1、2020 年北京大学强基计划试题年北京大学强基计划试题 1. 正实数x,y,z，满足x yz 和xy2 z，则 z xy 的最小值等于（）. A. 3 4 B. 7 8 C. 1D.前三个答案都不对 2.在 2021 20192020的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选 因数个数为（） A. 16B. 31C. 32D.前三个答案都不对 3.整数列 n n 1 a 满足 12 a1,a4,且对任意m 2有 2 nn 1n 1 aaa2n1 ,则 2020 a的个位数字是 （） A.8B.4C.2D.前三个答案都不对 4.设 , , ,a b c d是方程 4
2、32 23450 xxxx 的 4 个复根,则 1111 2222 abcd abcd 的数值为 （） A. -4B. -3C.3D.前三个答案都不对 5.设等边三角形 ABC 的边长为 1,过点 C 作以 AB 为直径的圆的切线交 AB 的延长线于点 D,ADBD,则 三角形 BCD 的面积为（） A. 6 23 3 16 B. 4 23 3 16 C. 3 22 3 16 D.前三个答案都不对 6.设 , ,x y z均不为 1 , 2 k 其中k为整数, 已知sin,sin,sinyzxxzyxyz成等差 数列，则依然成等差数列的是（） A.sin ,sin ,sinxyzB. cos
3、,cos ,cosxyz C.tan ,tan ,tan xyz D.前三个答案都不对 7.方程19 934xyxy的整数解个数为（） A.4B.8C.16D.前三个答案都不对 8.从圆 22 4xy上的点向椭圆 C: 2 2 1 2 x y引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆 C 内不与 任何切点弦相交的区域面积为（） A. 2 B. 3 C. 4 D.前三个答案都不对 9. 使得512xxya xy对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为（） A.8B.9C.10D.前三个答案都不对 10.设 P 为单位立方体 1111 ABCDABC D上的一点,则 11 PAPC的最小值为（）
4、 A. 22 B. 22 2 C. 2 2 2 D.前三个答案都不对 11.数列 1 n n a 满足 12 1,9aa且对任意1n有 21 4320, nnn aaa 其中前 n 项和为 n S，则 函数 n S的最大值等于（） A. 28B. 35C. 47D.前三个答案都不对 12.设直线 3yxm与椭圆 22 x 1 2516 y 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则三角形 OAB 面积的最大值为 （） A. 8B. 10C. 12D.前三个答案都不对 13.正整数3n 称为理想的,若存在正整数11kn使得 11 , kkk nnn CCC 构成等差数列,其中 n ! C ! k n
5、 knk 为组合数,则不超过 2020 的理想数个数为（） A. 40B. 41C. 42D.前三个答案都不对 14.在ABC 中,A150, 122020 D ,D ,D依次为边 BC 上的点,且 11223 BDD DD D 201920202020 ,DDDC设 11122201920202020 ,BADD ADDAD， 20202021 DAC， 则 132021 242020 sinsinsin sinsinsin 的值为（） A. 1 1010 B. 1 2020 C. 1 2 21 D.前三个答案都不对 15. 函数 222 ( )32 3coscos52 3coscos4si
6、nf 的最大值为（） A. 23 B.2 2 3 C. 22 3 D.前三个答案都不对 16.方程 5412211xxxx 的实根个数为（） A.1B.2C.3D.前三个答案都不对 17.凸五边形 ABCDE 的对角线 CE 分别与对角线 BD 和 AD 交于点 F 和 G,已知BF:FD=5:4， AG :GD1:1,CF:FG :GE2:2:3, CFD S和 ABE S分别为CFD和 ABE的面积,则 CFDABE S:S 的值等于（） A. 8:15B. 2:3C. 11:23D.前三个答案都不对 18.设 , p q均为不超过 100 的正整数,则有有理根的多项式 5 f xxpxq
7、的个数为（） A. 99B. 133C. 150D.前三个答案都不对 19. 满足对任意n1有 1 23 n nn aa 且严格递增的数列 n a的个数为（） A. 0B. 1C.无穷多个D.前三个答案都不对 20.设函数 , , xyz f x y z xyyzzx ，其中 , ,x y z均为正实数，则有（ ） A. f 既有最大值也有最小值B. f 有最大值但无最小值 C. f 有最小值但无最大值D.前三个答案都不对 2020 年北京大学强基计划试题解析年北京大学强基计划试题解析 1. 【答案】D 【解析】因为2xywz,且 2 2 xyw z ，则 211 22222 wzwxywwx
8、wxyx w xyxyxyyyxy 1111 2 2222222 xyxxyxxx y yxyyxyy 当且仅当2 ,2xyywxywz时，等号成立，选 D 2. 【答案】C 【解析】因为 2021 40422021202120212021 2019 2020251013673, 可以选取最小质数 2，3，5，101，673，那么剩下的单个质因数的偶数次方出现的最多只能选取一 个,不妨选 2 2 ,再进行组合,在 5 个因数里面分别选取 2 个,3 个,4 个,5 个，则一共有 32 个,则最多可以 选取 32 个,故选 C 3. 【答案】A 【解析】因为 21 11 2n nnn aaa ,
9、则 2 12 2n nnn aa a 因此： 22 1112 222 nnnnnn aaaaa a ，则 21113 12 222 nnnn nn aaaaaa aaa 因为： 2 213 2aa a，则 3 14a ，故 21113 12 222 4 nnnn nn aaaaaa aaa 则 11 42 nnn aaa ，欲求个位数字，则需要让 n a模 10. 其结果为 1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0, 从 2 a开始周期为 24，则 2020 a的个位数字是 8，所以选 A 4. 【答案】A 【解析】
10、由题意可得 2,sabcd 3pabacadbcbdcd 4qabcabdacdbcd 5rabcd 设 1111 2222 abcd m abcd 则 1111 43 2222 m abcd ， 只需要 1111 2222abcd 则 222111132 12416 22222222162489 bcdqsp abcdabcdrqps 故 164 4 33 m ，所以选 A 5. 【答案】C 【解析】如图所示，其中 1 2 OEOB, 3 2 CO , 2 2 CE 从而可得 ODOE OCCE ，故 6 4 OD 故 3 22 3 16 BCD S ，所以选 C 6. 【答案】C 【解析】
11、因为2sin()sin()sin()2sincos()xzyyzxxyzyxz 则sin()coscos()sinsincos()xzyxzyyxz 则sin()cossincos(cos()2sincos cosxzyyxzxzyxz 则tantan2tanxzy，所以选 C 7. 【答案】B 【解析】因为：19934xyxy，则49341993 193 19 31xy 因为：4933 mod4 ,4191 mod4xy 则 4933,19,31,1767, 1, 57, 93, 589 419 x y 所以有 8 组，所以选 B 8. 【答案】A 【解析】如图所示，设点2cos ,2sin
12、A 则 BC 直线方程为cos2sin1xy 由于 22 22 1 xy ab 在点 cos , sinab的切线方程 为 cossin =1 xy ab ，则 1 1, 2 ab， 由此cos2sin1xy 为椭圆的 22 41xy切线系方程 由椭圆的面积可得 2 ab ，所以选 A 9. 【答案】B 【解析】 6 51251256 y xxyxmxm xy mm ， 令 62 56, 3 mm m 则5129xxyxy，则 512 9 xxy xy ，则9a ，所以选 B 10. 【答案】D 【解析】最小值为 2，所以选 D 11. 【答案】A 【解析】因为 21 4320 nnn aaa
13、 ，则 211 10310 nnnn aaaa 故 1 1 102 3n nn aa ，则3n 时，数列为单调递减数列 可求得 34 13,5aa,当5n 时，0 n a ，则 n S的最大值为 4 28S ，所以选 A 12. 【答案】B 【解析】联立方程可得 22 241150254000 xmxm ，则 2 12 22 40 241 1010, 24110 120 24110 2241 mm ABxxd SAB dmm 故面积的最大值为 10，所以选 B 13. 【答案】C 【解析】由题意可得 11 , kkk nnn CCC 构成等差数列 则 11 2 kkk nnn CCC ，化简可
14、得可得 22 41420nknk 整理以 k 为未知量的方程 22 4420knknn ，则 2 2 nn k 则 n+2 为完全平方数，则 2 2nm ，则443m 若 2 21 22 222 mm nnmm k ，因为2,1mm奇偶性相反 故对于任意443m都满足题意 同理 2 21 22 222 mm nnmm k ，因为2,1mm奇偶性相反 故对于任意443m都满足题意 综上：满足题意得有 42 个，所以选 C 14. 【答案】D 【解析】不妨设 1 , ii ADCBDm 则： 11 122 , sinsinsinsin ADADmm B 因此： 1 22 sinsin sinsin
15、 B ，同理： 32 44 sinsin sinsin 因此： 2021 2020 sinsinsin2021 sinsin1 sin2021202120214042 BmBmBBCBCE ACACACAC ，所以选 D 15. 【答案】D 【解析】已知当 2 时，3323 2 f 因为 22 3cos52 3coscos4sinf 、 下面证明 22 22 323cos52 3coscos4sinf 两边平方，即证 2 4sin2 2cos2 6 因为 2 4sin2 2cos4sin2 2cos2 6sin2 6 两个等号不同时成立，所以 2 4sin2 2cos2 6 ，所以选 D 16
16、. 【答案】D 【解析】由题意可得121 11xx 当1 12x 时，上式恒为 1，所以选 D 17. 【答案】A 【解析】如图所示，延长 CF=CM 则根据比例可得 BE/MD 则 1 2 OGEG GDGM ，因为 G 为 AD 的中点， 因此 14 ,?,2 25 AOOGGD MDBE MDOE 则 2 5 OEBE不妨设 ABE S5 则 AOEEGD S2,S4 , 因此 28 4 33 CFD S，因此 CFDABE S:S815 :所以选 A 18. 【答案】B 【解析】因为 5 f xxpxq有有理根，则有理根必小于 0 设 0 m x n ，且,1m n ，则 5 5 0
17、mpm q nn ， 554 qnmpmn， 显然|n m，因为,1m n ，则1n ，故 5 qmmp 因为 5 100qmmp，故12m 当1m 时，1100qp ，所以199q，共 99 组 当 m=2 时，322100qp,所以134p，共 34 组 综上所述：满足条件的( , )p q共 133 组，故选 B 19. 【答案】B 【解析】因为 1 23 n nn aa ，则 1 1 31 22 22 nn nn aa 则 1 1 131 252 25 nn nn aa ，则 1 1 131 25225 n n n aa ，则 1 22 3 55 n n n aa 当 1 2 5 a 时，满足严格递增，当 1 2 5 a 时，会出现正负交替，不满足，所以选 B 20. 【答案】D 【解析】因为 2 xyzxzyxzy s xyyzzxxyzyzxzxy 当0,1,xzy 时，2s ，故无最大值 而且1 xyzxyz s xyyzzxxyzxyzxyz 当0,1,xyz 时，1s ，故无最小值，所以选 D
