1、大一轮复习讲义 第八章解析几何 8.6双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何 性质. 2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 考试要求 内容 索引 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.双曲线的定义双曲线的定义 (1)定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的差的 等于常数 ( F1F2的正数)的点的轨迹. (2)符号表示：|MF1MF2|2a(常数)(02aa0，cb0) 坐标轴原点 A1(a,0)，A2(a,0)A1(
2、0，a)，A2(0，a) A1A2 2a 2bab (1，) a2b2 3.等轴双曲线等轴双曲线 4.双曲线双曲线的第二的第二定义定义 实轴与虚轴 yx 点F不在直线l上 比焦点准线 离心率 1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹 一定为双曲线吗？为什么？ 提示不一定.当2aF1F2时，动点的轨迹是两条射线； 当2aF1F2时，动点的轨迹不存在； 当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 微思考 2.已知双曲线方程为 1(a0，b0)，如何求其他具有共同渐近线的 双曲线方程？ 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)
3、 基础自测 题组二教材题组二教材改编改编 4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_. 把点A(4,1)代入，得a215(舍负)， 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.(多选)(2020辽宁六校协作体月考)若方程 1所表示的曲线为 C，则下面四个命题中错误的是 A.若C为椭圆，则1t3或t1 C.曲线C可能是圆 D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1t2 6.(2021哈尔滨师范大学青冈实验中学模拟)双曲线 1上一点P到 焦点F1(5,0)的距离为7，则点P到焦点F2(5,0)的距离为_. 13 由双曲线的定义可得|PF1PF2|2a6， 即|7PF2|6， 解得PF213或
4、PF21，又PF2ca2， 所以PF213. TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一双曲线的定义及应用 师生共研 且40时，2m4，m2； 当m0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n) (3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1， 1n0，y00， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设左焦点为F，AFm，连结AF，CF，BF， 则FC2m，AF2am，CF2a2m，FF
5、2c. 因为BFAC，且AB经过原点O， 所以四边形FAFB为矩形. 在RtAFC中，AF2AC2FC2， 代入得(2am)2(3m)2(2a2m)2， 所以在RtAFF中，AF2AF2FF2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.(多选)(2020新高考全国)已知曲线C：mx2ny21. A.若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B.若mn0，则C是圆，其半径为 C.若mn0，则C是两条直线 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15
6、16 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，点P是其 一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则 A.双曲线C的渐近线方程为yx B.以F1F2为直径的圆的方程为x2y21 C.点P的横坐标为1 D.PF1F2的面积为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析等轴双曲线C：y2x21的渐近线方程为yx，故A正确； 所以以F1F2为直径的圆的方程为x2y22，故B错误； 点P(x0，y0)在圆x2y22上， 不妨设点P(x0，y0)在直线yx上， 则点P的横坐标为1，故C
7、正确； 故选ACD. 9.(2020北京)已知双曲线C： 1，则C的右焦点的坐标为_； C的焦点到其渐近线的距离是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3,0) 解得c3，焦点在x轴上， 所以双曲线C的右焦点坐标为(3,0). 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.(2020焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C： 1 (a0，b0)的一条渐近线与直线l：x2y0互相垂直，点P在双曲线C上， 且PF1PF23，则双曲线C的焦距为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 1
8、2 13 14 15 16 即b2a，由双曲线的定义可得2aPF1PF23， 解析设F1F22c，连结AF1(图略)， F2AB是等边三角形，且F1F2是O的直径， AF2F130，F1AF290， 11.如图，F1和F2分别是双曲线 1(a0，b0) 的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的 圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三 角形，则双曲线的离心率为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个
9、交点 为P，如图所示， 所以在POF1中，由余弦定理可得 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图， 故选ABD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设c为半焦距，则F(c,0)，又B(0，b)， 所以BF：bxcybc0， 以A1A2为直径的圆的方程为O：x2y2a2， 所以O与线段BF有两个交点(不含端点)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12
10、 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加 m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则 A.对任意的a，b，e1e2 B.当ab时，e1e2；当ab时，e1e2 C.对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2 由于m0，a0，b0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以当ab时，e1e2；当ae2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图，令E为双曲线的左焦点， 由双曲线C的方程可知a21，b28， c2a2b2189， c3， 左焦点E(3,0)， 右焦点F(3,0)， 当APF的周长最小时，PAPF最小 由双曲线的性质得PFPE2a2， PFPE2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又PEPAAEAF15， 当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段 AE上时，等号成立， APF的周长为AFAPPF15PE AP21515232. 将其代入到双曲线方程得x29x140，解得x7(舍)或x2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
