1、大一轮复习讲义 第七章立体几何与空间向量 7.4直线、平面垂直的判定与性质 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系 的简单命题. 考试要求 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.直线与平面垂直直线与平面垂直 (1)定义 如果直线a与平面内的 直线都垂直，则直线a与平面互相垂直， 记作a，直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面垂线和平 面的交
2、点即为垂足 知识梳理 任意一条 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个 平面内的两条 直 线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面 l 性质 定理 如果两条直线垂直于 同一个平面，那么这 两条直线_ ab (2)判定定理与性质定理 _ _ _ _ _ _ 相交 a，b abO la lb 平行 a b 2.直线和平面所成的角直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和 所成的锐角，叫做这条直线和这个 平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ，若一条 直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 的角 它在平面上的射影 直角 0 3.平面与平面垂直平面与平面垂直 (1)
3、二面角的有关概念 二面角：一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫 做二面角； 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分 别作 的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 (2)平面和平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是 ，那么就说这两个平面互相 垂直 两个半平面 垂直于棱 直二面角 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一 个平面的一条 ，那 么这两个平面互相垂直 性质 定理 如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直 于它们 的直线垂直 于另一个平面 (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 垂线 交线 1.若平面，且l，若直线ml，则m与平
4、面一定垂直吗？ 微思考 提示不一定，当m时，m. 2.空间中任一直线m，在平面内是否存在无数条直线与m垂直？ 提示存在. 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)垂直于同一个平面的两个平面平行.() (2)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.() (3)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.() (4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面.() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.下列命题中错误的是 A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C.如
5、果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 解析对于D，若平面平面， 则平面内的直线可能不垂直于平面， 即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内， 其他选项均是正确的. 3.设，为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析依题意，由l，l，可以推出； 反过来，由，l不能推出l， 因此“l”是“”成立的充分不必要条件，故选A. 4.如图，已知AB平面BCD，BCCD，则图中互相垂 直的平面有_对.3 解析AB平面BCD，AB平面ABD，AB平面ABC， 平面ABD
6、平面BCD，平面ABC平面BCD. 又ABCD，BCCD，ABBCB， CD平面ABC. 又CD平面ACD， 平面ACD平面ABC. 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.“直线a与平面内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面垂直”的 _条件. 必要不充分 6.在三棱锥PABC中，点P在平面ABC上的射影为点O. (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心； 外 解析如图1，连结OA，OB，OC，OP， 在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB， 所以OAOBOC， 即O为ABC的外心. (2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.垂 解析如图2，延长AO，BO，CO分别
7、交BC，AC，AB于点H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB， PC平面PAB，又AB平面PAB， PCAB， ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC， AB平面PGC，又CG平面PGC， ABCG，即CG为ABC边AB上的高. 同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高， 即O为ABC的垂心. TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 例1如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，AB平面PAD， ADAP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MNAB， MNPC.证明：AEMN. 题型一直线与平面垂直的判定与性质
8、 师生共研 证明AB平面PAD，AE平面PAD， AEAB， 又ABCD，AECD. ADAP，E是PD的中点，AEPD. 又CDPDD，CD，PD平面PCD， AE平面PCD. MNAB，ABCD，MNCD. 又MNPC，PCCDC，PC，CD平面PCD， MN平面PCD，AEMN. 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递 性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面 垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂 直的性质. 思维升华 跟踪训练1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，A
9、BAD，ACCD，ABC60，PA ABBC，E是PC的中点，证明： (1)CDAE； 证明在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD， ACCD，PAACA，CD平面PAC. 而AE平面PAC，CDAE. (2)PD平面ABE. 证明由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD， AE平面PCD. 而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，PAAB. 又ABAD且PAADA，PA，AD平面PAD， AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD. 又ABAEA，AB，AE平面ABE，
10、 PD平面ABE. 题型二平面与平面垂直的判定与性质 师生共研 例2在矩形ABCD中，AB2AD4，E是AB的中点，沿DE将ADE折 起，得到如图所示的四棱锥PBCDE. (1)若平面PDE平面BCDE，求四棱锥PBCDE的体积； 解如图所示，取DE的中点M，连结PM， 由题意知，PDPE，PMDE， 又平面PDE平面BCDE，平面PDE平面BCDE DE，PM平面PDE， PM平面BCDE，即PM为四棱锥PBCDE的高. 在等腰直角三角形PDE中，PEPDAD2， (2)若PBPC，求证：平面PDE平面BCDE. 证明取BC的中点N，连结PN，MN， 则BCMN， PBPC，BCPN， MN
11、PNN，MN，PN平面PMN， BC平面PMN， PM平面PMN，BCPM， 由(1)知，PMDE，又BC，DE平面BCDE，且BC与DE是相交的， PM平面BCDE， PM平面PDE， 平面PDE平面BCDE. (1)面面垂直判定的两种方法与一个转化 两种方法： ()面面垂直的定义； ()面面垂直的判定定理(a，a). 一个转化： 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交 线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 思维升华 (2)面面垂直性质的应用 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时 要注意“平面内的直线”. 两个相交平面同时垂直
12、于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 跟踪训练2(2020江苏)在三棱柱ABCA1B1C1中， ABAC，B1C平面ABC，E，F分别是AC，B1C 的中点. (1)求证：EF平面AB1C1； 证明因为E，F分别是AC，B1C的中点， 所以EFAB1. 又EF 平面AB1C1，AB1平面AB1C1， 所以EF平面AB1C1. (2)求证：平面AB1C平面ABB1. 证明因为B1C平面ABC，AB平面ABC， 所以B1CAB. 又ABAC，B1C平面AB1C，AC平面AB1C， B1CACC， 所以AB平面AB1C. 又因为AB平面ABB1， 所以平面AB1C平面ABB1. 题型三垂直关
13、系的综合应用 师生共研 例3(2021红河州模拟)在四棱锥PABCD中，PAD是等边三角形， 且平面PAD平面ABCD，AD2AB2BC，BADABC90. (1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM平面ABCD，若存在，请证 明；若不存在，请说明理由； 解存在，当M为AD的中点时，使得平面PCM平面ABCD. 证明：取AD的中点M，连结CM，PM， 由PAD是等边三角形， 可得PMAD， 由平面PAD平面ABCD，PM平面PAD，平面PAD平面ABCDAD， 可得PM平面ABCD， 由PM平面PCM，可得平面PCM平面ABCD. 解设ABa，可得BCa，AD2a， 可得MCABMDa， 可
14、得a4， 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下， 利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件， 若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设. 思维升华 跟踪训练3如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱 形，ABC60，SAD为正三角形.侧面SAD底面ABCD，E，F分 别为棱AD，SB的中点. (1)求证：AF平面SEC； 证明取SC的中点G，连结FG，EG， F，G分别是SB，SC的中点， 四边形ABCD是菱形，E是AD的中点， FGAE，FGAE，四边形AFGE是平行四边形， AFEG，又AF 平面SEC，EG平面SEC， AF
15、平面SEC. (2)求证：平面ASB平面CSB； 证明SAD是等边三角形，E是AD的中点， SEAD，四边形ABCD是菱形，ABC60， ACD是等边三角形，又E是AD的中点， ADCE，又SECEE，SE，CE平面SEC， AD平面SEC，又EG平面SEC， ADEG，又四边形AFGE是平行四边形， 四边形AFGE是矩形，AFFG， 又SAAB，F是SB的中点， AFSB，又FGSBF，FG，SB平面SBC， AF平面SBC，又AF平面ASB， 平面ASB平面CSB. (3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD平面MAC？若存在，求 的值； 若不存在，请说明理由. 解假设在棱SB上存在点M，使
16、得BD平面MAC， 连结MO，BE，则BDOM， 四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC60， SAD为正三角形， 侧面SAD底面ABCD， 侧面SAD底面ABCDAD，SE平面SAD， SE平面ABCD，SEBE， KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.(2021海南模拟)设和是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线， 则下列说法不正确的是 A.若m，n，mn，则 B.若m，n，则mn C.若m，n，mn，则 D.若m，n，则mn 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析m，n，mn，并不能推出，这时和可能相交，故A 错误； 若m，则m，又n，则mn
17、，B正确； 若m，mn，则n或n，又n，则，C正确； 若m，则m，又n，则mn，D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，且直线m，直 线n，则下列命题为真命题的是 A.“mn”是“n”的充分条件 B.“mn”是“m”的既不充分又不必要条件 C.“”是“mn”的充要条件 D.“mn”是“”的必要条件 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析n能得到nm，但nm不能得出n，A错； mn时，m也可能在平面内，不能得出m， 反之，m，内的直线也不一定与m平行，即不能得出mn， “mn”是“m”的既不充
18、分又不必要条件，B正确； 时，m，n可能是异面直线，不一定平行， mn时，也可能相交，不一定平行，C错； 两个平面垂直，分别在这两个平面内的两条直线可能相交，可能平行， 不一定垂直，D错. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在 底面ABC上的射影H必在 A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.ABC内部 解析由ACAB，ACBC1，得AC平面ABC1. 因为AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC. 所以C1在平面ABC上的
19、射影H必在两平面的交线AB上. 4.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， 下面四个结论不成立的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.BC平面PDF B.DF平面PAE C.平面PDF平面PAE D.平面PDE平面ABC 解析因为BCDF，DF平面PDF， BC 平面PDF， 所以BC平面PDF，故选项A正确； 在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE， 且AE，PE平面PAE，所以BC平面PAE， 因为DFBC，所以DF平面PAE， 又DF平面PDF，从而平面PDF平面PAE. 因此选项B，C均正确. 12345678910 1
20、1 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)(2021济宁模拟)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条 体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l平面MNP的 图形为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于AD项，根据正方体的性质可得lMN，lMP， 可得l平面MNP. 而BC项，无法得出l平面MNP. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B 的任意一点，AEPC，垂足为E，点F是PB上一点，则下
21、列判断中正 确的是 A.BC平面PAC B.AEEF C.ACPB D.平面AEF平面PBC 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面， 而BC底面圆面，则PABC， 又由圆的性质可知ACBC， 且PAACA，PA，AC平面PAC， 则BC平面PAC.所以A正确； 对于B，由A项可知BCAE， 由题意可知AEPC，且BCPCC，BC，PC平面PCB， 所以AE平面PCB，而EF平面PCB， 所以AEEF，所以B正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 对于C，由B项可知AE平面PCB， 因而AC与平面P
22、CB不垂直， 所以ACPB不成立，所以C错误； 对于D，由B项可知，AE平面PCB，AE平面AEF， 由面面垂直的判定定理可得平面AEF平面PBC. 所以D正确. 7.已知ABC在平面内，A90，DA平面，则直线CA与DB的位 置关系是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 垂直 解析DA平面，AC平面，DACA， 在ABC中，A90，ABCA， 且DABAA，DA，BA平面ADB， CA平面DAB，DB平面DAB， CADB. 8.已知平面，和直线m，给出以下条件：(1)m；(2)m；(3)m； (4)；(5)，当条件_成立时，有m；当条件_成立 时，有m.(填所选
23、条件的序号) 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)(5)(2)(5) 解析根据面面平行的特征可得，若m， 则m； 根据线面垂直以及面面平行的特征可得， 若m，则m. 9.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相 等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平 面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 12345678910 11 12 13 14 15 16 DMPC(或BMPC等) 解析PA底面ABCD， BDPA，连结AC(图略)， 则BDAC，且PAACA，PA，AC平面PAC， BD平面PAC，BDPC. 当DMPC(或
24、BMPC)时，即有PC平面MBD， 而PC平面PCD，平面MBD平面PCD. 10.如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADAB1，ADAB，BCD 45，将ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A，并且平面 ABD平面BCD.则给出下面四个命题，正确的是_.(把正确结论 的序号都填上) 12345678910 11 12 13 14 15 16 ADBC； 三棱锥ABCD的体积为 ； BACA； 平面ABC平面ADC. 解析如图所示，取BD的中点E，连结AE. 12345678910 11 12 13 14 15 16 又因为ABAD， 所以AEBD， 所以AE平面BCD， 所以AEBC
25、. 若ADBC，则可得到BC平面ABD，故BCBD，与已知矛盾，故 错误. 在直角三角形ACD中，AC2CD2AD2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 满足BC2AB2AC2，所以BACA.故正确. 又BADA，所以BA平面ADC， 所以平面ABC平面ADC，故正确. 11.如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD， 平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分 别在棱AD，BD上，且EFAD. 求证：(1)EF平面ABC； 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明在平面ABD内，因为ABAD，EFAD， 所以EFAB. 又因为E
26、F平面ABC，AB平面ABC， 所以EF平面ABC. (2)ADAC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明因为平面ABD平面BCD， 平面ABD平面BCDBD， BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD. 因为AD平面ABD，所以BCAD. 又ABAD，BCABB，AB，BC平面ABC， 所以AD平面ABC. 又因为AC平面ABC，所以ADAC. 12.如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，PA1， AB1，AC2，BAC60. (1)求三棱锥P-ABC的体积； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题知AB1，AC2，BAC60
27、， 由PA平面ABC，可知PA是三棱锥P-ABC的高. (2)在线段PC上是否存在点M，使得ACBM，若存在点M，求出 的值； 若不存在，请说明理由. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作 MNPA交PC于点M，连结BM. 由PA平面ABC及AC平面ABC知PAAC， 所以MNAC. 由于BNMNN，故AC平面MBN. 又BM平面MBN，所以ACBM. 13.(2020韶关模拟)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形， 侧棱PD底
28、面ABCD，PDDC，E是棱PC的中点，作EFPB交PB于点 F，下列说法不正确的是 A.OEPA B.平面PAC平面PBD C.PB平面EFD D.BDED 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 解析四边形ABCD是正方形，O是AC的中点， E是棱PC的中点，PAOE，故A正确； PD平面ABCD，PDAC， 又ACBD，PDDBD，PD，BD平面PDB， AC平面PBD，又AC平面PAC， 平面PAC平面PDB，故B正确； PD平面ABCD，PDBC， 由四边形ABCD是正方形，得BCCD， 又PDCDD，PD，CD平面PCD， BC平面PCD， 1234
29、5678910 11 12 13 14 15 16 又DE平面PCD，BCDE. PDDC，E是PC的中点，DEPC， PCBCC，PC，BC平面PBC， DE平面PBC， PB平面PBC，PBDE， 又EFPB，DEEFE，DE，EF平面EFD， PB平面EFD，故C正确； 由DE平面PBC，知DEEB，故D错误. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图所示， 设E是ABD的外心，F是BCD的外心， 过点E，F分别作平面ABD与平面BCD的垂线
30、OE， OF，相交于点O， 所以ABD与BCD均为等边三角形， 又平面ABD平面CBD， 所以O为四面体ABCD外接球的球心， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以OE1， 15.(2021广州模拟)如图，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD为矩 形，SA平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上. 若AS4，AD2，ARPQ，则AR_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 解析如图，取SA的中点E，连结PE，QE. SA平面ABCD，AB平面ABCD，SAAB， 而ABAD，ADSAA， AB平面SAD
31、， 又P，E分别是SB，SA的中点， PEAB， 故PE平面SAD， 又AR平面SAD，PEAR. 又ARPQ，PEPQP， AR平面PEQ， 12345678910 11 12 13 14 15 16 EQ平面PEQ，AREQ， E，Q分别为SA，AD的中点， EQSD，则ARSD， 在RtASD中，AS4，AD2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.(2020黄山模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PA ABBC ，ADCD1，ADC120，点M是AC与BD的交点，点 N在线段PB上，且PN PB. 12345678910 11 12 13
32、14 15 16 (1)证明：MN平面PDC； 而MN 平面PCD，PD平面PCD，可得MN平面PDC. 证明在四边形ABCD中， 12345678910 11 12 13 14 15 16 可得ABDCBD， 可得ACBD，且M为AC的中点， 由ADCD1，ADC120， (2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ平面PAD，若存在，求 出点Q的位置；若不存在，请说明理由. 12345678910 11 12 13 14 15 16 则Q为BC的中点时，平面MNQ平面PAD. 解过M作MEAD，垂足为E，延长EM交BC于Q，连结NQ，NE，如图， 12345678910 11 12 13 14 15 16 由PA平面ABCD，EQ平面ABCD，可得PAEQ， 又EQAD，可得EQ平面PAD，EQ平面MNQ， 可得平面MNQ平面PAD，故存在这样的点Q. 在RtDME中，EMD906030， 在BQM中，QBMBMQ30，BQM120， 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
