1、2020 年复旦大学强基计划试题年复旦大学强基计划试题 1. 抛物线 2 2ypx，过焦点F作直线交抛物线于,A B两点，满足 3AFFB ，过A作抛物线准线的垂 线，垂足记为A，准线交x轴于C点，若12 3 CFAA S ，求P。 2. 已知实数xy，满足 2 21xxy，求 22 xy最小值。 3. 已知( )sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f xaxbxcxdx，若 1 ()( )(2 ) 2 fxf xfx，则 在, , ,a b c d中能确定的参数是。 4. 若三次方程 32 450 xaxx 有一个根是纯虚数，则a。 5. 展开式 10 23 11 xy xy 中
2、，常数项为。 6. 111 lim 1 42 5(3) n n n 。 7. 点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60，所得的点的坐标为。 8. 方程5 cos43 cos2所表示的曲线形状是。 9. 设, 4 4 x y ，若 3 3 3 cos()20 2 4sincos +0 xxa yyy a ，则cos(2 )xy。 10. 实数 ,x y满足 22 1xy，若262xyaaxy的值与 ,x y无关，则a的范围是 。 11. 在ABC中， 1 cos 3 BAC，若O为内心，且满足AOxAByAC ，则x y 的最大值 为。 12. 已知直线 :cosm yx 和:3nxyc，则（）
3、 A.m和n可能重合B.m和n不可能垂直 C.存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与m重合D.以上都不对 13. 抛物线 2 3yx的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为30，则A点的横坐标 为。 14. 已知P为直线 6 0 14 xy 上一点，且P点到(2,5)A和(4,3)B的距离相同，则P点坐标 为。 15. 已知,1,2,3,4,5,6,7,8,9x y且y x ，联结原点O和( , ), ( , )A x y B y x两点，则 1 2arctan 3 AOB的概率为。 16. 143 23 arcsinarcsin 84 。 17. 已知三棱锥PABC的体积为10.5
4、，且6,4,10ABACBCAPBP，则CP的长度 为。 18. 在ABC中，9,6,7ABBCCA，则BC边上中线长度为。 19. 若 2 ( )1f xx，则( ( )f f x的图像大致为。 20. 定义 1, ( ), |( )( )1 1, MMN xM fxMNx fx fx xM ，已知 |2Ax xx， | (3)(3)0Bx x xx，则AB。 21. 方程34122020 xyz的非负整数解的组数为。 22. 已知,m n，且011n，若满足 20202021 2312mn ，则n 。 23. 凸四边形ABCD，则BACBDC 是DACDBC 的条件。 24. 设函数( )
5、33 xx f x 的反函数为 1( ) yfx ，则 1 ( )(1) 1g xfx 在 3,5上的最大值和最小 值的和为。 25. 若4k ，直线2280kxyk与 22 2440 xk yk和坐标轴围成的四边形面积的取值范围 是。 26. 已知A、B、C、D四点共圆，且1,2,4,5ABCDADBC，则PA的 长度为。 27. 给定 5 个函数，其中 3 个奇函数，2 个偶函数，则在这 5 个函数中任意取 3 个，其中既有奇函数又有 偶函数的概率为。 28. 下列不等式恒成立的是（） A. 2 2 11 xx xx B. 1 |2xy xy C.| |xyxzyz 29. 向量数列 n
6、a 满足 1nn aad ，且满足 11 3 | 3, 2 aa d ，令 1 1 n ni i Saa ，则当 n S取最大 时，n的值为。 30. 某公司安排甲乙丙等 7 人完成 7 天的值班任务，每人负责一天。已知甲不安排在第一天，乙不安排在 第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有种。 2020 年复旦大学强基计划试题解析年复旦大学强基计划试题解析 1. 【答案】2 2p 【解析】由题意知,0 2 p F ，设:(0) 2 p AB xmym 联立得 2 22 2 20 2 ypx ypmyp p xmy 由韦达定理可得： 2 2, ABAB yypm yyp 因为 3AFFB ，
7、所以 2 22 22 13 3,3 , 323 B ABAA B ypm yymyp xp yp 所以 2 23 3 312 32 2 222 CFAAA AACFpp Syppp 2. 【答案】 51 2 【解析】 2 1 1 210() 2 xxyyx x 则 222 2 11151 5 422 xyx x ，当且仅当 22 2 15 5 5 xx x 时，等号成立。 3. 【答案】0abcd 【解析】令 1 00 2 xfdbdb ; 令 1311 0200 4442 xfffdbd 1 sin2sin4,(2 )sin4sin8 2 fxaxcx fxaxcx 1 ( )(2 )2 s
8、in4sin4sin8 2 fxf xfxcxaxcx (2)sin42 sin4cos4caxcxx 则2200cacac，综上0abcd 4. 【答案】 5 4 a 【解析】设纯虚数根为bi，则 3 32 2 4 5 450 4 5 bb b iabbia b a 5. 【答案】 12600 【解析】 1010 101010 23233410 101010 0000 1111 i i ii iikk ijj i ii iikj xycxycc xcy xyxy 则有 30 3 0,3,6,9 410010 4 i k ki i jii j 当02.5ijZ； 当 7 3 4 ijZ；当 1
9、 9 4 ijZ； 当62,2ikj符合题意，则常数项为 622 1064 12600C C C 。 6. 【答案】 11 18 【解析】 11 11 (3)33n nnn 所以 1111 111111111 1 42 5(3)3 14253121n nnnnn 111111 1 323+123nnn 所以 11111111111 limlim 1 1 42 5(3)323+12318 nn n nnnn 7. 【答案】 54 3 63 3 , 22 【解析】直线AB的斜率为 5 14 4 13 AB k 由夹角公式得 4 3 tan603 4 1 1 3 AC ABAC ABAC AC k
10、kk kk k ， 所以 25 348 39 AC k 设( , )C x y，所以 22 54 3 125 348 2 139 63 3 (1)(1)25 2 AC x x k y yxy 8. 【答案】两条射线 【解析】由 22 5cos43cos243(2cos1)6cos5cos10 所以 1 cos 2 或 1 cos 3 ，所以为两条射线 9. 【答案】1 【解析】由 3 3 3 3 3 cos20sin +20 2 (2 )sin220 4sincos0 xxaxxa yya yyya 构造函数，设 3 ( )sinf xxx，显然( )f x为奇函数 ( )(2 )0( )(2
11、 )2f xfyf xfyxy ，则cos(2 )1xy 10. 【答案】 565a 【解析】26226(2)xyaaxyxyaxya的值与 ,x y无关 所以2xya与6(2)xya同号，即02626xyaaxya 因为 22 +=1xy，令 cosx ，siny，则 2cos2sin5sin()5, 5xy 所以 5 565 65 a a a 11. 【答案】 33 2 【解析】设ADAOxAByAC 因为B、C、D三点共线，所以1xy 即 111 11sin 2 AOAOAO xy OEA ADADODAOOE OA 因为 2 13 cos1 sinsin 2323 AA A 所以 33
12、 2 xy 12. 【答案】 C 【解析】直线m的斜率为cos 1,1 ，所以m和n不可能重合；故 A 错 当 1 cos 3 ，两直线垂直，故 B 错 直线m与n必相交，当P位于交点处时，以P为中心旋转后与m重合，故选 C。 13. 【答案】 1 4 【解析】设点A处的切线为l， 2 00 1 (3,),0 12 AyyF 对隐函数 2 1 3 yx求导得 11 2 36 y yy y 所以切线为l的斜率为 0 11 66 k yy ， 00 2 2 0 0 12 1 361 3 12 AF yy k y y 由夹角公式得 13 tan3013() 13 AF AFAFAF AF kkk k
13、kkkk kkk 即 000 0 2 0 0 0 3 1 126631 1 3616 312 3 3 6 yyy y yy y ， 2 0 1 3 4 a xy 14. 【答案】(1,2) 【解析】直线方程为460 xy，1 AB k ，AB中点为(3,4)，所以AB中垂线方程为 1yx，则 11 (1,2) 462 yxx P yxy 15. 【答案】 1 9 【解析】设C为AB中点，故 1 arctan,( , ), 322 xy xy AOCA x y C 所以 22 1 2 10 2 xy yx xy ，问题转化为从19中 任取两个数 ,x y满足 2yx的概率 则(1,2),(2,4
14、),(3,6),(4,8)，所以 2 9 41 9 P C 16. 【答案】 3 4 【解析】设 143 23 sin,sin, , 84 ABA B 为锐角，求AB的值 则 3 2147 coscos 84 AB ， ，则 2 cos()coscossinsin 2 ABABAB ，得 3 4 AB 17. 【答案】7 或7 3 【解析】取AB中点D，则AB面PDC 依题意可得7,91,3 7 ABC CDPDS 则 1121 3 7sin 332 PABCABC VShPDPDC 3 sin 2 13 PDC，所以 7 cos 2 13 PDC 由余弦定理可得 2 91 7 cos7 29
15、17 PC PDCPC 或7 3 18. 【答案】2 14 【解析】取BC中点D，由中线长公式得： 2222 22ABACADBD 2 81493622 14ADAD 19. 【答案】 【解析】 2242 ( ( )(1)12f f xxxx 20. 【答案】(, 30,1)(3,) 【解析】由题意可得(,1),( 3,0)(3,)AB 当30 x 时，( )( )1 AB fxfx不满足题意； 当3x 时，( )( )1 AB fxfx 满足； 当01x时，( )( )1 AB fxfx 满足； 当13x时，( )( )1 AB fxfx不满足； 当3x 时，( )( )1 AB fxfx
16、满足； 综上：(, 30,1)(3,)AB 21. 【答案】 2 170 C 【解析】34122020 xyz，, ,0 x y z ，由题意可知4| x，设4xm 则12412202033505myzmyz，则3|505y，因此505(mod3)y，则 1(mod3)y 设31yn，所以168, ,0mnzm n z，因为 , ,m n z都可以取到 0，为了使用隔板法的时 候让n取到 0，对n进行一个加 1 的操作，那么问题就变成1pn，则169mnp，169 个 1，170 个空，插入两块板，有 2 170 C 种。 22. 【答案】7 【解析】 20202021 231(mod3)，
17、20202021 233(mod4)，故7n 23. 【答案】充要条件 【解析】四点共圆，充要条件 24. 【答案】2 【解析】 1 ( )(1) 1g xfx 在 3,5上的最大值和最小值等价于求 1( ) fx 在 4,4上的最大值 和最小值，即 33 4( )452325log52 ,log25 x f xx 1 ( )(1) 1g xfx 在 3,5上的最大值和最小值和为 3 2log52252 25. 【答案】 17 ,8 4 【解析】直线 22 124 4,4 2 ykxk yx kk 恒过(2,4)P 2 48 0,4,2,0AB kk 22 14181411 422448,0,
18、 224 AOBP S kkkkk 所以 17 ,8 4 S 26. 【答案】 14 3 x 【解析】由PABPCD，设,PAx PBy 则 1 25 25 x yx y ， 1 24 24 y yx x ，所以 14 3 x 27. 【答案】 9 10 【解析】 3 3 3 5 9 1 10 C C 28. 【答案】A 【解析】 22 23 2222 1111(1) (1) (1)(1)(1)0 xxxx xxx xxxx xxxxx 正确； 选项 B，当1,2xy不成立；选项 C，当1,2,0 xyz，不成立，故选 A。 29. 【答案】6 或 7 【解析】 2 111 1 (1)3 (1)3 913 244 n ni i n nn n Saaanadnnn 当6n 或7n 时， n S取得最大值。 30. 【答案】1128 【解析】当甲丙在第一二天时，则 5 5 120A 种； 当甲丙在第二三天时，则 25 25 240A A 种； 当甲丙连续在三四五六七时，则 24 24 44768AA种； 共120 2407681128 种。
