1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 32基本不等式及其应用 玩前必备 1重要不等式：a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号 2基本不等式： abab 2 ( a0，b0)，当且仅当 ab 时取等号 其中ab 2 称为 a，b 的算术平均数， ab称为 a，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术 平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 3.基本不等式的几个常见变形 (1) ab2 ab (a，b0) (2) x1
2、 x2(x0)， b a a b2(a，b 同号) (3)ab ab 2 2(a，bR) (4)a 2b2 2 ab 2 2(a，bR) 4.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等 号成立的条件 5.利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)和定积最大：若 xys(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最大值s 2 4； (2)积定和最小：若 xyp(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最小值 2 p. 玩转典例 题型一题型一基本不等式成立条件问题基本不等式成立条件问题 例例
3、 1若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是() Aa2b22abBab2 abC.1 a 1 b 2 ab D.b a a b2 答案D 解析a 与 b 可能相等，a2b22ab，故 A 不正确；对于 B、C，当 a0，b0，b a0， a b0， a b b a2 a b b a2 成立(当且仅当 ab 时等号成立) 玩转跟踪 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 1下列不等式中一定成立的是 () Ax1 x2 Bb a a b2 C. sin x 1 sin x2(xk，k
4、Z) D.x 1 x2(x0) 答案D 解析对于选项 A，当 x0 时显然不成立；对于选项 B，当b a 0 时显然不成立； 对选项 C，当 sin x2a；ab ab 2；x2 1 x211，其中正确的个数是( ) A0B1C2D3 答案B 解析不正确，正确，x2 1 x21(x 21) 1 x211211. 题型题型二二利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例例 2 2(1) 若 x0，则 x2 x的最小值是( ) A2B4C. 2D2 2 (2) 当 x1 时，函数 yx 1 x1的最小值是_ 答案(1) D(2) 3 解析(1) 由基本不等式可得 x2 x2 x2 x2 2，当且仅
5、当 x 2 x即 x 2时取等号，故最小值是 2 2. (2)yx 1 x1x1 1 x112 x1 1 x113 当且仅当 x1 1 x1，即 x2 时等号成立. 例例 3设 0 x2，求函数 y x42x的最大值 解析0 x0，y x42x 2 x2x 2x2x 2 2， 当且仅当 x2x，即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y x42x的最大值为 2. 玩转跟踪 1.(1)当 x1 时，x 4 x1的最小值为_； (2)当 x4 时，x 4 x1的最小值为_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩
6、转高中数学研讨 答案(1)5(2)16 3 解析(1)x1，x10.x 4 x1x1 4 x112 415. (当且仅当 x1 4 x1.即 x3 时“”号成立)x 4 x1的最小值为 5. (2)x4，x13.函数 yx4 x在3，)上为增函数， 当 x13 时，y(x1) 4 x11 有最小值 16 3 . 2. 已知 f(x)x1 x2(x0)，则 f(x)有( ) A. 最大值为 0B. 最小值为 0C. 最大值为4D. 最小值为4 答案C 解析x0，x1 x2(x 1 x)22 x 1 x24， 当且仅当x 1 x，即 x1 时，等号成立 3.已知函数 f(x)4xa x(x0，a0
7、)在 x3 时取得最小值，则 a_. 答案36 解析a0，x0，f(x)4xa x2 4xa x4 a 当且仅当 4xa x即 a4x 2时等号成立 ， 又 x3 时函数取得最小值，a4936. 4.若 0 x0，y0 且 xy1，则8 x 2 y的最小值为_ 答案18 解析x0，y0，且 xy1， 8 x 2 y( 8 x 2 y)(xy)10 8y x 2x y 102 8y x 2x y 18. 当且仅当8y x 2x y ，即 x2y 时等号成立，当 x2 3，y 1 3时， 8 x 2 y有最小值 18. 2已知 a0，b0，ab2，则 y1 a 4 b的最小值是( ) A. 7 2
8、 B4C. 9 2 D5 答案C 解析依题意得1 a 4 b 1 2( 1 a 4 b)(ab) 1 25( b a 4a b )1 2(52 b a 4a b )9 2，当且仅当 ab2， b a 4a b ， a0，b0， 即 a2 3，b 4 3时取等号，即 1 a 4 b的最小值是 9 2. 玩转练习 1若 0 x1，则当 f(x)x(43x)取得最大值时，x 的值为() A. 1 3 B. 1 2 C. 3 4 D. 2 3 答案D 解析0 x1，f(x)x(43x)1 33x(43x) 1 3 3x43x 2 24 3， 当且仅当 3x43x，即 x2 3时，取得“”，故选 D 项
9、 2若 x5 4，则 f(x)4x 1 4x5的最小值为( ) A3B2C5D7 答案D 解析f(x)4x 1 4x54x5 1 4x55.x 5 4，4x50，4x5 1 4x52. 故 f(x)257，等号成立的条件是 x3 2. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 3已知 a，b 为正实数且 ab1，若不等式(xy)(a x b y)m 对任意正实数 x，y 恒成立，则实数 m 的取值范 围是() A. 4，)B. (，1C. (，4D. (，4) 答案D 解析因为(xy)(a x
10、b y)ab ay x bx y ab22 ab24，当且仅当 ab，ay x bx y 时等号成立，即 a b，xy 时等号成立，故只要 m0，b0，所以 ab 1 a 2 b2 2 ab，即 ab2 2，当且仅当 1 a 2 b， 1 a 2 b ab， 即 a42， b2 4 2时取“”，所以 ab 的最小值为 2 2. 5已知函数 f(x)4xa x(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_. 答案36 解析因为 x0，a0，所以 f(x)4xa x2 4a4 a，当且仅当 4x a x，即 a4x 2时取等号 由题意可得 a43236. 6 (上海卷)若实数 x，y 满足 xy1
11、，则 x22y2的最小值为_ 答案2 2 解析x22y22 x22y22 2xy2 2，当且仅当 x22y2时等号成立 7已知 x0，y0，且 3x4y12，则 xy 的最大值为_ 答案3 解析123x4y2 3x4y，xy3. 8. （2019 天津理 13）设0,0,25xyxy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析解析0 x ，0y ，25xy， 则 121221266 2 xyxyxyxy xy xyxyxyxy ； 由基本不等式，
12、66 22 24 3xyxy xyxy （当且仅当 6 2 xy xy 时，即3xy ，且 25xy时，即 3 1 x y 或 2 3 2 x y 时，等号成立）. 故 121xy xy 的最小值为4 3. 9.(2018 天津)已知,a bR，且360ab，则 1 2 8 a b 的最小值为 【解析】由360ab，得36ab， 所以 36363 33 1111 222 22 2 8224 abb bbb ， 当且仅当 36 3 1 2 2 b b ，即1b 时等号成立 10.(2020泉州检测)已知 0 x1，则 x(33x)取得最大值时 x 的值为() A.1 3 B.1 2 C.3 4
13、D.2 3 解析：选 B因为 0 x1，所以 x(33x)3x(1x)3 x1x 2 23 4.当且仅当 x1x，即 x 1 2时等号成 立 11.(多选)下列四个函数中，最小值为 2 的是() Aysin x 1 sin x 00，x1) Cy x26 x25 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 Dy4x4 x 解析：选 AD对于 A，因为 0 x 2，所以 0sin x1，ysin x 1 sin x2，当且仅当 sin x 1 sin x，即 sin x 1 时取等号，符合题意；对于
14、 B，当 0 x1 时，ln x0，b0，且 a2b40，则 ab 的最大值为_，1 a 2 b的 最小值为_ 解析：a0，b0，且 a2b40，a2b4，ab1 2a2b 1 2 a2b 2 22，当且仅当 a2b，即 a 2，b1 时等号成立，ab 的最大值为 2.1 a 2 b 1 a 2 b a2b 4 1 4 52b a 2a b 1 4 52 2b a 2a b 9 4， 当且仅当 ab 时等号成立，1 a 2 b的最小值为 9 4. 答案：2 9 4 14.(1)当 x3 2时，求函数 yx 8 2x3的最大值； (2)设 0 x2，求函数 y x42x的最大值 解：(1)y1 2(2x3) 8 2x3 3 2 32x 2 8 32x 3 2. 当 x0， 32x 2 8 32x2 32x 2 8 32x4， 当且仅当32x 2 8 32x，即 x 1 2时取等号 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 于是 y43 2 5 2，故函数的最大值为 5 2. (2)0 x0，y x42x 2 x2x2x2x 2 2， 当且仅当 x2x，即 x1 时取等号， 当 x1 时，函数 y x42x的最大值为 2.
