1、2.8函数模型及其应用函数模型及其应用 考试要求1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、 指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂 函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 1几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a，b 为常数，a0) 反比例函数模型f(x)k xb(k，b 为常数且 k0) 二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 指数函数模型f(x)baxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c
2、为常数，b0，a0 且 a1) 幂函数模型f(x)axnb (a，b 为常数，a0) 2三种函数模型的性质 函数 性质 yax (a1) ylogax (a1) yxn (n0) 在(0，) 上的增减性 单调递增单调递增单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现 为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表 现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxn1)的增长速度会超过并远远大于 yxa(a0)和 y logax(a1)的增长速度() (4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型(
3、) 题组二教材改编 2在某个物理实验中，测得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： x0.500.992.013.98 y0.990.010.982.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是() Ay2xByx21 Cy2x2Dylog2x 答案D 解析根据 x0.50，y0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x2.01，y0.98，代入计算， 可以排除 B，C；将各数据代入函数 ylog2x，可知满足题意 3 已知某物体的温度 Q(单位： 摄氏度)随时间 t(单位： 分钟)的变化规律为 Qm2t21 t(t0， 且 m0)若物体的温度总不低于 2 摄氏度，则 m 的取值范围是_ 答案 1
4、 2， 解析由题意得，m2t21 t2 恒成立(t0，且 m0)， 又 m2t21 t2 2m，2 2m2，m1 2. 4用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长 度为_ 答案3 解析设隔墙的长度为 x(0 x6)，矩形面积为 y， 则 yx244x 2 2x(6x)2(x3)218， 当 x3 时，y 最大 题组三易错自纠 5当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个 时间称为“半衰期” 当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时， 用一般的放射 性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳 14
5、用该放射性探测器探测不到，则它经过的 “半衰期”个数至少是() A8B9C10D11 答案C 解析设该死亡生物体内原有的碳 14 的含量为 1，则经过 n 个“半衰期”后的含量为 1 2 n， 由 1 2 n 1 1 000，得 n10. 所以，若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过 10 个“半 衰期” 6某物体一天中的温度 T 是关于时间 t 的函数，且 Tt33t60，时间单位是小时，温度 单位是， 当 t0 时表示中午 1200， 其后 t 值为正， 则上午 8 时该物体的温度是_ 答案8 解析由题意知，上午 8 时，即 t4， 因此所求温度 T(4)3
6、3(4)608. 题型一 用函数图象刻画变化过程 1.高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流 出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 vf(h)的大致图象是() 答案B 解析vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选 B. 2(2020全国)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位：)的 关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i1,2，20)得 到下面的散点图： 由此散点图，在 10至 40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程
7、类型的是() AyabxByabx2 CyabexDyabln x 答案D 解析由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近 3已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动设点 P 运 动的路程为 x，ABP 的面积为 S，则函数 Sf(x)的图象是() 答案D 解析依题意知，当 0 x4 时，f(x)2x； 当 4x8 时，f(x)8； 当 8x12 时，f(x)242x，观察四个选项知 D 项符合要求 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选
8、图象 (2)验证法： 根据实际问题中两变量的变化快慢等特点， 结合图象的变化趋势， 验证是否吻合， 从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 题型二 已知函数模型的实际问题 例 1 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产 品需投入年固定成本 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 W(x)万元，在年产量不 足 8 万件时，W(x)1 3x 2x(万元)在年产量不小于 8 万件时，W(x)6x100 x 38(万元)每 件产品售价 5 元通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完 (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解
9、析式； (注： 年利润年销售收入固定 成本流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解(1)每件产品售价为 5 元， 则 x 万件产品的销售收入为 5x 万元 当 0 x8 时， L(x)5x 1 3x 2x 31 3x 24x3； 当 x8 时， L(x)5x 6x100 x 38 335 x100 x. 故 L(x) 1 3x 24x3，0 x8， 35 x100 x，x8. (2)当 0 x8 时， L(x)1 3x 24x31 3(x6) 29； 当 x6 时，L(x)取最大值为 L(6)9(万元)； 当 x8 时， L(x)35 x1
10、00 x352x100 x 15(万元)， 当且仅当 x100 x ，即 x10 时，取等号 . 综上，当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为 15 万元 思维升华 求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验 跟踪训练 1 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/100 kg)与 上市时间 t(单位：天)的数据如下表： 时间 t60100180 种植成本 Q11684116 根
11、据上表数据， 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系： Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt. 利用你选取的函数，求： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是_； (2)最低种植成本是_元/100 kg. 答案(1)120(2)80 解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当 t60 和 t180 时种植成本相 等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数 Qat2btc，即 Qa(t120)2m 描述，将表中数据代入可得 a601202m116， a1001202m84， 解得 a0.01， m8
12、0， 所以 Q0.01(t120)280，故当上市天数为 120 时，种植成本取到最低值 80 元/100 kg. 题型三 构造函数模型的实际问题 命题点 1构造二次函数模型 例 2 某城市对一种售价为每件 160 元的商品征收附加税，税率为 R%(即每销售 100 元征税 R 元)，若每年销售量为 305 2R万件，要使附加税不少于 128 万元，则 R 的取值范围是() A4,8B6,10 C4%,8%D6%,10% 答案A 解析根据题意，要使附加税不少于 128 万元，需 305 2R160R%128， 整理得 R212R320，解得 4R8， 即 R4,8 命题点 2构造指数函数、对数
13、函数模型 例 3 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐 到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1 4，已 知到今年为止，森林剩余面积为原来的 2 2 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0 x1)， 则 a(1x)101 2a，即(1x) 101 2， 解得 1 10 1 1 2 x . (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 2 ， 则 a(1x)m 2 2 a，即 1 102 11 22 m ， 即 m 10 1 2，解得 m
14、5. 故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年 若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 解设从今年开始，以后砍了 n 年， 则 n 年后剩余面积为 2 2 a(1x)n. 令 2 2 a(1x)n1 4a，即(1x) n 2 4 ， 3 102 11 22 n ，即 n 10 3 2，解得 n15. 故今后最多还能砍伐 15 年 命题点 3构造分段函数模型 例 4 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 或 30 以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30，则给予优惠；每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人 数 75 为止每团乘飞机，旅行社需付
15、给航空公司包机费 15 000 元 (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解设该旅行团的人数为 x 人，飞机票的价格为 y 元旅行社可获得的利润为 w 元 (1)当 0 x30 时，y900， 当 30 x75 时， y90010(x30)10 x1 200， 综上有 y 900，0 x30， 10 x1 200，30 x75. (2)当 0 x30 时，w900 x15 000， 当 x30 时，wmax9003015 00012 000(元)； 当 30 x75 时，w(10 x1 200)x15 000 10 x21 200 x15 00
16、0 10(x60)221 000， 当 x60 时，w 最大为 21 000 元， 每团人数为 60 时，旅行社可获得最大的利润 素养提升 1.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相 应的函数模型 (3)解模：求解函数模型，得出数学结论 (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题 2通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解 决问题，提升数学建模核心素养 跟踪训练 2 (1)某汽车销售公司在 A，
17、B 两地销售同一种品牌的汽车， 在 A 地的销售利润(单位： 万元)为 y14.1x0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y22x，其中 x 为销售量(单位： 辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是() A10.5 万元B11 万元 C43 万元D43.025 万元 答案C 解析设在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可获得 利润 y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x32 0.1(x10.5)20.110.5232. 因为 x0,16且 xN，所以当 x10 或 11 时，总利润取得最大值
18、43 万元 (2)(多选)已知一容器中有 A， B 两种菌， 且在任何时刻 A， B 两种菌的个数乘积均为定值 1010， 为了简单起见，科学家用 PAlg nA来记录 A 菌个数的资料，其中 nA为 A 菌的个数现有以 下几种说法，其中正确的是() APA1 BPA10 C若今天的 PA值比昨天的 PA值增加 1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多 10 D假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万，则此时 5PA5.5(注：lg 20.3) 答案BD 解析当 nA1 时，PA0，故 A 错误； 又 nAnB1010且 nA，nBN*， nA1010，PAlg 101010，故 B 正
19、确； 若 PA1，则 nA10；若 PA2，则 nA100，故 C 错误； 设 B 菌的个数为 nB5104， nA 1010 5104210 5，则 PAlg nA5lg 2. 又 lg 20.3，5PA5.5，D 正确 课时精练课时精练 1有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水 航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的 时间为 x(小时)，货船距石塘的距离为 y(千米)，则下列各图中，能反映 y 与 x 之间函数关系 的大致图象是() 答案A 2在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下
20、列四个函数中 的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是() x1.992345.156.126 y1.5174.041 87.51218.01 A.y2x2By1 2(x 21) Cylog2xD 1 2 logyx 答案B 解析由题表可知函数在(0，)上是增函数，且 y 的变化随 x 的增大而增大得越来越快， 分析选项可知 B 符合，故选 B. 3某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次 上涨 10%)， 又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)， 则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费 用)为() A略有盈利B略有亏损 C没有盈利也没有亏
21、损D无法判断盈亏情况 答案B 解析设该股民购这支股票的价格为 a 元，则经历 n 次涨停后的价格为 a(110%)na1.1n 元， 经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa， 故该股民这支股票略有亏损 4长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020 年 11 月 24 日，它成功将 嫦娥五号探测器送入预定轨道，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v(单位：km/s) 和燃料的质量 M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量 m(单位：kg)的函数关系是 v 2 000ln 1M m .若火箭的最大速度为 11.2 k
22、m/s， 则燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值约 为(参考数据：e0.005 61.005 6)() A1.005 6B0.502 8 C0.005 6D0.002 8 答案C 解析由 v2 000ln 1M m 11.2，可得 ln 1M m 11.2 2 0000.005 6， M me 0.005 610.005 6. 5(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过 0.1%，而这种溶液最初的杂质 含量为 2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少1 3，则使产品达到市场要求的过滤次 数可以为(参考数据：lg 20.301，lg 30.477)() A6B9C8D7 答案B
23、C 解析设经过 n 次过滤，产品达到市场要求， 则 2 100 2 3 n 1 1 000，即 2 3 n1 20， 由 nlg2 3lg 20，即 n(lg 2lg 3)(1lg 2)， 得 n 1lg 2 lg 3lg 27.4，故选 BC. 6(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况， 她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量 f(x)与时间 x(天)之间的函数 关系 f(x) 7 20 x1，0 x1， 1 2 19 520 x ，1x30. 则下列说法正确的是() A随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B第一天小菲的单词记忆
24、保持量下降最多 C9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40% D26 天后，小菲的单词记忆保持量不足 20% 答案ABC 解析由函数解析式可知 f(x)随着 x 的增加而减少， 故 A 正确； 由图象可得 B 正确； 当 11 5，故 D 错误 7 (2020蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量 y(数量： 只)与时间 x(单位： 年)的关系式为 yalog2(x 1)，若这种动物第 1 年有 100 只，则到第 7 年它们发展到_只 答案300 解析由题意知 100alog2(11)a100， 当 x7 时，可得 y100log2(71)300. 8经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格
25、均为销售时间 t(天)的函数，且销售量 近似地满足 f(t)2t200(1t50，tN)，前 30 天价格为 g(t)1 2t30(1t30，tN)， 后 20 天价格为 g(t)45(31t50，tN)则日销售额的最大值为_ 答案6 400 解析设日销售额为 S， 当 1t30 时，S(2t200) 1 2t30 t240t6 000(t20)26 400. 当 t20 时，Smax6 400； 当 31t50 时，S45(2t200)90t9 000， 当 t31 时，Smax6 210. 6 2100，即n219n600，解得 4n1 时，甲走在最前面 B当 x1 时，乙走在最前面 C当
26、 0 x1 时，丁走在最后面 D如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 答案CD 解析甲、乙、丙、丁的路程 fi(x)(i1,2,3,4)关于时间 x(x0)的函数关系式分别为 f1(x)2x 1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二 次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型 当 x2 时，f1(2)3，f2(2)4，所以 A 不正确； 当 x5 时，f1(5)31，f2(5)25，所以 B 不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当 x1 时，甲、乙、丙、 丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当
27、0 x1 时，丁走在最 后面，所以 C 正确； 指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数 型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以 D 正确 16 (2020安徽皖东名校联盟联考)某公司计划投资开发一种新能源产品， 预计能获得 10 万元 1 000 万元的收益现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案；奖金 y(单位：万元)随收益 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过 9 万元，同时奖金总数不超过收益的 20%. (1)若建立奖励方案函数模型 yf(x)，试确定这个函数的定义域、值域和y x的范围； (2)现有两个奖励方案函数模型：y x 15
28、02；y4lg x3.试分析这两个函数模型是否符 合公司的要求？请说明理由 解(1)yf(x)的定义域是10,1 000，值域是(0,9，y x(0,0.2 (2)当 y x 1502 时， y x 1 150 2 x的最大值是 31 1500.2，不符合公司的要求 当 y4lg x3 时，函数在定义域上为增函数，最大值为 9. 由y x0.2.可知 y0.2x0. 令 g(x)4lg x30.2x，x10,1 000，则 g(x)20 xln 10 5xln 10 0，所以 g(x)在10,1 000上单 调递减， 所以 g(x)g(10)10， 即y x0.2. 故函数 y4lg x3 符合公司的要求
