1、第四十六讲 直线 平面平行的判定及其性质 共 64 页1 回归课本 共 64 页2 1.直线与直线 (1)空间两条直线的位置关系有平行 相交 异面三种. (2)过直线外一点有且仅有一条直线和这条直线平行. (3)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行,又叫做空 间平行线的传递性. (4)定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行, 并且方向相同,那么这两个角相等. 共 64 页3 (5)空间四边形:顺次连结不共面的四点A B C D所构成的图 形,叫做空间四边形,这四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点;所连结的相邻顶点间的线段叫做四边形的边;连结 不相邻的顶点的线段叫做空间四边形
2、的对角线.空间四边 形用表示顶点的四个字母表示. 共 64 页4 2.直线与平面平行 (1)直线与平面的位置关系有: 平行:直线和平面没有公共点 相交:直线和平面有且只有1个公共点 直线在平面内:直线和平面有无数个公共点,其中 也叫 直线在平面外 共 64 页5 (2)直线与平面平行 判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则 该直线就与此平面平行. 性质定理:一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一 平面与此平面的交线也与该直线平行. 共 64 页6 3.平面与平面平行 (1)平面与平面的位置关系 平行两平面无公共点 两平面相交有一条公共直线 (2)平面与平面的平行 判定定理:一
3、个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则 这两个平面平行. 性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么 它们的交线平行. 共 64 页7 考点陪练 共 64 页8 1.设AA是长方体的一条棱,这个长方体中与AA平行的棱共 有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:AABBCCDD. 答案:C 共 64 页9 2.b是平面外一条直线,下列条件中可得出b的是( ) A.b与内一条直线不相交 B.b与内两条直线不相交 C.b与内无数条直线不相交 D.b与内任意一条直线不相交 解析:只有在b与内所有直线都不相交,即b与无公共点 时,b. 答案:D 共 64 页10 3.在空间,
4、下列命题正确的是( ) A.若a,ba,则b B.若a,b,a,b,则 C.若,b,则b D.若,a,则a 解析:若a,ba,则b或b,故A错误;由面面平行的判 定定理知,B错误;若,b,则b或b,故C错误. 答案:D 共 64 页11 4.已知两个不同的平面 和两条不重合的直线m n,有下列 四个命题:若mn,n,则m;若m,n,则 mn;若,m,则m. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 解析:有可能m;m n还可能是异面直线;正确,故正 确答案是A. 答案:A 共 64 页12 5.a,b,c为三条不重合的直线,、为三个不重合的平面, 现给出四个命题: aca a
5、b ab a bc b c c cac 其中正确的命题是_. 答案: 共 64 页13 类型一直线与直线平行 解题准备:平行于同一直线的两条直线互相平行 共 64 页14 【典例1】 如图,若=a,=b,=c,且ab,求 证:abc. 分析 利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证 得. 共 64 页15 证明 ba,a,b, b(线线平行,则线面平行). b,=c, bc(线面平行,则线线平行), abc. 共 64 页16 反思感悟 (1)判定定理应用时要注意条件是平面外的一条 直线,应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线 的平面与已知平面的交线,条件必须充分满足了才得结 论.
6、(2)本题证明思路是:线线线面线线. 共 64 页17 类型二直线和平面平行 解题准备:1.证明线面平行的方法 (1)依定义采用反证法; (2)判定定理法(线线平行线面平行); (3)面面平行的性质定理(面面平行线面平行). 共 64 页18 2.应用线面平行判定定理的思路 在应用线面平行的判定定理证明线面平行时,要在平面内找 (或作)一条直线与已知直线平行,在找(或作)这一条直线时, 由线面平行的性质定理知,在平面内和已知直线共面的直 线才和已知直线平行,所以要通过平面来找(或作)这一条直 线.在应用其它判定定理和性质定理时,要注意充分利用条 件构造定理的题设,在分析思路时也要以定理作为指导
7、. 共 64 页19 【典例2】 如图,正方体ABCDA B C D 中,侧面对角线 1 1 1 1 AB ,BC 上分别有两点E,F且B E=C F. 1111 求证:EF平面ABCD. 共 64 页20 分析 要证EF平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行 的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用 面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面. 共 64 页21 证明 证法一:过E作EMAB于M,过F作FNBC于N,连接 MN(如图).则EMBB ,FNBB ,EMFN. 11 共 64 页22 AB =BC ,B E=C F, 11 11 AE=BF, EM
8、 AE BF AE FN , BB AB BC AB CC 11111 EM FN,又BB =CC , 11 BB CC 11 EM=FN, 四边形EMNF是平行四边形,EFMN. 又EF平面ABCD,MN平面ABCD, EF平面ABCD. 共 64 页23 证法二:连接B F,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图). 1 共 64 页24 BPB C , 1 1 B FC PFB, 11 B F C F 11 . FP BF AB =BC ,B E=C F, 11 11 C F B E AE=BF, 1 1 . BF EA , EFAP. B E B F 11 EA FP 又EF平面A
9、BCD,AP平面ABCD, EF平面ABCD. 共 64 页25 证法三:过点E作EHBB 于点H,连接FH(如图). 1 共 64 页26 B E B H . 11 则EHAB,所以 B A B B 11 B E C F AB =BC ,B E=C F, 1 1 , 11 11 B A C B ,FHB C . B H C F 11 11 1 1 B B C B 11 B C BC,FHBC. 1 1 EHFH=H,平面EFH平面ABCD. EF平面EFH,EF平面ABCD. 共 64 页27 反思感悟 判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面
10、平行的判定定理(a,b,aba); (3)利用面面平行的性质定理(,aa); (4)利用面面平行的性质(,a,a,aa). 共 64 页28 类型三平面与平面平行的证明方法 解题准备:1.证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外, 还有: (1)如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行. (2)如果两个平面和同一个平面平行,那么这两个平面平行. 共 64 页29 2.平行问题的转化方向如图所示: 共 64 页30 注意:(1)在平面和平面平行的判定定理中,“两条相交直线” 中的“相交”两个字不能忽略,否则结论不一定成立. (2)若由两个平面平行来推证两条直线平行,则这两条直线必 须是
11、这两个平行平面与第三个平面的交线,有时第三个平 面需要作出来. 共 64 页31 【典例3】 如图所示,三棱柱ABCA B C ,D是BC上一点, 1 1 1 且A B平面AC D,D 是B C 的中点,求证:平面A BD 1111 111 平面AC D. 1 共 64 页32 证明 连接A C交AC 于点E, 11 共 64 页33 四边形A ACC 是平行四边形, 11 E是A C的中点,连接ED, 1 A B平面AC D, 11 平面A BC平面AC D=ED, 11 A BED, 1 E是A C的中点,D是BC的中点. 1 共 64 页34 又D 是B C 的中点, 11 1 在三棱柱
12、ABCA B C 中,BD C D,A D AD, 1 1 1111 1 又A D BD =D ,ADC D=D, 1 1111 平面A BD 平面AC D. 111 共 64 页35 反思感悟 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的 判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平 行来证明.具体方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; 共 64 页36 (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面
13、面平行”的相互 转化. 共 64 页37 类型四线面平行中的探究问题 解题准备:探究性问题,一般采用执果索因的方法,假设求解的 结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条 件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不 到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在. 共 64 页38 【典例4】 如图,在底面是平行四边形的四棱锥PABCD中, 点E在PD上,且PE ED=2 1,在棱PC上是否存在一点F, 使BF平面AEC?证明你的结论? 共 64 页39 解 当F是棱PC的中点时, BF平面AEC. 证明:取PE的中点M,连接FM, 共 64 页40 则FMCE. 1 由
14、EM= PE=ED, 2 知E是MD的中点. 连接BM BD,设BDAC=O, 则O为BD的中点,连接OE 所以BMOE. 由知,平面BFM平面AEC. 又BF平面BFM,所以BF平面AEC. 共 64 页41 错源一主观臆断,推理不严谨 【典例1】 如图所示,已知E F分别是正方体ABCD A B C D 的棱AA CC 的中点. 1 1 1 111 求证:四边形BED F是平行四边形. 1 共 64 页42 错证 在正方体ABCDA B C D 中,平面A ADD 平面 1 1 1 111 B BCC ,由两平行平面与第三平面相交得交线平行,故 11 D EFB,同理可证D FEB,故四边
15、形EBFD 为平行四边 111 形. 剖析 主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理. 立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用 平面几何知识解题. 共 64 页43 证明 取DD 的中点G,连接AG FG. 1 AE D G, 1 D E AG, 1 又FG CD,CD AB, FG AB, BF AG, D E BF, 1 四边形EBFD 为平行四边形. 1 共 64 页44 错源二以特殊代替一般,以偏概全致误 【典例2】 已知,AB,CD是夹在与间的两 条线段,点E,F分别在AB,CD上,且AE:EB=CF:FD=m:n,求 证:EF,EF. 共 64 页45 剖析 容易
16、利用下图(1)或图(2)中的特殊图形代替一般证明, 对AB与CD异面这种更一般的情形缺乏分析,由此产生特 殊代替一般的证明错误. 共 64 页46 证明 当AB,CD共面时,如图(1) (2)所示,根据平行线分线段 成比例定理,知EFAC,EFBD,立即推出EF,EF; 当AB,CD异面时,如图(3)所示,过点A作AGCD交平面 于点G,连接DG,BG.过点F作FHAC交AG于点H,连接HE. 由,知ACGD,则HFGD,所以HF;由于 ACHFGD,故CF:FD=AH:HG=m:n=AE:EB,则 EHBG,所以EH.综上,可知平面EFH平面,又, 故平面EFH平面.由于EF平面EFH,故E
17、F,EF. 共 64 页47 评析 在立体几何中当已知两条直线时,要充分考虑到这两 条直线的各种位置关系,不要只考虑两条直线共面的情况, 还要把它们异面的情况考虑进去.由于空间图形位置关系 的多样性,就导致了部分考生仅仅凭借这种多样位置关系 的一种解决问题的情况,导致解答不全. 共 64 页48 技法 一题多解 【典例】 一条直线分别与两个相交平面平行,那么这条直线 必与它们的交线平行. 已知:平面平面=l,直线a平面,直线a平面. 求证:直线a直线l. 共 64 页49 证明 证法一:作辅助平面. 如图,a,过a作平面交平面于c,ac(线面平行的性 质定理). 同理过a作平面交平面于d, a
18、d. 共 64 页50 由公理4,ac,ad,得cd, 又c,d,cd, c(线面平行的判定定理). c,c,=l, cl(线面平行的判定定理). 又ac,由公理4,al. 共 64 页51 证法二:同一法. 如图,在平面和平面的交线l上取一点A,过A作直线 la.a, l在内(一条直线与一个平面平行,那么过平面内的一点且 与这条直线平行的直线都在这个平面内). 共 64 页52 同理a,l也在内. l既在平面内,又在平面内. 由公理3知l就是平面与平面的交线,即l与l重合. 又la,la. 共 64 页53 证法三:利用平行线关系. 如图,a,过a作平面交平面于不同于直线l的直线c, 则ca
19、. 共 64 页54 又a,c.而平面是过c的平面且与平面相交于直 线l. 由线面平行的性质定理,得cl. 又ac,由公理4知,al. 共 64 页55 证法四:借助辅助平面. 如图,过平面与平面的交线l上一点A和直线a作平面. 共 64 页56 与、有公共点A,则分别与、有过A的一条交线,设 为l与l,但过A点有且只有一条直线平行于a, l与l重合,且这条直线既在平面内,又在平面内,故一定 是平面与平面的交线l. l、l、l三条直线重合,则al. 共 64 页57 证法五:反证法. 若直线a不平行于直线l,则a与l相交或异面. 当a与l相交时,则a就与l所在的平面和平面相交,这与已知 a,相
20、矛盾,所以这是不可能的. 当a与l异面时,过l平行于a的平面只有一个,但已知平面和平 面是两个不同的平面都过l且均与直线a平行, 因此a与l异面也是不可能的. 因此直线a与直线l既不相交也不异面,故al. 共 64 页58 证法六:过a作平行平面研究交线关系. 如图,过直线a作平面与平面平行. 共 64 页59 平面与平面相交, 平面也必与平面相交. 设平面与平面的交线为b. a,ab. 又lb(如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们 的交线平行). 由公理4,知al. 共 64 页60 证法七:借助辅助平面,将平行关系转化为垂直关系来证明. 如图,作平面,使直线a. 共 64 页61
21、 a, (一条直线如果平行于一个平面,那么平行于这条直线 的平面也垂直于这个平面). 同理可证,. l(两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交 线也垂直于第三个平面). l,a, al(垂直于同一平面的两条直线平行). 共 64 页62 方法与技巧 (1)证法一、证法三、证法四是利用平行关系 (线面平行的判定与性质定理)证明,是直接法;证法二与证 法四是同一法,证法五是反证法,同一法与反证法属于间接 证明,证法七利用垂直关系证明的. 共 64 页63 (2)上述方法主要是掌握证法一、证法三、证法四,这三种证 法思路简捷、明快,是直接应用线面平行的判定定理或性 质定理来证明的.其他方法仅作了解,以拓宽知识面. (3)证明过程中用到了一些常用的结论(括号内结论),对这些结 论要在理解的基础上牢记它们,这样做有助于我们解决其 它问题. 共 64 页64
