1、第二十一讲三角函数的性质 回归课本 1.正 余弦曲线的定义 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦 曲线. 2.周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的 每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数 .非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所 有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 正弦函数 余弦函数都是周期函数,2k,kZ都是它们的周期 ,最小正周期是2. 3.正弦函数 余弦函数的图象和性质如下表 4.y=tanx的性质 (1)定义域是x|xk+ ,kZ. 2 (2)值
2、域是R,即正切函数既无最大值,也无最小值. (3)周期性:正切函数是周期函数,最小正周期是. (4)奇偶性:正切函数是奇函数. 2 k ,k , (5)单调性:正切函数在开区间 是增函数. kZ内都 2 (6)对称性:正切函数的图象关于原点对称,正切曲线是中心对 k 称图形,其对称中心坐标是 对称轴. (kZ).正切函数无 2 ,0 5.y=tanx(xk+ kZ)的图象 2 考点陪练 1.函数 y cos(sinx)的定义域是( ) A.x|2k- x2k+ ,kZ 2 2 B.x|2kx2k+ ,kZ 2 C.x|2k- x2k,kZ 2 D.xR 答案:D f (x) 2cos x 2.
3、 若的最小正周期为T,且T(1,3),则正 3 整数的最大值是( ) A.5 B.6 答案:B C.7D.8 11 3 .已知函数f x (sinx cosx) | sinx cosx |,则f x 的 22 值域是( ) 2 A.1, 1 B. ,1 2 22 C. 1,D. 1, 22 答案:C 4 .函数f x tan x 的单调递增区间为( ) 4 2 A. k ,k (k Z) 2 B. k, (k 1) (k Z) 3 4 C. k ,k (k Z) 4 3 D. k ,k k Z 44 解析:令x t,则t单调递增,只有tant单调递增,才能使 4 2 原函数单调递增,t k ,
4、k , 2 k x k , 2 3 42 k x k k Z . 44 答案:C 5 y sin 2x , xR是( ) 5.函数 2 A.奇函数B.偶函数 D.非奇非偶函数C.既是奇函数又是偶函数 5 解析:2x sin 2x cos2x, 2 2 5 y sin 2x 为偶函数. 2 答案:B 类型一三角函数的定义域 解题准备:求函数定义域的题型,关键是求使式子有意义的x的 取值范围,将问题转化为解不等式,此题是解三角不等式,常 用的方法有:利用单位圆中的三角函数线;利用三角函 数的图象;利用函数单调性,一定要与相应三角函数的周 期联系起来. lg(2sinx 1) tanx 1 x 【典
5、例1】1 求函数y 的定义域; cos 2 8 2 求函数y 2 log x tanx的定义域. 1 2 分析先写出使函数有意义的不等式或不等式组,再利用三 角函数图象或单位圆求解集. 解 1 要使函数有意义 1 sinx , 2 2sinx 1 0 tanx 1, 则 tanx 10 x k (k Z), x 2 cos 0 x 2 8 k (k Z). 2 82 52k x 2k , 66 利用单位圆得 3 k x k , 24 3 x 2k , (k Z), 4 3 函数的定义域为x | 2k x 2k ,kZ. 24 2 要使函数有意义 2 log x 0, 1 2 0 x 4, x
6、0, 则得 tanx0, kx k (k Z). 2 x k ,k Z 2 函数定义域为x | 0 x 或x4 . 2 反思感悟求三角函数的定义域,既要注意一般函数的定义 域的规律,又要注意三角函数本身的特有属性,如题中出现 tanx,则一定有xk+ ,kZ. 2 求三角函数的定义域通常使用三角函数线 三角函数图象 或单位圆. 类型二三角函数的值域及最值问题 解题准备:三角函数的值域及最值问题,实质上大多是含有三 角函数的复合函数的值域问题,常用的方法有:化为代数函 数的值域或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用 换元 配方等方法求解. 【典例2】求下列函数的值域: (1)y=2
7、cos2x+2cosx; (2)y=3cosx- sinx; 3 (3)y=sinx+cosx+sinxcosx. 分析先将原函数式进行等价变形,利用|sinx|1,|cosx|1,但 要注意自变量的取值变化. 2 1 1 2 . 1 y 2cos x 2cosx 2 cosx解 2 2 于是当且仅当cosx 1时得y 4,当且仅当 max 11 1 2 cosx 时得y ,故函数值域为 ,4 . min 22 31 (2)y 3cosx 3sinx 2 3 cosx sinx 22 2 3cos x . 6 1,该函数值域为2 3, 2 3 . 6 (3)y sinxcosx sinx co
8、sx 2 (sinx cosx) 1 2sin x 2 4 2 1 2 sin x 2 2sin x sin x 1, 4 4 2 4 2 1 1 所以当sin x 1时, y取最大值1 2 2. 4 2 2 2 当sin x 时, y取最小值1, 4 2 1 该函数值域为1, 2 . 2 反思感悟(1)将原函数式化为 y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B型或化为关于sinx( 或cosx)的二次函数式,利用换元法进行配方可解决问题. (2)关于y=acos2x+bcosx+c,a0(或y=asin2x+bsinx+c,a0) 型或可化为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭
9、区间上的值域问题,切忌忽视函数的定义域. (3)换元法,旨在三角问题代数化,要防止破坏等价性. 类型三三角函数的单调性 解题准备:与三角函数单调性有关的问题 1.单调区间的求法 函数y=Asin(x+)(A0,0)的单调区间的确定,基本思想 是把x+看作一个整体,比如:由2k- x+2k+ 2 (kZ)解出x的范围,所得区间即为增区间,由2k+ 2 3 x+2k+ (kZ)解出x的范围,所得区间即为减 2 2 区间. 2.如何比较两个三角函数值的大小 比较三角函数值的大小,往往是利用奇偶性或周期性转化为 同一单调区间上的两个同名函数值,再利用单调性比较. 【典例3】1 求函数y sin 2x
10、的单调递减区间; 3 x 2 求y 3tan 的周期及单调区间. 6 4 解 1 解法一:欲求函数的单调递减区间,只需求y sinu 的单调递增区间. 由2k 2x 2k k Z ,得 232 5 2k 2x2k k Z , 66 5 k x k k Z , 1212 5 即k xk k Z . 1212 5 原函数的单调递减区间为k , k (k Z). 12 12 解法二:由已知函数为y sin 2x ,欲求函数的单调 3 递减区间,只需求y sin 2x 的单调递增区间. 3 5 2k 2x 2k k Z ,解得k xk 2321212 kZ . 5 原函数的单调递减区间为k ,k (k
11、Z). 12 12 xx (2)y 3tan 3tan , 6 4 4 6 x | | T 4,y 3tan 的周期为4. 6 4 4 x 8 由k k 4k x 4k k Z , 2 4 6233 x 4 6 48 3 即y 3tan 在 4k , 4k k Z 内单调递增, 3 x48 y 3tan 在 4k ,4k k Z 内单调递减. 6 4 3 3 反思感悟(1)求形如y=Asin(x+)或y= Acos(x+)(其中A0,0)的函数的单调区间,可以通过解不 等式的方法去解答,列不等式的原则是:把“x+(0)” 视为一个“整体”;A0(A0,所以函数y的周期与函数 y2=1+|sin
12、2x|的周期相同,而y2=1+|sin2x|的周期为 所 , 2 以函数y=|sinx|+|cosx|的周期为 . 2 评析求三角函数的最小正周期主要有三种方法:一是根据定 义,但要注意体现最小;二是利用三角函数的图象;三是公式 法,即函数 y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B,y=Atan(x+)+B( 2 2 | | | | | | 0)的最小正周期分别为, , . 错源四利用正切函数图象求解方程根作图有误而致错 【典例4】若x , ,则方程sinx tanx的实根个数为( ) 2 2 A.1 B.2 C.3 D.4 错解如图所示,正弦函数y sinx与正切函数y tanx的
13、图 象在x , 上有3个交点,故选C. 2 2 剖析产生错解的原因是对y=sinx与y=tanx的图象的性质认 识不清. 正解当x 0, 时, tanx sinx,因此y sinx与y tanx在 2 0, 上无交点,当x 0时, sinx tanx,由对称性知, y sinx与 2 y tanx在 ,0 上也无交点,故选A. 2 答案A 技法 求函数周期的若干策略 一 数形结合 当一个函数的周期不容易求得时,画出它的图象是行之有效 的好方法. sinx f (x) , 【典例1】已知函数指出函数的最小正周期. | cosx | 解函数的定义域为: x R,且x k (k Z);在 , 上,
14、2 2 tanx, x tanx, 2 f x x , x 2 2 在 , 上函数的图象如图所示. 显然函数的最小正周期为T=2. 二 转化与化归 形如“y=tanx+cotx”、“y=tanx-cotx”类型的正切函数 可以通过化简转换成单一函数名称的三角函数,然后再求 周期. 【典例2】求函数y=tanx+cotx的周期. sinx cosx 2 解故周期为. y tanx cotx . cosx sinx sin2x 方法与技巧形如“y=tanpx+tankx(kp)”类型的正切函数 ,应分别求两个函数的最小正周期,然后求这两个正周期中 分母的最小公倍数和分子的最大公约数. 三 回归定义 【典例3】求函数y=|tanx|+|cotx|的最小正周期. 解本题不容易画图,又不容易化归成单一三角函数名称 的三角函数,但不要忘记回归定义. 2 f x tan x cot x | cotx | | tanx | 2 2 f x ,故函数y tanx cotx 的最小正周期为T . 2 方法与技巧若盲目套用y=|tanx|、y=|cotx|的周期分别为 T=,则会得出错误结论.
