1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 20二项式定理 玩前必备 1二项式定理 (ab)nC0nanC1nan 1bCr nan rbrCn nbn(nN*) 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数 Crn(r0，1， 2，n)叫做第 r1 项的二项式系数式中的 Crnan rbr叫做二项式展开式的第 r1 项(通项)，用 Tr 1表示， 即展开式的第 r1 项；Tr1Crnan rbr 2. 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为 n1
2、(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3) 字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数 由零逐项增 1 直到 n. (4) 二项式的系数从 C0n，C1n，一直到 Cn 1 n，Cnn 3.二项式系数的性质 (1)对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，0kn 时，C k n与 C nk n的关系是 CknCn k n. (2)增减性与最大值 先增后减中间最大 当 rn1 2 时，二项式系数是递增的；当 rn1 2 时，二项式系数是递减的； 当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，
3、即第n 21 项的二项式系数最大； 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，即第n1 2 项和n3 2 项的二项式系数最大 (3)二项式系数和：二项式系数的和等于 2n，即 C0nC1nC2nCnn2n， (4)二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n 1. 玩转典例 题型题型一一求求二项展开式指定项的系数二项展开式指定项的系数 例例 1(1)(福建理)(x2)5的展开式中，x2的系数等于_(用数字作答) (2)(重庆理) x3 1 2 x 5的展开式中 x8的系数是_(用数字作答) 答案(1)80(2)5 2 玩
4、转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析(1)(x2)5展开式的通项为 Tr1Cr5x5 r2r，令 5r2，得 r3，x2的系数为 C3 52380. (2)二项展开式通项为 Tk1Ck5(x3)5 k 1 2 x k 1 2 kCk 5x157k 2 ，令 157k 2 8，解得 k2，因此 x8的系数为 1 2 2C2 55 2. 例例 2(2015 新课标理)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为() A10B20C30D60 答案C 解析方法一利用二项展开式的通项公式求解(x2
5、xy)5(x2x)y5， 含 y2的项为 T3C25(x2x)3y2.其中(x2x)3中含 x5的项为 C13x4xC13x5. 所以 x5y2的系数为 C25C1330.故选 C. 方法二利用组合知识求解 (x2xy)5为 5 个 x2xy 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2的系数为 C25C23C13 30.故选 C. 玩转跟踪 1.(2019浙江高考)在二项式( 2x)9的展开式中， 常数项是_， 系数为有理数的项的个数是_ 解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr1Cr9( 2)9 rxr，rN,0r9， 当项为常数项时，r0，T1C09( 2)9x0
6、( 2)916 2.当项的系数为有理数时，9r 为偶数， 可得 r1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5. 答案：16 25 2.（2019全国） 6 (21)x 的展开式中x的系数是() A120B60C30D15 【答案】B 【解析】由二项式 6 (21)x 的展开式的通项为 6 66 2 166 (2)2 r rrrr r TCxC x ， 令 6 1 2 r ，解得4r ，则 6 (21)x 的展开式中x的系数是 24 6 260C 3.（2019新课标） 24 (12)(1)xx的展开式中 3 x的系数为() A12B16C20D24 【答案】A 【解析】 24 (12)
7、(1)xx的展开式中 3 x的系数为： 3311133 4143 11121112CCCC 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 题型题型二二已知已知二项展开式指定项的系数二项展开式指定项的系数求参数求参数 例例 3 3(2020海口调研)若(x2a) x1 x 10的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于( ) A.1 3 B.1 2 C1D2 答案D 解析由题意得 x1 x 10的展开式的通项公式是 Tk 1Ck10 x10 k 1 x kCk 10 x10 2k，x1 x 10的展
8、开式中含 x4(当 k3 时)，x6(当 k2 时)项的系数分别为 C310，C210，因此由题意得 C310aC21012045a30，由此解得 a 2，故选 D. 例例 4 4若 x2 1 ax 6的展开式中常数项为15 16，则实数 a 的值为( ) A2B.1 2 C2D1 2 答案A 解析 x2 1 ax 6的展开式的通项为 Tk 1Ck6(x2)6 k 1 ax kCk 6 1 a kx123k，令 123k0，得 k4. 故 C46 1 a 415 16，即 1 a 41 16，解得 a2，故选 A. 玩转跟踪 1 ax1 x 6的展开式的常数项为 160，则实数 a_. 解析：
9、法一： ax1 x 6的展开式的通项 Tr 1Cr6(ax)6 r 1 x rCr 6a6 rx62r，令 62r0，得 r3，所以 C3 6a6 3160，解得 a2. 法二： ax1 x 6 ax1 x ax1 x ax1 x ax1 x ax1 x ax1 x ，要得到常数项，则需 ax 与1 x的个数相同， 各为 3 个，所以从 6 个因式中选择 3 个 ax 的系数，即 C36a3160，解得 a2. 答案：2 2(湖南理)已知 x a x 5的展开式中含? ? ?的项的系数为 30，则 a( ) A.3B 3C6D6 答案D 解析 x a x 5的展开式通项 Tr 1Cr5? ?
10、? (1)rar? ?(1)rarCr5? ? ?，令5 2r 3 2，则 r1， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 T2aC15? ? ?，aC1 530，a6，故选 D. 题型题型三三二项式系数的性质二项式系数的性质 例例 5 5(湖北理)已知(1x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， 则奇数项的二项式系数和为() A29B210C211D212 答案A 解析由题意，C3nC7n，解得 n10.则奇数项的二项式系数和为 2n 129.故选 A. 例例 6 6若( x
11、2 x2) n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( ) A360B180C90D45 答案B 解析展开式中只有第 6 项的二项式系数最大， 则展开式总共 11 项， 所以 n10， 通项公式为 Tr1Cr10( x)10 r(2 x2) rCr 102rx55 2r，所以 r2 时，常数项为 180. 玩转跟踪 1.已知(13x)n的展开式中， 后三项的二项式系数的和等于121， 则展开式中二项式系数最大的项为_ 解析： 由已知得 Cn 2 nCn 1 nCnn121， 则 1 2n(n1)n1121， 即 n 2n2400， 解得 n15(舍去负值)， 所以展开式中二项式
12、系数最大的项为 T8C715(3x)7和 T9C815(3x)8. 答案：C715(3x)7和 C815(3x)8 题型题型四四赋值法与赋值法与二项式系数和问题二项式系数和问题 例例 7 7 在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和. (2)各项系数之和. (3)所有奇数项系数之和. 解设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为 C09C19C29C9929. (2)各项系数之和为 a0a1a2a9，令 x1，y1， 所以 a0a1a2a9(23)91. (3)令 x1，y1，可得 a0a1a2a959，又 a0a1a2a91， 将两式
13、相加可得 a0a2a4a6a85 91 2 ，即所有奇数项系数之和为5 91 2 . 玩转跟踪 1.1. (新课标 II 理)(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_. 答案3 解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 令 x1，得 16(a1)a0a1a2a3a4a5， 令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5. ，得 16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为
14、 a1a3a58(a1)，所以 8(a1)32，解得 a3. 2.（2020兴庆区校级一模）若 2 3 1 ()nx x 展开式的各项系数之和为 32，则其展开式中的常数项为() A1B5C10D20 【解答】解：令1x 可得 2 3 1 ()nx x 展开式的各项系数之和为232 n ，5n， 故其展开式的通项公式为 10 5 15 rr r Tx ，令1050r，求得2r ，可得常数项为 2 5 10，故选：C 玩转练习 1.（2020北京卷）在 5 (2)x 的展开式中， 2 x的系数为（ ） A.5B. 5C.10D. 10 【答案】C 【详解】 5 2x 展开式的通项公式为： 5 5
15、 2 155 22 r r rr rr r TCxC x ， 令 5 2 2 r 可得：1r ，则 2 x的系数为： 1 1 5 22510C .故选：C. 2.（2020全国 1 卷） 2 5 ()()xx y x y的展开式中 x3y3的系数为（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【详解】 5 ()xy展开式的通项公式为 5 15 rrr r TC xy （rN且5r ） 所以 2 y x x 的各项与 5 ()xy展开式的通项的乘积可表示为： 56 155 rrrrrr r xTxC xyC xy 和 22 542 155 rrrrrr r TC xy x Cy
16、 yy x x 在 6 15 rrr r xTC xy 中，令3r ，可得： 333 45 xTC x y，该项中 33 x y的系数为10， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 在 42 15 2 rrr r TC x x y y 中，令1r ，可得： 5 2 133 2 TC y x x y，该项中 33 x y的系数为5 所以 33 x y的系数为10515.故选：C 3.（2020全国 3 卷） 26 2 ()x x 的展开式中常数项是_（用数字作答） 【答案】240 【详解】 6
17、 2 2 x x 其二项式展开通项： 6 2 61 2 r r r r Cx x T 12 2 6 (2) rrrr xCx 12 3 6(2) rrr Cx 当1230r，解得4r 6 2 2 x x 的展开式中常数项是： 66 442 21615 16240CC.故答案为：240. 4.（2020天津卷）在 5 2 2 x x 的展开式中， 2 x的系数是_ 【答案】10 【详解】因为 5 2 2 x x 的展开式的通项公式为 55 3 155 2 2 20,1,2,3,4,5 r rrrrr r TC xCxr x ，令 532r，解得1r 所以 2 x的系数为 1 5 210C 故答案
18、为：10 5.（2020浙江卷）设 2345 12 5 3456 1 2 xaa xa xa xa xa x，则 a5=_；a1+a2+ a3=_ 【答案】(1). 80(2). 122 【详解】 5 (1 2 ) x的通项为 155 (2 )2 rrrrr r TCxC x ，令4r ，则 4444 55 280TC xx，故 5 80a ； 113355 135555 222122aaaCCC.故答案为：80；122 6(2018 全国卷) 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数为（） A10B20C40D80 【解析】 2 510 3 155 2 C ()( )C 2 rrrrr
19、r r Txx x ，由1034r，得2r ，所以 4 x的系数为 22 5 C240故 选 C 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 7（2017 新课标） 6 2 1 (1)(1) x x 展开式中 2 x的系数为（） A15B20C30D35 【解析】 6 2 1 (1)(1) x x 展开式中含 2 x的项为 22442 66 2 1 130C xC xx x ，故 2 x前系数为 30，选 C 8（2017 新课标） 5 ()(2)xyxy的展开式中 33 x y的系数为（） A8
20、0B40 C40D80 【解析】 5 (2)xy的展开式的通项公式为： 5 15 C (2 )() rrr r Txy ， 当3r 时， 5 (2)xxy展开式中 33 x y的系数为 323 5 C2( 1)40 ， 当2r 时， 5 (2)yxy展开式中 33 x y的系数为 232 5 C2( 1)80 ， 所以 33 x y的系数为804040选 C 9.（2019 全国 III 理 4）（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为（） A12B16C20D24 解析解析 24 (1 2)(1)xx的展开式中 3 x的系数为 313 44 1 C12 C112 故选 A 10.（
21、2019天津理10） 8 3 1 2 8 x x 是展开式中的常数项为. 解析解析 由题意，可知此二项式的展开式的通项为 8 r+18 3 1 C2 8 r r r Tx x 888 48 4 88 3 11 C 2C12 8 rr r rrrrrr xx x 所以当8 40r ，即 2r 时， r 1 T 为常数项，此时 2 28 4 2 32 18 C1228TT 11.(2018 天津)在 5 1 () 2 x x 的展开式中， 2 x的系数为 【解析】 3 5 5 2 155 11 C()C() 22 r rrrrr r Txx x ，令 3 52 2 r，得2r ， 所以 2 x的系
22、数为 22 5 15 C () 22 12(2018 浙江)二项式 83 1 () 2 x x 的展开式的常数项是_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】 88 4 33 188 11 C()C ( ) 22 rr rrrr r Txx x ， 令 84 0 3 r ， 解得2r ， 所以所求常数项为 22 8 1 C( )7 2 13（2017 浙江）已知多项式 32 (1) (2)xx= 5432 12345 xa xa xa xa x a，则 4 a=_， 5 a=_ 【解析
23、】将 32 (1) (2)xx变换为 32 (1) (2)xx，则其通项为 32 32 C 1C 2 rrrmmm xx ，取0,1rm和 1,0rm可得， 01102 43232 C C2+C C24 1216a ，令0 x ，得 5 4a 14（2017 山东）已知(1 3 )nx的展开式中含有 2 x项的系数是54，则n 【解析】 1 C3C3 r rrrr rnn xx ，令2r 得： 22 C354 n ，解得4n 15.（2020眉山模拟） 25 (23)(2)xxx的展开式中， 5 x项的系数为() A23B17C20D63 【解答】解：因为 5 (2)x 的展开式通项公式为：
24、5 15 2 rrr r Tx ，令r分别取 0，1，2； 展开式中含 5 x项为 542235 32 5 2(102)17xxxxxx；含 5 x项的系数是 17故选：B 16（2020龙岩一模） 5 1 (1)(2)xx x 的展开式中常数项为() A40B40C80D80 【解答】解： 5 1 (2)x x 的的展开式的通项公式： 5 15 1 (2 )()( 1) rrrr r Tx x 55 2 5 2 rrr x 令521r ，或520r，解得3r ， 5 2 r （舍去） 5 1 (1)(2)xx x 的展开式中常数项： 323 5 ( 1)240 故选：A 17（2020重庆模拟）() () n mxxnN的展开式中，各二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则展开 式中 3 x的系数为() A40B30C20D10 【解答】解： ()nmxx的展开式中，各二项式系数和为232 n ，5n 再令1x ，可得各项系数和为 55 (1)2433m，2m， 则展开式中的通项公式为 5 5 2 15 r rr r TCmx ，令53 2 r ，可得4r ， 故展开式中 3 x的系数为 4 5 210C，故选：D 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨
