1、3圆的面积 本节的内容包括圆的面积的认识、面积公式的推导及应用、圆环的面积和解 决实际问题等。教材从解决实际问题出发,引导学生利用转化的方法把圆转化为 长方形来计算其面积。这样的转化过程能够让学生深刻体会到“化曲为直”的转化 思想和“无限逼近”的极限思想。在计算圆环的面积时,直接运用类推的思想,由圆 的面积迁移而来。教材在解决实际问题的设计中,采用了很多典型的生活素材,让 学生充分感受所学知识的价值,体会数学与生活的紧密联系。 1.理解圆的面积和圆环的意义。 2.经历圆的面积的推导过程,理解圆的面积公式,掌握圆和圆环的面积计 算公式,能运用公式解决实际问题。 3.通过圆的面积的推导过程,体验“
2、化曲为直”的转化思想和“无限逼近”的极限 思想,培养学生的动手操作、自主探索的能力。 4.能灵活运用知识解决“外方内圆”和“外圆内方”等生活实际问题。 【重点】 理解和掌握圆及圆环的面积公式,能应用公式解决实际问题。 【难点】 理解圆的面积公式的推导过程。 第课时圆的面积 1.使学生理解圆的面积的含义,理解圆的面积的计算公式的推导过程,掌握圆 的面积的计算公式。 2.培养学生动手操作、抽象概括的能力,运用所学知识解决简单实际问题。 3.通过猜测、操作、验证、讨论等活动,使学生进一步体会转化的数学思想。 【重点】 圆的面积的计算公式的推导过程以及公式的应用。 【难点】 利用转化的思想推导出圆的面
3、积的计算公式。 【教师准备】PPT 课件、实物展台、把圆分成 16 等份和 32 等份的模型 【学生准备】圆规、圆形纸片、把圆分成 16 等份和 32 等份的模型 师:什么是面积? 预设 生:一个图形所占平面的大小就是它的面积。 师:我们学习了哪些平面图形的面积公式?分别是什么? 预设 生 1:长方形的面积等于长乘宽,正方形的面积等于边长的平方。 生 2:三角形的面积等于底乘高除以 2。 生 3:平行四边形的面积等于底乘高。 梯形的面积等于上底加下底的和乘高除 以 2。 师:看来同学们学得不错。 这段时间,老师所住的小区进行环境美化,工人叔叔 正在植草皮。看看图,你能收集到哪些信息?(课件出示
4、) 预设 生 1:这是一个圆形草坪。 生 2:每平方米的草皮 8 元。 生 3:这个圆形草坪的面积是多少? 师:这个圆形的草坪的面积是多少呢?如何求一个圆的面积?今天我们一起来 探索圆的面积计算方法。(板书课题) 先复习面积的意义、 各种平面图形的面积公式,为圆的面积的意义及 计算公式的推导做好铺垫。圆的面积公式的推导是难点,它要运用转化和类推的 思想方法,这里的复习能给学生提示,减小思维的难度。 师:同学们,我们已经学习了圆的哪些相关知识? 预设 生 1:认识了圆的各部分名称及圆的特征。 生 2:知道了圆的周长计算公式是 C=d,会应用公式解决问题。 师:这一节课我们就一起来研究怎样计算圆的
5、面积。(板书课题:圆的面积) 由同类知识顺势引出学习内容,让学生体会到知识的连续性和关联 性,并且能把圆的周长公式的推导中运用到的“化曲为直”的思想迁移到圆的面积 公式的推导中来。 一、圆面积的含义 1.师:同学们,我们来进行一个小比赛,以同桌两人为比赛的小组。每个人挑选 一张圆形纸片,同桌两人所选的要是大小不同的圆形纸片。 师:比赛要求是用彩笔涂出你所挑选的圆片的面积,比赛开始! 2.学生涂色。 师:说说比赛的结果,和你赢(或输)的原因。 预设 生 1:我输了,因为我拿的圆比他的大,所以涂色的面积就大些。 生 2:我赢了,因为我拿的圆面积小一些。 师:圆的面积是指什么?它的大小和什么有关呢?
6、你们考虑这个问题没有? 预设 生 1:圆的面积是指圆所占平面的大小。它有大有小。(板书) 生 2:我想圆的面积和它的直径有关。 生 3:我想圆的面积应该和它的半径有关,半径越大,面积越大。 用涂色比赛的方式,在活动中让学生感受圆的面积的意义、 圆的面积 的大小与圆的半径有关等,为概念的形成提供切身体会。比赛的方式,会让学生学 习的积极性更高。 二、回顾旧知,渗透转化思想 1.小组讨论:平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是怎样推导出来的? 2.汇报交流。 (根据学生汇报课件演示,教师讲解) 平行四边形长方形 三角形平行四边形 梯形平行四边形 师:这些图形的面积公式的推导过程有什么共同点? 预
7、设 生:都要把图形转化为已经学过的图形来推导。 师:我们学习一种新图形的面积时,通常都要运用拼、凑、割、补的方法,把它 转化成已经学过的图形,再根据两者之间的关系,推导出新图形的面积公式。那么 是否也可以把圆转化成一个已学过的图形来推导圆面积的计算公式呢? 巩固旧知识的理解和掌握,为后续圆的面积的推导做好知识迁移和 类推的铺垫。 三、探究圆的面积公式 1.师:请同学们拿出准备好的圆形纸片及等份模型,小组合作,动手拼一拼,看 可以把圆转化成什么图形。 动手操作,小组交流。 每个小组确定一位同学发言。 2.请同学上台展示交流。 教师利用课件边演示边描述:把这个圆平均分成16份,沿着直径来切,变成1
8、6 个近似的等腰三角形,拼成一个近似的平行四边形。(课件出示) 如果把这个圆平均分成 32 份,沿着直径来切,变成 32 个近似的等腰三角形, 拼成一个近似的长方形。 师:如果老师再继续分下去,分的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就会 越接近于什么图形? 预设 生:长方形。 3.师:观察拼成的长方形与原来的圆。讨论完成这三个问题:(课件出示) (1)转化的过程中它们的发生了变化,但是它们的不变; 转化后长方形的长相当于圆的,宽相当于圆的。 (2)师:你能从计算长方形的面积推导出计算圆的面积的公式吗? (汇报交流并板书) 长方形的面积=长宽 圆的面积=圆周长的一半半径 4.得出圆的面积计算公
9、式。 师:如果圆的半径用 r 表示,那么圆周长的一半用字母怎么表示?圆的面积的 计算公式呢? 小组讨论、交流,再汇报。 预设 生 1:S=rr 生 2:可以简单点嘛,两个 r 相乘就是 r 的平方,所以 S=r2。 全开放性地操作、讨论、交流,让学生经历圆面积的推导全过程,理 解圆的面积公式,体会转化、割补等思想方法。 四、应用圆的面积计算公式 (课件出示教材第 68 页例 1) 圆形草坪的直径是 20 m,每平方米草皮 8 元。铺满草皮需要多少钱? 师:你知道了什么? 预设 生 1:我知道圆形草坪的直径是 20 m,每平方米草皮 8 元。 生 2:要求“铺满草皮需要多少钱?” 师:你如何来解
10、决这个问题? 预设 生 1:我要先求出圆形草坪的面积,再求钱数。 生 2:我要先求出半径的长度,因为圆的面积公式是 S=r2。 师:请大家独立完成,然后请两名同学上台板演。 全班交流。 预设 生:先求出圆形草坪的半径:202=10(m),再求出圆形草坪的面 积:3.14102=314(m2),最后求出钱数:3148=2512(元)。(板书) 师:计算圆的面积关键是什么? 预设 生:关键是要知道圆的半径是多少。如果不知道,也要先求出来,再运用 面积公式计算。 练习 1 1.教材第 68 页“做一做”第 1 题。 学生读题,理解题意。 师:说一说已知圆的什么,求什么,要先求出什么。 预设 生:已知
11、圆的直径,求面积,要先求出半径,再利用公式计算出面积。 独立完成,集体订正。 2.教材第 71 页练习十五第 1 题。 独立完成,集体订正。 【参考答案】 1.(教材第68页“做一做”)1.12=0.5(m)3.140.52=0.785(m2) 2.(教材第 71 页练习十五)1.(从左往右,从上往下)8 cm50.24 cm24.5 cm 63.585 cm23 cm28.26 cm240 cm1256 cm2 练习 2 完成相关习题。 师:这节课我们学习的内容是什么? 预设 生:圆的面积。 师:圆的面积公式是如何推导出来的? 预设 生 1:先把圆等分,再剪开,接着穿插拼组,成为一个近似的长
12、方形。 生 2:用的是转化的方法,把圆转化成长方形,再根据对应的关系,得出圆的面 积公式。 作业 1 教材第 71 页练习十五第 2,3,4 题。 作业 2 完成相关习题。 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 长方形的面积=长宽 圆的面积=圆周长的一半半径 rr S=rr=r2 草坪半径:202=10(m) 草坪面积:3.14102=314(m2) 3148=2512(元) 本节课利用学生已有经验,渗透转化的思想。 运用多媒体演示,学生操作学具, 让学生多种感官参与,通过观察、比较、分析,发现转化前后的区别与联系,让学生 推导出圆的面积计算公式。这样由“扶”到“放”,由现象到本质的引导,
13、又使学生亲身 经历数学化的学习过程,学生思维在交流中碰撞,在碰撞中发散,在想象中得以提 升。探索能力、分析问题和解决问题的能力得到了提高。 操作过程中有点乱,主要是小组成员不明白自 己该做什么。 再教这个内容时,对于操作活动要分配任务,让每一个学生都有序地活动。 一个圆形花坛的周长是 37.68 m。这个花坛的占地面积是多少? 名师点拨题中给出的是圆形花坛的周长,要想求花坛的占地面积,可先求 出花坛的半径。 半径等于周长除以圆周率,再除以 2,然后根据圆的面积公式计算。 解法 137.683.142=6(m), 3.1462=3.1436=113.04(m2)。 答:这个花坛的占地面积是 11
14、3.04 m2。 解法 23.14 37.68 3.142 2 =3.1462 =3.1436 =113.04(m2)。 答:这个花坛的占地面积是 113.04 m2。 【知识拓展】(1)已知 C 求 S,利用公式 S= C 2 2 = C2 42= C2 4。(2)已知 d 求 S,利用公式 S= d 2 2=d2 4 =d 2 4 。 长阔共几何 我国南宋时期的著名数学家杨辉 1275 年所著的田亩比类乘除算法一书 中有这样一道题: 直田积八百六十四步,只云阔不及长十二步,问长阔共几何? “步”是古代的长度单位。题目的意思是有一块长方形田,面积为 864 平方步, 已知它的宽比长少 12 步,则它的长和宽共多少步?你能算出来吗? 【参考答案】60 步 九章重差图 刘徽于263年左右,发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积 则可无限逼近圆的面积,即所谓“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与 圆周合体而无所失矣。”刘徽采用了“以直代曲、无限趋近、内外夹逼”的思想,创 立了“割圆术”。重差原为九章算术注的第十卷,即后来的海岛算经, 内容是测量目标物的高和远的计算方法。重差法是数学中的重要方法。
