1、3.2导数与函数的单调性导数与函数的单调性 考试要求1.结合实例， 借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) 函数的单调性与导数的关系 条件恒有结论 函数 yf(x)在区间(a，b) 上可导 f(x)0f(x)在(a，b)上单调递增 f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的什么条件？ 提示若 f(x)在(a，b)上单调递增，则 f(x)0，所以“f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x) 在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件 2若函数 f(x)在区间(a，b)上存在递增区间
2、，则在区间(a，b)上，f(x)应满足什么条件？ 提示若 f(x)在(a，b)上存在递增区间，则当 x(a，b)时，f(x)0 有解 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性() (2)在(a，b)内 f(x)0 且 f(x)0 的根有有限个，则 f(x)在(a，b)内单调递减() (3)若函数 f(x)在定义域上都有 f(x)0，则 f(x)在定义域上一定单调递增() (4)函数 f(x)xsin x 在 R 上是增函数() 题组二教材改编 2.如图是函数 yf(x)的导函数 yf
3、(x)的图象，则下列判断正确的是() A在区间(2,1)上 f(x)单调递增 B在区间(1,3)上 f(x)单调递减 C在区间(4,5)上 f(x)单调递增 D在区间(3,5)上 f(x)单调递增 答案C 解析在(4,5)上 f(x)0 恒成立，f(x)在区间(4,5)上单调递增 3函数 yxcos xsin x 在下面哪个区间上单调递增() A. 2， 3 2B(，2) C. 3 2 ，5 2D(2，3) 答案B 解析yxsin x， 经验证，4 个选项中只有在(，2)内 y0 恒成立， yxcos xsin x 在(，2)上单调递增 4函数 f(x)(x2)ex的单调递增区间为_ 答案(1
4、，) 解析f(x)的定义域为 R， f(x)(x1)ex， 令 f(x)0，得 x1， 当 x(1，)时，f(x)0； 当 x(，1)时，f(x)0)在2，)上单调递增，则 a 的取值范围是_ 答案(0,2 解析方法一由 y1a 2 x20，得 xa 或 xa. yxa 2 x 的单调递增区间为(，a，a，) 函数在2，)上单调递增， 2，)a，)，a2.又 a0，00，00)， 令 f(x)0，得 x1， 当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增 2函数 f(x)x21x的单调递增区间是() A(0,1)B(，1) C(，0)D(0，) 答案C 解析f(x)的定义域为(，1， f(x
5、)1 1 1x，令 f(x)0，得 x0. 当 0 x1 时，f(x)0.当 x0. f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0,1) 3已知定义在区间(0，)上的函数 f(x)x2cos x，则 f(x)的单调递增区间为_ 答案 0， 6 ， 5 6 ， 解析f(x)12sin x，x(0，) 令 f(x)0，得 x 6或 x 5 6 ， 当 0 x0， 当 6x 5 6 时，f(x)0， 当5 6 x0， f(x)在 0， 6 和 5 6 ， 上单调递增，在 6， 5 6 上单调递减 4函数 f(x)(x1)exx2的单调递增区间为_，单调递减区间为_ 答案(，0)，(ln 2，
6、)(0，ln 2) 解析f(x)的定义域为 R， f(x)xex2xx(ex2)， 令 f(x)0，得 x0 或 xln 2， 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表， x(，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，) f(x)00 f(x)单调递增单调递减单调递增 f(x)的单调递增区间为(，0)，(ln 2，)，单调递减区间为(0，ln 2) 思维升华 确定不含参的函数的单调性， 按照判断函数单调的步骤即可， 但应注意一是不能遗 忘求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开 题型二 含参的函数的单调性 例 1 已知函数 f(x)1 2ax 2(a1
7、)xln x，a0，试讨论函数 yf(x)的单调性 解函数的定义域为(0，)， f(x)ax(a1)1 x ax2a1x1 x ax1x1 x . 当 0a1， x(0,1)和 1 a，时，f(x)0； x 1，1 a 时，f(x)1 时，01 a0； x 1 a，1时，f(x)0， 函数 f(x)在 0，1 a 和(1，)上单调递增， 在 1 a，1上单调递减 综上，当 0a1 时，函数 f(x)在 0，1 a 和(1，)上单调递增，在 1 a，1上单调递减 若将本例中参数 a 的范围改为 aR，其他条件不变，试讨论 f(x)的单调性？ 解当 a0 时，讨论同上； 当 a0 时，ax10；x
8、(1，)时，f(x)0， 函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减 综上，当 a0 时，函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减； 当 0a1 时，函数 f(x)在 0，1 a 和(1，)上单调递增，在 1 a，1上单调递减 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 (2)划分函数的单调区间时， 要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为零的点和函数的间断点 跟踪训练 1 讨论下列函数的单调性 (1)f(x)xaln x； (2)g(x)(xa1)ex(xa)2. 解(1)f(x)的定义域为(0，)， f(x)1a x
9、xa x ， 令 f(x)0，得 xa， 当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立， f(x)在(0，)上单调递增， 当 a0 时，x(0，a)时，f(x)0， 综上，当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增， 当 a0 时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增 (2)g(x)的定义域为 R， g(x)(xa)ex2(xa)(xa)(ex2)， 令 g(x)0，得 xa 或 xln 2， 当 aln 2 时， x(，ln 2)(a，)时，f(x)0， x(ln 2，a)时，f(x)0， 当 aln 2 时，f(x)0 恒成立，f(x)在 R 上单调递增， 当 a0， x(
10、a，ln 2)时，f(x)ln 2 时，f(x)在(，ln 2)，(a，)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减； 当 aln 2 时，f(x)在 R 上单调递增； 当 af(1)f 5 Bf(1)f 3 f 5 Cf 5 f(1)f 3 Df 3 f 5 f(1) 答案A 解析因为 f(x)xsin x，所以 f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数 f(x)是偶函数， 所以 f 3 f 3 .又当 x 0， 2 时，f(x)sin xxcos x0，所以函数 f(x)在 0， 2 上是增 函数，所以 f 5 f(1)f(1)f 5 ，故选 A. (2)已知函数 f(x)e
11、xe x2x1，则不等式 f(2x3)1 的解集为_ 答案 3 2， 解析f(x)exe x2x1，定义域为 R， f(x)exe x22 exex20， 当且仅当 x0 时取“”， f(x)在 R 上单调递增， 又 f(0)1， 原不等式可化为 f(2x3)f(0)， 即 2x30，解得 x3 2， 原不等式的解集为 3 2，. 命题点 2根据函数的单调性求参数的值(范围) 例 3 已知函数 f(x)ln x1 2ax 22x(a0)在1,4上单调递减，则 a 的取值范围是_ 答案 7 16，0(0，) 解析因为 f(x)在1,4上单调递减， 所以当 x1,4时， f(x)1 xax20 恒
12、成立， 即 a 1 x2 2 x恒成立 设 G(x)1 x2 2 x，x1,4， 所以 aG(x)max，而 G(x) 1 x1 21， 因为 x1,4，所以1 x 1 4，1， 所以 G(x)max 7 16(此时 x4)， 所以 a 7 16，又因为 a0， 所以 a 的取值范围是 7 16，0(0，) 本例中，若 f(x)在1,4上存在单调递减区间，求 a 的取值范围 解因为 f(x)在1,4上存在单调递减区间， 则 f(x)1 x2 2 x有解， 又当 x1,4时， 1 x2 2 xmin1(此时 x1)， 所以 a1，又因为 a0， 所以 a 的取值范围是(1,0)(0，) 思维升华
13、 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a， b)上单调， 则区间(a，b)是相应单调区间的子集 (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0(f(x)0)，且在(a，b)内 的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解 (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题 跟踪训练2 (1)已知yf(x)是定义在R上的函数， 且f(2)5， 对任意的x都有f(x)1 2， 则f(x) 1 2x 4 的解集是_ 答案(2，) 解析设 F(x)f(x)1 2x， F(x)f(x)1
14、20， F(x)为 R 上的减函数， 又 F(2)f(2)14， 不等式 f(x)1 2x4 可化为 f(x) 1 2x4， 即 F(x)2. (2)(2020深圳调研)设函数 f(x)1 2x 29ln x 在区间a1，a1上单调递减，则实数 a 的取值 范围是_ 答案(1,2 解析易知 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)x9 x. 又 x0，由 f(x)x9 x0，得 00， a13， 解得 1a2. 以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)g(x)，f(x)g(x)，fx gx”等特征式、 旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常
15、客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征 与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题 一、构造 yf(x)g(x)型可导函数 例 1 设 f(x)为 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)cos x0，则不等式 f(x)sin x 的解集为 _ 答案(0，) 解析令(x)f(x)sin x， 当 x0 时，(x)f(x)cos x0， (x)在0，)上单调递减， 又 f(x)为 R 上的奇函数， (x)为 R 上的奇函数， (x)在(，0上单调递减， 故(x)在 R 上单调递减且(0)0， 不等式 f(x)sin x
16、可化为 f(x)sin x0， 即(x)0， 即(x)0， 原不等式的解集为(0，) 二、利用 f(x)与 x 构造可导型函数 例 2 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 当 x0 时， f(x)xf(x)0 的解集为_ 思路点拨出现“”法形式，优先构造 F(x)xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数 形结合求解即可 答案(，4)(0,4) 解析构造 F(x)xf(x)， 则 F(x)f(x)xf(x)， 当 x0 时， f(x)xf(x)0， 可以推出当 x0 时，F(x)0 的解集为(，4)(0,4) 例 3 (八省联考)已知 a5 且 ae55ea，b4 且 be44eb，c3
17、 且 ce33ec，则() AcbaBbca CacbDabc 答案D 解析方法一由已知e 5 5 e a a ，e 4 4 e b b ，e 3 3 e c c ， 设 f(x)e x x ， 则 f(x)x1e x x2 ， 所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 所以 f(3)f(4)f(5)，f(c)f(b)f(a)， 所以 abe 4 4 e 3 3 ，由图可知 ab0 时，2f(x)xf(x)， 则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是_ 思路点拨满足“xf(x)nf(x)”形式，优先构造 F(x)fx xn ，然后利用函数的单调性、奇偶 性和数形结合求解
18、即可 答案(1,0)(0,1) 解析构造 F(x)fx x2 ，则 F(x)fxx2fx x3 ，当 x0 时，xf(x)2f(x)0 时，F(x)0 的解集为(1,0)(0,1) 思维升华 (1)出现 nf(x)xf(x)形式，构造函数 F(x)xnf(x)； (2)出现 xf(x)nf(x)形式，构造函数 F(x)fx xn . 三、利用 f(x)与 ex构造可导型函数 例 5 已知 f(x)是定义在(， )上的函数， 导函数 f(x)满足 f(x)e2f(0)，f(2 021)e2 021f(0) Bf(2)e2 021f(0) Cf(2)e2f(0)，f(2 021)e2 021f(0
19、) Df(2)e2f(0)，f(2 021)e2 021f(0) 思路点拨满足“f(x)f(x)0”形式，优先构造 F(x)fx ex ，然后利用函数的单调性和数形 结合求解即可注意选项的转化 答案D 解析构造 F(x)fx ex ， 则 F(x)e xfxexfx e2x fxfx ex ， 导函数 f(x)满足 f(x)f(x)， 则 F(x)0，且 f(0)1，则不等式 f(x) 1 e2x的解集为 _ 答案(0，) 解析构造 F(x)f(x)e2x， F(x)f(x)e2xf(x)2e2xe2xf(x)2f(x)0， F(x)在 R 上单调递增，且 F(0)f(0)e01， 不等式 f
20、(x) 1 e2x可化为 f(x)e 2x1， 即 F(x)F(0)， x0 原不等式的解集为(0，) 思维升华 (1)出现 f(x)nf(x)形式，构造函数 F(x)enxf(x)； (2)出现 f(x)nf(x)形式，构造函数 F(x)fx enx . 四、利用 f(x)与 sin x，cos x 构造可导型函数 例 7 已知函数 yf(x)对于任意的 x 2， 2 满足 f(x)cos xf(x)sin x0(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是() A. 2f 3 f 4 B. 2f 3 f 4 Cf(0) 2f 4 Df(0)0”形式，优先构造 F(x)
21、fx cos x，然后利用函数的单 调性和数形结合求解即可注意选项的转化 答案A 解析构造 F(x) fx cos x，则 F(x) fxcos xfxsin x cos2x ， 导函数 f(x)满足 f(x)cos xf(x)sin x0，则 F(x)0，F(x)在 2， 2 上单调递增把选项 转化后可知选 A. 思维升华 f(x)与 sin x，cos x 相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)f(x)sin x，F(x)f(x)sin xf(x)cos x； F(x) fx sin x，F(x) fxsin xfxcos x sin2x ； F(x)f(x)cos x，F(x)f(x
22、)cos xf(x)sin x； F(x) fx cos x，F(x) fxcos xfxsin x cos2x . 课时精练课时精练 1函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是() 答案D 解析利用导数与函数的单调性进行验证f(x)0 的解集对应 yf(x)的增区间，f(x)0 时，h(x)0， h(x)在(0，)上单调递增 3(2021甘肃静宁一中模拟)已知函数 f(x)x2a x，若函数 f(x)在2，)上单调递增，则实 数 a 的取值范围为() A(，8)B(，16 C(，8)(8，)D(，1616，) 答案B 解析f(x)2xa x2， 当
23、x2，)时，f(x)2xa x20 恒成立， 即 a2x3恒成立， x2，(2x3)min16， 故 a16. 4已知函数 f(x)sin xcos x2x，af()，bf(2e)，cf(ln 2)，则 a，b，c 的大小关系 是() AacbBabc CbacDcba 答案A 解析f(x)的定义域为 R， f(x)cos xsin x2 2cos x 4 21,0ln 21， ln 2f(ln 2)f(2e)， 即 acb. 5(多选)若函数 f(x)ax33x2x1 恰好有三个单调区间，则实数 a 的取值可以是() A3B1C0D2 答案BD 解析依题意知，f(x)3ax26x1 有两个不
24、相等的零点，故 a0， 3612a0 解得 a3 且 a0.故选 BD. 6(多选)若函数 g(x)exf(x)(e2.718，e 为自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增， 则称函数 f(x)具有 M 性质下列函数不具有 M 性质的为() Af(x)1 x Bf(x)x21 Cf(x)sin xDf(x)x 答案ACD 解析对于 A，f(x)1 x，则 g(x) ex x ，g(x)e xx1 x2 ，当 x1 且 x0 时，g(x)1 时，g(x)0， g(x)在(，0)，(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增； 对于 B，f(x)x21，则 g(x)exf(x)ex(x21)
25、， g(x)ex(x21)2xexex(x1)20 在实数集 R 上恒成立， g(x)exf(x)在定义域 R 上是增函数； 对于 C，f(x)sin x，则 g(x)exsin x，g(x)ex(sinxcosx) 2exsin x 4 ，显然 g(x)不单调； 对于 D，f(x)x，则 g(x)xex，则 g(x)(x1)ex.当 x1 时，g(x)0， 当 x 3 3 ， 时，f(x)0，ex1，f(x)0， f(x)在(0，)上单调递增， 又 f(x1)f(1)， 0 x11， 即 10 在 2 3，上有解， 当 x 2 3，时，f(x)的最大值为 f 2 3 2 92a. 令2 92
26、a0，解得 a 1 9， 所以 a 的取值范围是 1 9，. 10(2020济南质检)若函数 f(x)2x2ln x 在其定义域的一个子区间(k1，k1)内不是单调 函数，则实数 k 的取值范围是_ 答案 1，3 2 解析f(x)的定义域为(0，)， f(x)4x1 x 4x21 x ， 当 x 0，1 2 时，f(x)0， f(x)在 0，1 2 上单调递减，在 1 2，上单调递增， 依题意有 k1k1， k10， k11 2， k11 2， 解得 1k3 2. 11函数 f(x)(x2axb)e x，若 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 6xy50. (1)求 a，b 的值； (2
27、)求函数 f(x)的单调区间 解(1)f(x)(2xa)e x(x2axb)exx2(2a)xabex， f(0)ab， 又 f(0)b， f(x)在(0，f(0)处的切线方程为 yb(ab)x， 即(ab)xyb0， ab6， b5， 解得 a1， b5. (2)f(x)(x2x5)e x，xR， f(x)(x2x6)e x (x2)(x3)e x， 当 x3 时，f(x)0； 当2x0， 故 f(x)的单调递增区间是(2,3)， 单调递减区间是(，2)，(3，) 12讨论函数 f(x)(a1)ln xax21 的单调性 解f(x)的定义域为(0，)， f(x)a1 x 2ax2ax 2a1
28、 x . 当 a1 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增； 当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减； 当 0a1 时，令 f(x)0，解得 x 1a 2a ， 则当 x 0， 1a 2a时，f(x)0， 故 f(x)在 0， 1a 2a上单调递减， 在 1a 2a ， 上单调递增 综上，当 a1 时，f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递减；当 0a1 时，f(x)在 0， 1a 2a上单调递减，在 1a 2a ， 上单调递增 13(多选)若 0 x1x2x2ln x1Bx1ln x2x2ln x1 C 12 21 ee xx x
29、xD 12 21 ee xx xx 答案AC 解析令 f(x)xln x， f(x)11 x x1 x ， 当 0 x1 时，f(x)0， f(x)在(0,1)上单调递减 0 x1x21， f(x2)f(x1)， 即 x2ln x2x2ln x1. 设 g(x)e x x ， 则 g(x)xe xex x2 e xx1 x2 . 当 0 x1 时，g(x)0， 即 g(x)在(0,1)上单调递减， 0 x1x21，g(x2)g(x1)， 即 21 21 ee xx xx ， 12 21 ee xx xx，故选 AC. 14已知函数 f(x)(xR)满足 f(1)1，f(x)的导数 f(x)1
30、2，则不等式 f(x 2)x2 2 1 2的解集为 _ 答案x|x1 解析设 F(x)f(x)1 2x，F(x)f(x) 1 2， f(x)1 2，F(x)f(x) 1 20， 即函数 F(x)在 R 上单调递减 f(x2)x 2 2 1 2，f(x 2)x2 2 f(1)1 2， F(x2)1，即不等式的解集为x|x1 15已知函数 f(x)xsin xcos xx2，则不等式 f(ln x)f ln 1 x 2f(1)的解集为_ 答案 1 e，e 解析f(x)xsin xcos xx2是偶函数， 所以 f ln 1 x f(ln x)f(ln x) 则原不等式可变形为 f(ln x)f(1
31、)f(|ln x|)0，得当 x0 时，f(x)0. 所以 f(x)在(0，)上单调递增 |ln x|11ln x11 ex0 时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，)； 当 a0) g(x)x3 m 22x22x， g(x)3x2(m4)x2. g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数， 即 g(x)在区间(t,3)上有变号零点 由于 g(0)2， gt0， 当 g(t)0 时，即 3t2(m4)t20 对任意 t1,2恒成立， 由于 g(0)0，故只要 g(1)0 且 g(2)0， 即 m5 且 m9，即 m0，即 m37 3 . 37 3 m9. 即实数 m 的取值范围是 37 3 ，9 .
