1、3.1导数的概念及运算导数的概念及运算 考试要求1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率了解导数概念的实际背景.2.通 过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.4.能利用基 本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形 如 f(axb)的导数 1导数的概念 (1)函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率 函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率为fx2fx1 x2x1 ，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变 化率可表示为y x. (2)设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当
2、x 无限趋近于 0 时，比值y x fx0 xfx0 x 无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 xx0处可导，并称常数 A 为函数 f(x)在 x x0处的导数，记作 f(x0) 2导数的几何意义 函数 yf(x)在 xx0处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 k，即 kf(x0) 3基本初等函数的导数公式 基本初等函数导函数 f(x)C(C 为常数)f(x)0 f(x)x(为常数)f(x)x 1 f(x)sin xf(x)cos x f(x)cos xf(x)sin x f(x)ax(a0 且 a1)f(x)axln a f(x)exf(x)e
3、x f(x)logax(a0 且 a1)f(x) 1 xln a f(x)ln xf(x)1 x 4.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有 f(x)g(x)f(x)g(x)； f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； fx gx fxgxfxgx g2x (g(x)0)； Cf(x)Cf(x)(C 为常数) 5复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成 x 的函数， 那么称这个函数为函数 yf(u)与 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x) (2)复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，
4、ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 微思考 1根据 f(x)的几何意义思考一下，随着|f(x)|增大，曲线 f(x)的形状有何变化？ 提示|f(x)|越大，曲线 f(x)的形状越来越陡峭 2函数 f(x)在点 P 处的切线与函数 f(x)过点 P 的切线有什么区别？ 提示在点 P 处的切线，点 P 一定是切点；过点 P 的切线，点 P 不一定是切点 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线() (2)f(x0)f(x0).() (3)f(x
5、)在某点处的切线与 f(x)过某点处的切线意义相同() (4)若 f(x)2x，则 f(x)x2x 1.( ) 题组二教材改编 2某跳水运动员离开跳板后， 他达到的高度与时间的函数关系式是 h(t)104.9t28t(距 离单位：米，时间单位：秒)，则他在 0.5 秒时的瞬时速度为() A9.1 米/秒B6.75 米/秒 C3.1 米/秒D2.75 米/秒 答案C 解析h(t)9.8t8， h(0.5)9.80.583.1. 3已知函数 f(x)xln xax22，若 f(e)0，则 a. 答案1 e 解析f(x)1ln x2ax， f(e)2ae20，a1 e. 4函数 f(x)ex1 x在
6、 x1 处的切线方程为 答案y(e1)x2 解析f(x)ex1 x2， f(1)e1， 又 f(1)e1， 切点为(1，e1)，切线斜率 kf(1)e1， 即切线方程为 y(e1)(e1)(x1)， 即 y(e1)x2. 题组三易错自纠 5已知函数 f(x)xcos xasin x 在 x0 处的切线与直线 3xy10 平行，则实数 a 的值 为 答案2 解析f(x)cos xx(sin x)acos x (1a)cos xxsin x， f(0)1a3， a2. 6已知函数 f(x)ln(32x)e2x 3，则 f(x) . 答案 2 2x32e 2x3 解析f(x) 1 32x(32x)e
7、 2x3(2x3) 2 2x32e 2x3. 题型一 导数的运算 1(多选)下列求导运算正确的是() A(sin a)cos a(a 为常数) B(sin 2x)2cos 2x C( x) 1 2 x D(exln x2x2)ex1 x4x 答案BCD 解析a 为常数，sin a 为常数， (sin a)0，故 A 错误由导数公式及运算法则知 B，C，D 正确，故选 BCD. 2已知函数 f(x)sin x cos x 1 x2，则 f(x) . 答案 1 cos2x 2 x3 解析f(x)sin xcos xsin xcos x cos2x (x 2)cos2xsin2x cos2x (2)
8、x 31 cos2x 2 x3. 3已知函数 f(x)ln(2x3)axe x，若 f(2)1，则 a . 答案e2 解析f(x) 1 2x3(2x3)ae xax(ex) 2 2x3ae xaxex， f(2)2ae 22ae22ae21， 则 ae2. 4(2021葫芦岛模拟)已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，f(x)2x23xf(1)ln x，则 f(1) . 答案7 4 解析f(x)2x23xf(1)ln x， f(x)4x3f(1)1 x，将 x1 代入， 得 f(1)43f(1)1，得 f(1)5 4. f(x)2x215 4 xln x， f(1)215 4 7 4. 思维
9、升华 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量 避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错 (2)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导 复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元 题型二 导数的几何意义 命题点 1导数与函数图象 例 1 (1)已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 yf(x)的图象如图所示， 则该函数的图象是() 答案B 解析由yf(x)的图象是先上升后下降可知， 函数yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小， 故选 B. (2)已知 yf(x)是可导函数，如图，直线 ykx2 是曲线 yf
10、(x)在 x3 处的切线，令 g(x) xf(x)，g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3). 答案0 解析由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于1 3，f(3) 1 3. g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由题图可知 f(3)1， g(3)13 1 3 0. 命题点 2求切线方程 例 2 (1)(2020全国)函数 f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为() Ay2x1By2x1 Cy2x3Dy2x1 答案B 解析f(1)121，切点坐标为(1，1)， f(x)4x36x2， 所以切线的斜率为 kf(1)413
11、6122， 切线方程为 y12(x1)，即 y2x1. (2)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l 的方程 为 答案xy10 解析点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上， 设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x， 直线 l 的方程为 y1(1ln x0)x. 由 y0 x0ln x0， y011ln x0 x0， 解得 x01，y00. 直线 l 的方程为 yx1，即 xy10. 命题点 3求参数的值(范围) 例 3 (1)(2019全国)已知曲线 yf(x)aexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y2xb，则 (
12、) Aae，b1Bae，b1 Cae 1，b1 Dae 1，b1 答案D 解析因为 f(x)aexln x1，所以 f(1)ae1， 所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1， 所以 ae12， b1， 解得 ae 1， b1. (2)(2021淄博联考)若函数 f(x)ln x2x2ax 的图象上存在与直线 2xy0 平行的切线，则 实数 a 的取值范围是 答案2，) 解析直线 2xy0 的斜率 k2， 又曲线 f(x)上存在与直线 2xy0 平行的切线， f(x)1 x4xa2 在(0，)内有解， 则 a4x1 x2，x0. 又 4x1 x2
13、4x1 x4，当且仅当 x 1 2时取“” a422. a 的取值范围是2，) 思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参 数的方程： 切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上 (2)注意区分“在点 P 处的切线”与“过点 P 处的切线”：在“点 P 处的切线”，说明点 P 为切点，点 P 既在曲线上，又在切线上；“过点 P 处的切线”，说明点 P 不一定是切点，点 P 一定在切线上，不一定在曲线上 跟踪训练 (1)已知曲线 f(x)x3x3 在点 P 处的切线与直线 x2y10 垂直， 则 P 点的坐 标为() A(1,3)B(1,3)
14、C(1,3)或(1,3)D(1，3) 答案C 解析设切点 P(x0，y0)， f(x)3x21， 又直线 x2y10 的斜率为1 2， f(x0)3x2012， x201， x01， 又切点 P(x0，y0)在 yf(x)上， y0 x30 x03， 当 x01 时，y03； 当 x01 时，y03. 切点 P 为(1,3)或(1,3) (2)函数函数 yf(x)x1 x1在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A.1 8 B.1 4 C.1 2 D1 答案B 解析f(x)x1 x1， f(x)x1x1 x12 2 x12， kf(0)2， 切线方程为 y12(x0)，即
15、 y2x1， 令 x0，得 y1； 令 y0，得 x1 2， 故所求的面积为1 21 1 2 1 4. (3)(2020乐山调研)已知曲线 f(x)e2x2exax1 存在两条斜率为 3 的切线，则实数 a 的取 值范围是() A. 3，7 2B(3，) C. ，7 2D(0,3) 答案A 解析f(x)2e2x2exa， 依题意知 f(x)3 有两个实数解， 即 2e2x2exa3 有两个实数解， 即 a2e2x2ex3 有两个实数解， 令 tex， t0， a2t22t3(t0)有两个实数解， ya 与(t)2t22t3(t0)的图象有两个交点， (t)2t22t32 t1 2 27 2，
16、t0，(t)max 1 2 7 2， 又(0)3， 故 3a0)， (x) 2 x3 2 x2 4 x 4x 22x2 x3 22x1x1 x3 ， 当 x(0,1)时，(x)0， (x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， (x)min(1)4， 又 x时，(x)， 故(x)的值域为4，)， 所以 4a4，即 a1， 故实数 a 的取值范围是1，) 课时精练课时精练 1下列求导运算正确的是() A. x1 x 11 x2 B(log2x) 1 xln 2 C(5x)5xlog5xD(x2cos x)2xsin x 答案B 解析(log2x) 1 xln 2，故 B 正确 2(202
17、0安徽江南十校联考)曲线 f(x)12ln x x 在点 P(1，f(1)处的切线 l 的方程为() Axy20B2xy30 C3xy20D3xy40 答案D 解析因为 f(x)12ln x x ，所以 f(x)32ln x x2 . 又 f(1)1，且 f(1)3， 故所求切线方程为 y13(x1)，即 3xy40. 3(2021广元模拟)已知函数 f(x)1 4x 2cos x，则其导函数 f(x)的图象大致是( ) 答案A 解析f(x)1 2xsin x， f(x)为奇函数，排除 B，D， 又 f 6 12sin 6 12 1 2f(2) Bf(3)f(3) Df(3)f(2)f(3)0
18、， 故 A 错误，B 正确 设 A(2，f(2)，B(3，f(3)， 则 f(3)f(2)f3f2 32 kAB， 由图知 f(3)kABf(2)， 即 f(3)f(3)f(2)0)处的切线与直线 xy20 平行， 则 f(x)2x1 x，f(x 0)2x0 1 x01. x01，y01，则 P(1,1)， 则曲线 yx2ln x 上的点到直线 xy20 的最短距离 d |112| 1212 2. 11已知函数 f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR) (1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求 a，b 的值； (2)若曲线 yf(x)存在两条垂直于 y 轴的切
19、线，求 a 的取值范围 解f(x)3x22(1a)xa(a2) (1)由题意得 f0b0， f0aa23， 解得 b0，a3 或 a1. (2)因为曲线 yf(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，所以关于 x 的方程 f(x)3x22(1a)x a(a2)0 有两个不相等的实数根， 所以4(1a)212a(a2)0， 即 4a24a10，所以 a1 2. 所以 a 的取值范围为 ，1 2 1 2，. 12设函数 f(x)axb x，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx
20、所围成的三角形面积为定值，并 求此定值 解(1)方程 7x4y120 可化为 y7 4x3， 当 x2 时，y1 2. 又因为 f(x)ab x2， 所以 2ab 2 1 2， ab 4 7 4， 解得 a1， b3， 所以 f(x)x3 x. (2)设 P(x0，y0)为曲线 yf(x)上任一点，由 y13 x2知曲线在点 P(x 0，y0)处的切线方程为 y y0 13 x20(xx0)，即 y x03 x0 13 x20(xx0) 令 x0，得 y6 x0，所以切线与直线 x0 的交点坐标为 0，6 x0.令 yx，得 yx2x0， 所以切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)
21、所以曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0 和 yx 所围成的三角形的面积 S 1 2| 6 x0|2x0|6. 故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和 yx 所围成的三角形面积为定值，且此定值 为 6. 13(2020青岛模拟)已知 f1(x)sin xcos x，fn1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)f1(x)，f3(x) f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则 f2 022(x)等于() Asin xcos xBsin xcos x Csin xcos xDsin xcos x 答案C 解析f1(x)sin xcos x， f2(x)f
22、1(x)cos xsin x， f3(x)f2(x)sin xcos x， f4(x)f3(x)cos xsin x， f5(x)f4(x)sin xcos x， fn(x)的解析式以 4 为周期重复出现， 2 02245052， f2 022(x)f2(x)cos xsin x. 故选 C. 14已知函数 f(x)x a 2x，若曲线 yf(x)存在两条过(1,0)点的切线，则 a 的取值范围 是 答案(，2)(0，) 解析f(x)1 a 2x2， 设切点坐标为 x0，x0 a 2x0， 切线的斜率 kf(x0)1 a 2x20， 切线方程为 y x0 a 2x0 1 a 2x20(xx0)
23、， 又切线过点(1,0)， 即 x0 a 2x0 1 a 2x20(1x0)， 整理得 2x202ax0a0， 曲线存在两条切线， 故该方程有两个解， 4a28(a)0， 解得 a0 或 a2. 15 已知曲线 f(x)x3ax1 4在 x0 处的切线与曲线 g(x)ln x 相切， 则 a 的值为 答案 3 4 e 解析f(x)3x2a， f(0)a， 又 f(0)1 4， f(x)在 x0 处的切线方程为 y1 4a(x0)， 即 yax1 4， 故 yax1 4与 g(x)ln x 相切， 设切点坐标为(x0，y0)， 又 g(x)1 x， a1 x0， y0ln x0， y0ax01
24、4， 解得 3 4 0 0 3 4 e , 3 , e. 4 x y a 16已知函数 f(x)1 3x 32x23x(xR)的图象为曲线 C. (1)求在曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线， 求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值 范围 解(1)由题意得 f(x)x24x3，则 f(x)(x2)211，即曲线 C 上任意一点处的 切线斜率的取值范围是1，) (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k(k0)， 则由题意并结合(1)中结论可知 k1， 1 k1 ，解得1k0 或 k1，则1x24x30 或 x24x31，解得 x(，2 2(1,3)2 2，)
