或因式 (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数 或因式， 然后把开得尽方的因数或因式开出来； 分母中有根式(如 3 23 )或被开方数有分母(如 2 x )这时可将其化为 a b 形式(如 2 x 可化为 2 x ) ，转化为 “分母中有根式”的情况化简时， 要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如 3 23 化为 3(23) (23)(23) ，其中23与23叫做互
9、为有理化因式) 【例例 8】计算： (1) 2 (1)(1)()ababab(2) aa aabaab 解解：(1) 原式= 22 (1)()(2)2221baaabbaabb (2) 原式= 11 ()() aa aabaababab ()()2 ()() ababa ab abab 说明说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次 根式的运算 【例例 9】设 2323 , 2323 xy ，求 33 xy的值 解解： 2 2 (23)23 74 3,74 3 14,1 2323 xyxyxy 原式= 2222 ()()()()314(143)2702xy
10、 xxyyxyxyxy 说明说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结 论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量 三、分式三、分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时， A B 就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两 种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质 【例例 10】化简 1 1 x x x x x 解法一解法一：原式= 22 2 (1)1 1(1) 1(1)(1)1 1 x xxxxxx xxxx xxxxx xxx xxxx x x 解法一解法一：原式= 2 2 (1)1 (1)(1) 11
11、1 () x xxxxx xxxxx xxxx xxx xx xx x 说明说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二 则是利用分式的基本性质 AAm BBm 进行化简一般根据题目特点综合使用两种方法 【例例 11】化简 2 22 3961 62279 xxxx xxxx 解解：原式= 2 22 3961161 2(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9) xxxxx xxxxxxxxxx 2 2(3)12(1)(3)(3)3 2(3)(3)2(3)(3)2(3) xxxxx xxxxx 说明说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母
12、为多项式时，应先因式分解再 进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 A组组 1二次根式 2 aa 成立的条件是() A0a B0a C0a Da是任意实数 2若3x ，则 2 96|6|xxx的值是() ABCD 3计算： (1) 2 (34 )xyz(2) 2 (21)()(2 )abab ab (3) 222 ()()()ab aabbab(4) 22 1 (4 )(4) 4 ababab 4化简(下列a的取值范围均使根式有意义)： (1) 3 8a(2) 1 a a (3) 4ab a bb a (4) 112 23231 5化简： (1) 2 1 9102 325 mm
13、 mmm m (2) 2 22 (0) 2 xyxy xy xx y B组组 1若 11 2 xy ，则 33xxyy xxyy 的值为()： 练练习习 A 3 5 B 3 5 C 5 3 D 5 3 2计算： (1)()()abcabc(2) 11 1() 23 3设 11 , 3232 xy ，求代数式 22 xxyy xy 的值 4当 22 320(0,0)aabbab，求 22 abab baab 的值 5设x、y为实数，且3xy ，求 yx xy xy 的值 6 已知 111 20,19,21 202020 axbxcx， 求代数式 222 abcabbcac的值 7设 51 2 x
14、 ，求 42 21xxx的值 8展开 4 (2)x 9计算(1)(2)(3)(4)xxxx 10计算()()()()xyzxyz xyz xyz 11化简或计算： (1) 113 ( 184) 23 23 (2) 2 21 22(25) 3 52 (3) 2 x xxyxxyy xyyx xyy (4)()() bababab a ababbabaab 第一讲 习题答案 A 组 1 C2 A 3 (1) 222 9166824xyzxyxzyz(2) 22 353421aabbab (3) 22 33a bab(4) 33 1 16 4 ab 4 2()2 22 1 2 ab aaa ab 5 2m mxy B 组 1 D22,3 22 3acbac3 13 3 6 43,252 363735 8 432 8243216xxxx 9 432 10355024xxxx 10 444222222 222xyzx yx zy z 11 4 3 3, 3 xy ba y
