1、书书书 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 高? ? ? ?级第二次诊断性考试 数学?理工类?参考答案 评分说明? ?本解答给出了一种或几种解法供参考? 如果考生的解法与本解答不同? 可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则? ?对计算题? 当考生的解答在某一步出现错误时? 如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度? 可视影响的程度决定后继部分的给分? 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半? 如果 后继部分的解答有较严重的错误? 就不再给分? ?解答右端所注分数? 表示考生正确做到这一步应得的累加分数? ?只给整数分?选择题和填空题不给中间分? 一? 选择题?
2、? ?分? ?答案?因为? ? ? 所以? 命题意图? 本小题主要考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法? 并集运算等基础知识? 考 查运算求解能力? ?答案?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以其虚部是? ? ? 命题意图? 本小题主要考查两个复数的除法运算? 复数的虚部的概念等基础知识? 考查运算求 解能力? ? 答案? 由? ? ? ? ? ? ? ?为锐角? 得? ? ? ? ? ? 槡? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ?
3、 ? ?槡 ? ? ? 槡? ? ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查同角三角函数关系? 两角差的余弦公式? 三角函数求值等基础知识? 考查运算求解能力及应用意识? 考查化归与转化等数学思想? ? 答案?槡? ? ? ? 的展开式中?的项为? ?槡? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? 故 ? 命题意图? 本小题主要考查二项式展开式及其系数等基础知识? 考查运算求解能力? 考查化归 与转化数学思想? ?答案?根据正方体性质? 有? ?平面?于是? ? 其余不正确? 命题意图? 本小题考查空间直线? 平面的位置关系等基本知识? 考查推理论证? 空间想象等数学 能力? 考查数形结合等数学思想?
4、 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? ? 答案? 当?为奇数时? ? 数列? 是首项为? 公差为?的等差数列? 当?为偶数 时? ? 数列? 是首项为? 公差为?的等差数列? 即常数列? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查等差数列的基本量? 前?项和? 通项公式等基础知识? 考查运算求解 能力和应用意识? 考查分类讨论等数学思想? ? 答案? 易得直线? ?的方程为? ? 设 ? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? 消去?有 ? ? ? 从而? ?故选? 命题意图? 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系? 抛物线标准
5、方程和几何性质等基础知 识? 考查运算求解等数学能力? 考查化归与转化? 数形结合等数学思想? ?答案?由? 可知? 是偶函数? 排除? 当?时? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? 可知 ? ? ? ? 在? 上单调递增? 且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则存在? ? ? ? ? 使得 ? ? ? ? ? 当? ?时? ? ? ? ? 单调递减? 当?时? ? ? ? ? 单调递增? 且?是? 在? 上唯一极小值点? 故选 ? 命题意图? 本小题考查函数图象和性质? 函数的导数及应用等基础知识? 考查推理论证能力? 创 新意识? 考查数形结合等数学思想?
6、?答案? ? ? ?的面积? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当仅当? ? ? ? ?时? ? 成立? 此时点?到 直线?的距离为? 槡? ?设? ? 则 ? ? ? ? ? ? 槡? 槡? ? 解得? 所以方程为? ? 命题意图? 本小题主要考查直线方程? 圆的方程等基本知识? 考查运算求解等数学能力? 考查数 形结合? 化归与转化等数学思想? ? ? 答案? ?记抽到自己准备的书的学生数为? 则? 可能值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ?
7、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查概率? 离散型随机变量分布列和期望等基础知识? 考查运算求解能 力? 应用意识和创新意识? 考查化归与转化? 概率统计等数学思想? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? ? ? 答案 ? 设? ? ? 则? ? ? ? ? 从而? ? ? ? 进而? ?过?作? ? ? 则 ?在 ? ? ? 中? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? 在 ? ? ? ? ?中? ?槡? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? 所以 ?槡? ? 命题意图? 本小题主要考查双曲线标准方程和几何性质? 直线与双曲线的位
8、置关系等基础知 识? 考查运算求解能力与应用意识? 考查化归与转化? 数形结合等数学思想? ? ? 答案? 原不等式化为? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 ? ? ? ? 知? 在? 上单调递增? 原不等式转化为? ? ? ? ? 所以? ? ? ? 即 ? ? ? ? 设 ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? 当? ?时? ? ? 单调递减? 当?时? ? ? 单调递增? 故当? ?时 ? 取得最小值? 所以?的最大值为? ? 命题意图? 本小题主要考查函数的性质? 不等式等基础知识? 考查抽象概括? 运算求解等数学 能力? 考查化归与转
9、化等数学思想? 二? 填空题? ? ?分? ? ?答案?由题意? 有 ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 可解得? ?满足答案? 命题意图? 本小题主要考查向量夹角? 数量积运算的等基础知识? 考查运算求解等数学能力? ? ?答案? ? ?设等比数列? 的公比为? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有? ? ? 解得? ? ? ? ? ? 舍去? ? 所以? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查等比数列的基本量? 通项公式及前?项和公式等基础知识? 考查运 算求解能力及应用意识? 考查方程
10、等数学思想? ? ? 答案? ? ? ? 第一空?分? 第二空?分? 函数? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为函数? 的最大值为 ? 最小值为 ? 所以 槡? 槡? ? ? ? ? ? 解得 ?槡? ? ? ? ? ? 因为函数? 图象的相邻两条对称轴之间的距离为? ? 所以函数? 的最小正周 期为? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 命题意图? 本小题主要考查三角函数的图象及其性质? 最值问题? 最小正周期等基础知识? 考 查运算求解能力及应用意识? 考查化归与转化? 数形结合等数学思想? ?
11、? 答案? ? 设圆锥的底面圆半径为? ? 高为? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? 从而 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求导可得? ? ? ? 于是? ? 在? ? ? 上单调递增? 在? ? ? ? ? 单调递减? 则当?时? 体积取得最大值为? ? 命题意图? 本小题考查空间几何体? 球体体积公式等基础知识? 考查数形结合思想? 考查推理 论证? 运算求解等数学能力? 三? 解答题? 共? ?分? ? ?解析? ? 由题意? 得? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ?关于?的回归方程为? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? 第 ? ?天接种人数?的预报值? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ?人?分 当? ?时? ? ?的预报值? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ?时? ? ?的预报值? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故预计从第? ?天开始? 接种人数会突破? ? ? ?人? ? ?分 命题意图? 本小题主要考查回归方程? 统计案例等基本知识? 考查抽象概括? 数据处理等能力 和应
13、用意识? 考查统计思想? ? ?解析? ? 法一? 因为? ? ? 由正弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ?分 因为? ? ? 所以? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? 因为? ? ? 所以? ? ?分 法二? 因为? ? ? 由余弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 整理得? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14、? ? ?分 又? 所以? ? ?分 ? ? 由? ? 得 ? ? 根据题意得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ?分 在? ? ?中? 由正弦定理得 ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ?分 因为? ? ? ? 所以? ? ? ? 槡? ? ? ? ? 所以 槡? ? ? ? ? ? 所以? 槡? ? ? ? ? 故?的取值范围为? ? ?分 命题意图? 本小题主要考查正弦定理? 余弦定理? 两角和正弦公式? 正切函数的取
15、值范围等基 础知识? 考查运算求解能力及应用意识? 考查化归与转化? 方程等数学思想? ? ? 解析? ? ? 因为? ?面? ? ? ?面? ? ? 面? ? ?面? ? ? ? 所以? ? ? ?分 在线段? ?上取点? 使得? ? 从而? ? ? 又? ? ? 所以? ? ?是平行四边形? 所以? ? ? 又 ? ?槡? ? 于是? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? 所以? ? ?分 因为? ? ? ?是正方形? 则? ? ? 而 ? ? ? 所以?平面? ? ? ?分 ? ? 因为? ?槡? ? ? ? 即? ? ? ? ? 所以? ? ? 从而? ? ?两两相互垂直? 数学? 理工
16、类? 试题答案 第?页? 共?页? 以?为原点建立如图所示空间直角坐标系? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 设平面? ? ?的法向量为? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? 可取? ?分 设平面? ? ?的法向量为? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? 可取? ? ?分 所以? ? ? ? 槡? ?槡? ? 槡? ? ? ? 所以二面角? ?余弦值为? 槡? ? ? ? ? ?分 命题意图? 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系? 直线与平面平行和垂直? 二面角等基 础知识? 考查空间想象能力? 运算求解能力? 推理论证能力和创新意
17、识? 考查数形结合? 化归与 转化等数学思想? ? ?解析? ? ? 当 ?时? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? 若? ? ? ? ? 单调递增? 不合题意? 若? ? 由 ? ? ? ? ?得 ? ? ? ? ? ? ?时? ? ? 单调递减? ? ?时? ? ? ? ? 单调递增? 此时? 所以? 的极小值为? ? ? ? ? ? ? ? 有两个零点? 则? ? ? 即? ? ? 所以? 故?的取值范围是? ?分 ? ? 由题 ? ? ? ? ? ? 若? ? ? ? ? 单调递增? 当?时? 此时存在? 使得? 不符合题意? 若? ? 由 ? ? 知? ? ? 即 ? 满足?
18、 ? ? ?分 若? ? 由 ? ? ? ? ?得 ? ? ? ? 当 ? ? ?时? ? ? ? ? ? 当 ? ? ?时? ? ? ? ? 则? ? 在 ? ? ?时极小值? 也即为最小值? 则有? ? ? ? ? ? 所以? ? ? 则 ? ? ? ? ? ?分 令? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 可知 ? ? ? ? 单调递减? 由于 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故存在? ? ? ? ? ? ? 使得 ? ? ? ? ? 即有? ? ? ?
19、?分 当? ?时? ? ? ? ? 单调递增? 当?时? ? ? ? ? 单调递减? 所以? 当?时? ? 取得最大值? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于? ? ? ?在 ? ? ? ? ? ? 单调递增? 故? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ?分 命题意图? 本小题主要考查导数的几何意义? 导数及其应用? 函数极值与最值点等基础知识? 考查推理论证? 运算求解等数学能力和创新意识? 考查分类与整合? 函数与方程及数形结合等 数学思想? ? ? 解析? ? ? ? 设 ? ? 则? ? 由题意得焦点为? ? 槡? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡
20、? ? ? 槡? ? ? ? ? ? 当 ? ? ? ? ? ? ? ?时? 有? ? ? ? ? ? ?分 联立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 从而 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将?槡 ? ? 代入? 得 ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? 故?槡? ? ?分 ? ? 由? 知?槡? ? ? 椭圆? ? ? ? ? ? 设? ?槡? ? ? ?槡? ? 代入椭圆? ? ? ? 得 ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ?槡? ? ? ? 而? ? ? ?
21、 ? 即?槡? ? ? 槡? ?槡? ? ? ? 从而? ? 槡? ? ? ?分 同理? ? ?槡? ? ? ?槡? ? ? 槡? ? ? 从而? ? ? ? 槡? ? ? ? ?分 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 于是? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以直线? ? ? ? ? ? ? ?分 令? ? 得 ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? 将? ? 槡? ? 代入得? ?槡 ? 所以? ?经过定点 ? ?槡 ? ? ? ? ? ?分 命题意图? 本小题主要考查椭圆的定义?
22、 标准方程及其几何意义? 直线与椭圆的位置关系等基 础知识? 考查推理论证? 运算求解等数学能力和创新意识? 考查化归与转化等数学思想? 选考题? ? ?分? ? ? 解析? ? ? 将曲线?的参数方程化为普通方程? 得? ? ? ? ? ? ?分 曲线?的极坐标方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? 有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得曲线?的直角坐标方程为? ? ?分 ? ? 法一? 将 ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ?为参数? 代入曲线?的方程得?槡 ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 即? ? 槡? ? ?
23、分 由于? 槡? ? ? ? ? ? 故可设? ?是方程? ? 槡? ? ?的两个不同的实根? 所以? ?槡槡? ? ?槡槡? ? ? ?分 由?的几何意义得? ? ?槡? ? ?分 同理将 ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ?为参数? 代入曲线?的方程得? ? ? 解得两根为? ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 所以? ?槡? ? ?分 故? ? 槡槡槡? ? ? ? ? ?分 法二? 直线?的普通方程为? 将直线?与曲线?的方程联立? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? 消去? 整理得? ? ? 设? ? ? ? 则?分
24、所以? ? 槡? ? ?槡? ? ? 槡槡? ? ?分 而曲线?是以? 为圆心? 槡? ? 为半径的圆? 显然点? 在直线? ?上? 所以?槡 ? ? 槡? ?分 故? ? 槡槡槡? ? ? ? ?分 命题意图? 本小题主要考查直线? 圆的参数方程与普通方程互化? 抛物线的极坐标方程与直角 坐标方程互化? 直线与圆? 直线与抛物线的位置关系等基础知识? 考查运算求解? 逻辑推理等 数学能力? 考查数形结合等数学思想? ? ?解析? ? ? 当 ?时? ? ? ? 则 ?等价于? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ? ?分 解得? ? 故原不等式的解集为? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? 由 ? ? ? 所以? 的最大值为? ? ?分 所以对于任意实数? 不等式? ? ?恒成立等价于? ? ? ?恒成立? ?分 即? ? ? ? ? 解得?或?分 故?的取值范围为? ? ?分 命题意图? 本小题主要考查求解绝对值不等式? 讨论含参不等式成立问题等知识? 考查运算求 解? 推理论证能力? 考查化归与转化等数学思想?
