1、第十二讲函数与方程 回归课本 1.函数的零点 (1)对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的 零点. (2)方程f(x)=0有解函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数 y=f(x)有零点. (3)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲 线,并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的 根. 2.二分法 (1)对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间 的两个端点逐步
2、逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫 做二分法. (2)给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: 1)确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度. 2)求区间(a,b)的中点x . 1 3)计算f(x ), 1 a.若f(x )=0,则x 就是函数的零点; 11 b.若f(a)f(x )0,则令b=x ,(此时零点x (a,x ); 1101 c.若f(x )f(b)0,则令a=x ,(此时零点x (x ,b). 1101 4)判断是否达到精确度:即若|a-b|,则得到零点近似值a(或 b);否则重复2)4). 考点陪练 1.(2010天津)函数f(x)=ex+x-2的
3、零点所在的一个区间是 () A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2) 解析:由于f(0)=-10,根据函数的零点存在性定理, 知函数f(x)的零点在区间(0,1)内,选C. 答案:C 2.(2010江苏盐城)方程log x+x=7的解所在区间是 4 () A.(1,2) C.(5,6) B.(3,4) D.(6,7) 解析:构造函数F(x)=log x+x-7,F(5)=log 5-20,F(x)在(5,6)内有零点,即log x+x=7在(5,6)内有解,故选 4 C. 答案:C 2 3.函数f x lnx 零点所在区间大致是（ ） x A. 1, 2 B. 2,
4、 3 1 e D. e, C. 1, 和 3,4 解析:因为f(1)=-20,f(2)=ln2-10,所以在(1,2)内f(x)无零点,A 2 错误;又f(3)=ln3- 0,所以f(2)f(3)0,所以f(x)在(2,3)内 3 至少有一个零点. 答案:B 4.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是() A.a1 C.a1D.a1 解析:由方程x2+2x+a=0的判别式小于0可得a1. 答案:B 5.三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些连续整数之间没有根 () A.-2与-1之间 B.-1与0之间 C.0与1之间 D.1与2之间 解析:f(-2)f(-1)0,f(
5、-1)f(0)0,f(1)f(2)0,f(x)在(-2,- 1),(-1,0),(1,2)内均有根.故只有C选项符合题意. 答案:C 类型一函数零点存在性的判断与方法 解题准备:函数零点个数的判定有下列几种方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个 零点. (2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在a,b上是连 续的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象和性质(如 单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐 标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 【典例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
6、(1)f(x)=x2-3x-18,x1,8; (2)f(x)=x3-x-1,x-1,2; (3)f(x)=log (x+2)-x,x1,3; 2 1 (4)f(x)=-x,x(0,1). x 解(1)f(1)=-200, f(1)f(8)0, 故f(x)=x2-3x-18在区间1,8上存在零点. (2)f(-1)=-10, f(-1)f(2)log 2-1=0, 22 f(3)=log (3+2)-3log 8-3=0, 22 f(1)f(3)0, 故f(x)=log (x+2)-x在区间1,3上存在零点. 2 1 (4)画出f(x)= -x的图象如图所示. x 1 由图象可知,f(x)=-x
7、在(0,1)内的图象与x轴没有交 x 1 点,故f(x)=-x在区间(0,1)上不存在零点. x 反思感悟判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体 题目灵活处理.当能直接求出零点时,就直接求出进行判断; 当不能直接求出时,可根据零点存在性定理;当用零点存在 性定理也无法判断时可画出图象判断. 类型二二分法求方程的近似解 解题准备:1.用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计 算过程所得到各个区间 中点坐标 区间中点的函数值等置 于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程, 有时也可利用数轴来表示这一过程; 2.在确定方程近似解所在的区间时,转化为求方程对应函数的 零点所在的区间
8、,找出的区间a,b长度尽可能小,且满足 f(a)f(b)0. 【典例2】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点(误 差不超过0.1). 分析由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定 一个包含正数的闭区间m,n,且f(m)f(n)0,如计算出 f(0)=-60,f(1)=-60,所以可取区间1,2作为计算 的初始区间(当然选取(0,2)也是可以的). 解f(1)=-60, 存在x(1,2),使f(x)=0. 用二分法逐次计算,列表如下: 最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7, 所求的正数零点是1.7. 反思感悟用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的 初始
9、区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量 小;其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间的端点的 近似值(精确到给定的精确度)是否相等,以决定是停止计算 还是继续计算. 类型三函数零点的应用 解题准备:由于函数的零点与函数的图象以及相应方程的根 都有密切的关系,因此我们通过研究函数的零点问题,可讨 论方程根的分布问题,解不等式,也可以作出相应的函数的 图象,讨论函数的性质.我们在解决有关问题时,一定要充分 利用这三者的关系,观察 分析函数的图象,找函数的零点, 判断各区间上函数值的符号,使问题得以解决. 【典例3】已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1, e 2 g(x)=x+(x0)
10、. x (1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围; (2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 分析(1)g(x)=m有零点,可以分离参数转化为求函数最值.(2) 利用图象求解. 2 e 1解x 2 e 2e, 2 x 2 e 当且仅当x 取等号.当x e时,g x 有最小值2e. x 因此g x m有零点,只需m 2e. 当m 2e, 时,g x m有零点. 2 若g x f x 0有两个相异实根. 则函数g x 与f x 的图象有两个不同的交点 2 e 如图所示,作出函数g x x x 0 的大致图象. x f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1
11、+e2. 其对称轴x=e,f(x) =m-1+e2. max 若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点. 必须有m-1+e22e,即m-e2+2e+1. 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. m的取值范围是(-e2+2e+1,+). 反思感悟在解答有关函数零点的综合问题时,常利用方程思 想或利用函数构造法,并结合数形结合的思想来解决此类 问题. 错源一函数零点定理使用不当致误 【典例1】函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正实数的零点, 则实数m的取值范围是() A.(-,1B.(-,01 D.(-,1)C.(-,0)1 剖析解本题易出现的错误是分类讨论片面 函数零点定理使 用不当.
12、如忽视了对m=0的讨论,这样就会出现误选C的错 误. 正解当m=0时,x=为函数的零点;当m0时,若=0,即m=1 时,x=1是函数唯一的零点,若0,显然x=0不是函数的零点 ,这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)=mx2- 2x+1=0有一个正根一个负根,即mf(0)0,即m0.故选B. 答案B 评析函数的零点定理 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线,并且 有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c(a,b),使得f(c)=0,这个c也是方程f(x)=0的根,我们称这 个结论为函数的零点定理.函数的零点有“变号零点”和
13、“不变号零点”,如本题中的x=1就是函数的“不变号零 点”,对于“不变号零点”,函数的零点定理是“无能为力” 的,在解决函数的零点问题时要注意这个问题. 错源二“极值点”与“零点”关联不清 【典例2】若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的 取值范围是() A.(-2,2)B.-2,2 C.(-,-1)D.(1,+) 错解由题意知方程x3-3x+a=0有3个根, a的取值范围为(1,+),故选D. 剖析本题的错误在于不能将函数零点问题与导数的应用联 系起来求解,不能从极值的角度分析函数的图象,因此找不 到解题的突破口. 正解函数f(x)有3个不同的零点,即其图象与x轴有3个不
14、同 的交点,因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可. f(x)=3x2-3,令3x2-3=0,则x=1, 故极值为f(-1)和f(1),f(-1)=a+2,f(1)=a-2, 所以应有(a+2)(a-2)0,故a(-2,2),选A. 答案A 技法 确定方程根的个数的三种方法 一 利用函数的周期性 【典例1】设函数f(x)在(-,+)上满足f(2-x)=f(x+2),f(7- x)=f(7+x),且在闭区间0,7上只有f(1)=f(3)=0, (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程f(x)=0在闭区间-2005,2005上的根的个数,并证 明你的结论. 解题切入点对于(1)可用
15、特殊化策略求解,对于(2)可据条件 首先求出函数的周期,利用其周期适当分段结合题设条件 确定. 解 1 在f 2 x f x 2 中,令x 3, 得f 1 f 5 ,又在 0, 7 上只有f 1 f 3 0, f 5 0,f 1 0, 所以f 1 f 1 ,且f 1 f 1 ,故f x 为非奇非偶函数 f (2 x) f (2 x) f (x) f (4 x) 2 f (7 x) f (7 x) f (x) f (14 x) f 4 x f 14 x f x f x 10 , 从而知函数y f x 的周期为T 10. 又f 3 f 1 0, 所以f 11 f 13 f 7 f 9 0, 故f(
16、x)在0,10和-10,0上均有两根,从而可知y=f(x)在 0,2000上有400个根,在2000,2005上有两根,在- 2000,0上有400个根,在-2005,-2000上没有根,所以函数 y=f(x)在-2005,2005上有802个根. 二 利用函数零点性质 【典例 】设函数 2 3 是 上的增函数 f x x bx c 1, 1 , 1 1 2 2 0,则方程f x 0在 1, 1 内（ ） 且f A.可能有3个实根 B.可能有2个实根 C.有唯一的实根 D.没有实根 解析因为f x 在 1,1 上是增函数, 1 1 且f 0, 2 2 1 1 所以f x 在 , 有唯一实根,所以f x 在 1, 1 2 2 上有唯一实根.故选C. 答案C 方法与技巧如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象不间断,并 且有f(a)f(b)bc,a+b+c=0,试确定f(x)-g(x)=0的根的个数. 解因为a+b+c=0,abc, 所以a0,c0.所以f(x)-g(x)=0,即ax2+bx+c-(- bx)=0,ax2+2bx+c=0.因为=4(b2-ac),而ac0,所以 f(x)-g(x)有两个不同的实根.
