1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 32基本不等式及其应用 玩前必备 1重要不等式：a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号 2基本不等式： abab 2 ( a0，b0)，当且仅当 ab 时取等号 其中ab 2 称为 a，b 的算术平均数， ab称为 a，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术 平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 3.基本不等式的几个常见变形 (1) ab2 ab (a，b0) (2) x1 x2(x0)， b a a b2(a，b 同号) (3)ab ab 2 2(a，bR) (4)a 2b2
2、2 ab 2 2(a，bR) 4.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等 号成立的条件 5.利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)和定积最大：若 xys(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最大值s 2 4； (2)积定和最小：若 xyp(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最小值 2 p. 玩转典例 题型一题型一基本不等式成立条件问题基本不等式成立条件问题 例例 1若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是() Aa2b22abBab2 abC.1 a 1
3、b 2 ab D.b a a b2 玩转跟踪 1下列不等式中一定成立的是 () Ax1 x2 Bb a a b2 C. sin x 1 sin x2(xk，kZ) D.x 1 x2(x0) 2.下列不等式：a212a；ab ab 2；x2 1 x211，其中正确的个数是( ) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A0B1C2D3 题型题型二二利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例例 2 2(1) 若 x0，则 x2 x的最小值是( ) A2B4C. 2D2 2 (2) 当 x1 时，函数 yx 1 x1的最小值是_ 例例 3设 0 x1 时，x 4 x1的最小值为_； (2)当 x4 时，
4、x 4 x1的最小值为_ 2. 已知 f(x)x1 x2(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_. 4.若 0 x0，y0 且 xy1，则8 x 2 y的最小值为_ 2已知 a0，b0，ab2，则 y1 a 4 b的最小值是( ) A. 7 2 B4C. 9 2 D5 玩转练习 1若 0 x1，则当 f(x)x(43x)取得最大值时，x 的值为() A. 1 3 B. 1 2 C. 3 4 D. 2 3 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 2若 x5 4，则 f(x)4x 1 4x5的最小值为( ) A3B2C5D7 3已知 a，b 为正实数且 ab1，若不等式(xy)(a x b y)m
5、 对任意正实数 x，y 恒成立，则实数 m 的取值范 围是() A. 4，)B. (，1C. (，4D. (，4) 4(2015 湖南)若实数 a，b 满足1 a 2 b ab，则 ab 的最小值为( ) A. 2B2C2 2 D4 5已知函数 f(x)4xa x(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_. 6 (上海卷)若实数 x，y 满足 xy1，则 x22y2的最小值为_ 7已知 x0，y0，且 3x4y12，则 xy 的最大值为_ 8. （2019 天津理 13）设0,0,25xyxy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为. 9.(2018 天津)已知,a bR，且360ab，
6、则 1 2 8 a b 的最小值为 10.(2020泉州检测)已知 0 x1，则 x(33x)取得最大值时 x 的值为() A.1 3 B.1 2 C.3 4 D.2 3 11.(多选)下列四个函数中，最小值为 2 的是() Aysin x 1 sin x 00，x1) Cy x26 x25 Dy4x4 x 12.已知 f(x)x 22x1 x ，则 f(x)在 1 2，3上的最小值为_ 13.(一题两空)(2019湖南岳阳期末改编)若 a0，b0，且 a2b40，则 ab 的最大值为_，1 a 2 b的 最小值为_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 14.(1)当 x3 2时，求函数 yx 8 2x3的最大值； (2)设 0 x2，求函数 y x42x的最大值
