1、第十章三角恒等变换 知识网络 第十章三角恒等变换 三 角 恒 等 变 换 两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式 sin（）=sincoscossin cos（）=coscos芎sinsin tan（）= tantan 1芎tantan 辅助角公式 asinbcos=a2+b2姨sin（）， 其中tan=b a （a0） 和角公式 二倍角公式 sin2=2sincos cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2 tan2= 2tan 1-tan2 升幂、 降幂公式 升幂公式 降幂公式 1+cos=2cos2 2 1-cos=2sin2 2 cos2=1+cos2 2 sin2=
2、1-cos2 2 半角公式 sin 2 = 1-cos 2姨 cos 2 = 1+cos 2姨 tan 2 = 1-cos 1+cos姨 =1-cos sin = sin 1+cos 倍角公式和 半角公式 概述： 本章是三角函数和平面向量这两章的延续， 它是解决生产、 科研等实际问题的有效 工具， 又是进一步学习其他知识和高等数学的基础， 在高考中主要考查三角恒等式的变 换、 化简、 求值、 证明， 并利用化简后的结果研究有关性质和应用， 通过本章学习， 学生 的推理能力和运算能力将得到进一步提高. 81 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DIN
3、GLI DINGLU TUBIAO 三、 学习方法引导 例1求下列各式的值： （1）sin 12 -3姨cos 12 ；（2） 1-tan15 1+tan15 . 思路引导：本题可通过角度的加减： 12 = 3 - 4 ，15=45-30， 实现从一般角度到特殊角度的转化， 从而求解； 本题也可以灵活运 用公式 （逆用或变形用） 求解. 通过两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式， 可以将一些非特殊角的三角函数转化为特殊角的三 角函数求解.两角和与差的正弦公式可记为：“正余余正符号同”； 余弦公式可记为：“余余正正符 号异”.公式的逆用或将公式变形后使用更能开阔思路， 激活思维， 因此只有学会了
4、公式的逆用和 变形运用， 才是真正地掌握了公式. 二、 重要概念剖析 本节公式较多， 要 把 握 好 公 式 的 结 构 特 征， 熟悉公式的来龙去 脉， 这样才能准确记忆 公式， 此外还要注意公 式的逆用、 变形运用. 要点提示: 10.1和 角 公 式 一、 知识图表 两 角 和 与 差 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式 sin（）=sincoscossin， cos（）=coscos芎sinsin， tan（）= tantan 1芎tantan . 辅助角公式 asinbcos=a2+b2姨sin（）， 其中tan=b a （a0）. 公式的逆用 和变形使用 tantan=ta
5、n（） （1芎tantan）， tan+tan+tantantan（+）=tan（+）， 1-tantan=tan+tan tan（+） ， tantan=1-tan+tan tan（+） . 角的代换 =（+）-， =1 2 （+）+（-）， =1 2 （+）-（-）. 名师经验谈：应熟练把 握好公式的结构特征， 根 据 三 角 函 数 式 的 特 点， 善于观察差异， 寻 找联系， 实现转化， 还 要注意公式的逆用、 变 形运用. 82 第十章三角恒等变换 解： （1） 解法一：sin 12 -3姨cos 12 =sin 3 - 4 ?- 3姨cos 3 - 4 ?4=sin 3 cos
6、4 -cos 3 sin 4 -3姨cos 3 cos 4 - 3姨sin 3 sin 4 =-2姨. 解法二：sin 12 -3姨cos 12 =2 1 2 sin 12 - 3姨 2 cos 12 24 =2 sin 6 sin 12 -cos 6 cos 12 ?4=-2cos 6 + 12 ?4=-2cos 4 =-2姨. （2） 1-tan15 1+tan15 = tan45-tan15 1-tan45tan15 =tan（45-15）= 3姨 3 . 例2已知、为锐角，cos= 1 7 ，cos（+）=- 11 14 ， 求cos的大 小. 思路引导：注意到条件中的角与待求结论中的
7、角存在着以下关系： =（+）-， 因此可以利用两角差的余弦公式求解. 解： 、为锐角， 且cos= 1 7 ，cos（+）=- 11 14 ， sin=1-cos2姨= 43姨 7 ，sin（+）=1-cos2（+） 姨= 53姨 14 ， cos=cos（+）-=cos（+）cos+sin（+）sin= - 11 14 ?4 1 7 + 53姨 14 43姨 7 = 1 2 . 1.（2011 福建） 若 0 ， 2 24 ， 且sin2+cos2=1 4 ， 则tan的 值等于 （） A. 2姨 2 B. 3姨 3 C.2姨D.3姨 答案：D 2.（2011浙 江 ） 若0 2 ，- 2
8、0，cos 4 + 24 = 1 3 ， cos 4 - 2 24= 3姨 3 ， 则cos + 2 24=（） A. 3姨 3 B. - 3姨 3 C. 53姨 9 D. - 6姨 9 答案：C 名师经验谈：对于给值 求 值 问 题 ， 关 键 在 于 “变角”， 使 “所求角” 变为 “已知角”， 要注 意拆角、 拼角等技巧及 公式的灵活运用. 四、 高考回眸 高考命题趋势：新课标 加强了两角和与差的正 余弦、 正切与其他知识 的综合， 这点将成为今 后高考命题的方向， 应 予以重视. 83 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI D
9、INGLU TUBIAO 由公式cos2=1-2sin2=2cos2-1， 得sin2 2 =1-cos 2 ，cos2 2 =1+cos 2 ， 上述公式从右往左看是 “升幂”， 从左往右看是 “降幂”， 将上述公式开方， 就得到半角公式.结合公式sin=2sin 2 cos 2 ， cos=cos2 2 -sin2 2 ， 又可以得到万能公式. 例1求下列各式的值： （1）1-2sin2750；（2）sin10sin50sin70. 思路引导：运用公式时， 不仅要善于观察题目的结构特点， 直接运 用公式， 还要善于逆用公式， 以及变形用. 二、 重要概念剖析 10.2倍角公式和半角公式 一
10、、 知识图表 （1） 对 “二 倍 角 ” 应有广义的理解， 如 2 是 4 的二倍角， 当= k + 2 （k Z）时 ， tan不存在， 此时tan2 的 值 可 用 诱 导 公 式 求 得， 而不能用倍角公式 进行计算. 要点提示: （2） 半角公式中根 号前的 “+”、“- ”， 由 2 所在象限确定. 三、 学习方法引导 二倍角公式 sin2=2sincos cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2 tan2= 2tan 1-tan2 升幂公式 1+cos=2cos2 2 1-cos=2sin2 2 降幂公式 cos2= 1+cos2 2 sin2= 1-cos2
11、 2 半角公式 sin 2 = 1-cos 2姨 cos 2 = 1+cos 2姨 tan 2 = 1-cos 1+cos姨 = 1-cos sin = sin 1+cos 84 第十章三角恒等变换 解： （1） 原式=cos（2750）=cos1500 =cos（60+4360）=cos60= 1 2 . （2） 原式=cos20cos40cos80 = 2sin20cos20cos40cos80 2sin20 = 2sin40cos40cos80 4sin20 = 2sin80cos80 8sin20 = sin160 8sin20 = 1 2 . 例2化简： 1+sin-cos 1+si
12、n+cos + 1+sin+cos 1+sin-cos . 思路引导：根据本题各分式的分子、 分母的构成， 可利用二倍角的 正弦、 余弦公式， 将分子、 分母均予以化积， 之后约分化简. 解： 原式= 2sin2 2 +2sin 2 cos 2 2cos2 2 +2sin 2 cos 2 + 2cos2 2 +2sin 2 cos 2 2sin2 2 +2sin 2 cos 2 = sin 2 cos 2 + cos 2 sin 2 = sin2 2 +cos2 2 sin 2 cos 2 = 2 sin . （2008湖北） 设cos - 2 2?=- 1 9 ，sin 2 - 2? = 2
13、 3 ， 其中 2 ， 2? ， 0 ， 2 2? ， 求cos（+） 的值. 答案：- 329 729 名师经验谈：（1） 当 单角是非特殊角而其倍 角是特殊角时， 常用倍 角公式将其化为特殊角 求值. （2） 二倍角正弦公 式连续使用时， 要注意 构 造 余 弦 的 二 倍 角 关 系， 解决此类问题的关 键是如何凑成公式的形 式. 名师经验谈：公式顺用 是常见的， 但逆用和变 形后用则往往容易被忽 视， 而公式的逆用和变 形 后 用 则 更 能 开 阔 思 路， 培养从正向思维向 逆向思维转化的能力. 四、 高考回眸 高考命题趋势：近几年 高考试题中常常以选择 题、 填空题形式考查二 倍角以及其他和角公式 的应用， 估计今后仍将 成为命题方向. 85
