1、第十讲对数与对数函数 回归课本 1.对数概念 (1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数 ,记作log N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. a (2)对数性质 零和负数没有对数,即N0; 1的对数为0,即log 1=0(a0且a1); a 底的对数等于1,即log a=1(a0且a1). a (3)对数恒等式:alog N=N(a0且a1,N0). a (4)常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数,N的常用 对数log N简记为lgN. 10 (5)自然对数:以无理数e=2.71828为底的对数称为自然对 数,N的自然对数log N简记作lnN. e 2.对数
2、的运算性质 如果a0且a1,M0,N0,那么 1 log (MM log N; aaa M 2 log log M log N; aaa N n 3 log M nlog M n R . aa 3.换底公式及常见结论 log N 1 换底公式:logbN (a,b 0且a,b 1, N 0). a log b a 2 常见结论(其中a, b,c 0且a, b,c 1) ; 1 loga 1, a 1 logab , log a b n logambn logab, m log b abc 4.对数函数的定义 一般地,函数y=log x(a0,a1,x0)叫做对数函数,它的定义 a 域为(0,+
3、),值域为R. 5.对数函数的图象与性质 y=log xa10a1时,y0;当x1时,y0; 当0 x1时,y0当0 x0 在(0,+)上是减函数在(0,+)上是增函数 x的 图象关于x轴对称 6.反函数 指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数y=log x(a0,a1,x0)互 a 为反函数,它们的图象关于直线y=x对称. 考点陪练 1 1.已知函数的定义域为 f (x) 1 x M,g(x)=ln(x+1)的定义域N,则MN=() A.x|x-1 C.x|x1 B.x|-1x0,即x1,所以f(x)的 定义域为x|x0,x-1,所以g(x)的定义域为x|x-1.所以MN=x|- 1x1,
4、且m=log (a2+1),n=log (a-1),p=log (2a),则m,n,p aaa 的大小关系为() A.nmpB.mpn C.mnpD.pmn 解析:因为2a-(a-1)=a+1,且a1,所以2a-(a-1)0,即2aa-10; 又a2+1-2a=(a-1)2,则a2+12a0.因为a1,所以函数 y=log x在(0,+)上是增函数,所以 a log (a2+1)log (2a)log (a-1),所以mpn,故选B. aaa 答案:B 3.下列四个数中最大的是( ) A.(ln2)2 C.ln 2 B.ln(ln2) D.ln2 解析:由于函数y lnx在(0,)上是增函数,
5、 所以0 ln1 ln2 lne 1, 2 所以 ln2 ln2, ln ln2 0,0 ln 2 ln2,故选D. 答案:D 4.已知函数f x log x在 2, 上恒有 f x 1,则（ ） a 11 A.0 a 或1 a 2B.0 a 或a 2 22 11 C. a 1或1 a 2D. a 1或a 2 22 解析:若a1,则f(x)=log x在2,+上是增函数,且当x2时 a ,f(x)0. 由|f(x)|1得f(x)1,即log x1. a 当x2,+)时,log x1恒成立 a ,log 21,log 2log a,1a2. aaa 若0a1,则f(x)=log x在2,+)上是
6、减函数,且当x2时 a ,f(x)1得-f(x)1, f(x)-1,即log x-1. a 当x2,+)时,log x-1恒成立, a 1 log 2 1,log 2 log , aaa a 0 a 1, 1 a 1. 1 2,2 a 1 2 所求a的取值范围是 ,1故答案选C. 答案:C 评析:在对数函数中如果底数含有字母,通常把底数与1比较大 小,进行分类讨论. x 0, x 0. log x, 2 5.( 2010 天津 设函数f x log (x), 1 2 .若f a f a ,则实数a的取值范围是 A. 1,0 0,1 B. ,1 1, C. 1, 0 1, D. ,1 0,1 a
7、 0 a 0 解析:由题意可得 log a log a 或 ， log (a) log (a) 22 1 2 2 解之可得a 1或 1 a 0,因此选C. 答案:C 类型一对数的运算 解题准备:对数化简求值问题的常见思路:一是将对数的和 差 积 商 幂转化为对数真数的积 商 幂;二是将式子化为最 简单的对数的和 差 积 商 幂,合并同类项后再进行运算, 解题过程中,要抓住式子的特点,灵活使用运算法则. 【典例1】求下列式子的值. 9 log 3 log 3 log 2log 2 log32. 4 4831 2 分析关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质 对数恒等式 换底公式等进行变形和
8、求解. 5 4 解原式 log 3 log 3 log 2 log 2 log 2 22233321 2 1 2 1 1 5 4 log 3 log 3 log 2 log 2 3 223 32 535 log 3 log 2 23 624 5 5 5 . 4 4 2 类型二对数函数的图象 解题准备:对数函数的图象:经过点(1,0),且图象都在第一 四 象限;都以y轴为渐近线(当0a1时,图象向下无限接近y轴);对于相同的a,函数 log x f(x)=log x与g(x)= 1 的图象关于x轴对称. a a 1 2 x 【典例2】若不等式2 log x 0,当x 0, a 时恒成立,求实数a
9、的取值范围. 分析在同一坐标系下画出y=2x与y=log x的图 a 象,数形结合求解. 1 2 x 解要使2 log x 0在 0, 上恒成立, a 1 即使不等式2x log x在 0, 上恒成立, a 2 1 即使函数y 2 的图象在 0, 内恒在函数 x 2 y log x的下方. a 1 2 由于y 2x的图象过点 , 2 ,由图可知需 1 loga 2, 2 1 函数y log x递减.而log 2 log a , 2 aaa 2 12 1 1 2 1 2 22 a 2 ,即a . 2 2 2 1 故所求的a的范围为 a 1. 2 类型三对数函数的性质 解题准备:利用对数函数的性质
10、可以比较对数的大小,解对数 不等式,也可以求与对数函数有关的函数的定义域和值域, 还可以判断对数函数与其他函数复合以后的函数的单调性 . 【典例3】已知函数f(x)=log (ax2+2x+3). 4 (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若 不存在,说明理由. 分析由f(1)=1求出a的值,然后根据复合函数的单调性求单 调区间;根据对数函数的性质和二次函数的最值求a的值. 解(1)f(1)=1, log (a+5)=1,因此a+5=4,a=-1, 4 这时f(x)=log (-x2+2x+3). 4 由-x2+2x+3
11、0得-1x0.函数y x 的定义域是x0,值域是y0,而在变形中函数y=2log x-1的定义 2 域是x0,值域是y0,因而原函数的图象显然是错误的. 1 正解 log x2 2log |x1 | | |, y 2 42 x 图象如图所示. 错源二忽视真数大于0 x 【典例2】已知lgx lgy 2lg x 2y ,求log 2 的 值. y 错解因为lgx lgy 2lg x 2y , 2 xy x 2y , x 5xy 4y 0, 所以 即 2 2 xx 所以x y或x 4y,即 1或 4, yy xx 所以log 2 0,或log 2 4. yy 剖析错误的原因在于忽视了原式中的三个对
12、数式隐含的条 件,x0,y0,x-2y0,所以x2y0,所以x=y不成立. 正解因为lgx+lgy=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2- 5xy+4y2=0,所以x=y或x=4y, 因为x0,y0,x-2y0, 所以x=y应舍去,所以x=4y, xx 即 4，所以log 4. y 2 y 技法一快速解题(特例法) 【典例1】已知函数y f x 的图象与函数 x y x , 且 的图象关于直线 对称 y a (a 0 a 1) 记g x f x f x f 2 1.若y g x 在区间 1 ,2 上是增函数,则实数a的取值范围是（ ） 2 A. 2, B. 0,1 1, 2 1
13、 2 1 2 C. ,1D. 0, log x log x log 2 1 在区间 快解 1 2 aaa ,2 上是增函数. 1 3 2 2 3 g 2 g 一定成立.但取a 2、 、 时, 2 1 2 g 2 g 不成立,故排除A、B、C,选D. 另解切入点y=f(x)的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称, 故f(x)=log x,可以写出g(x),注意0a1两种情况的 a 讨论. 分析思维过程g x log x log x log 2 1 , aaa 这是关于log x的二次函数,由a的取值不同, a 1 可确定log x在区间 ,2 上的增减性, a 2 1 从而可确定g x 在区间
14、 ,2 上的增减. 2 解析解法一:由题意知,f(x)=log x, a 故g(x)=log x(log x+log 2-1). aaa 令t=log x,则h(t)=t2+(log 2-1)t. aa 1 2 1 当0 a 1时,t log x在 ,2 上单调递减, a 1log 2 且t log 2,log 2 ,对称轴t . a aa 2 1 2 因为g x 在 ,2 上单调递增,所以h t 在 log a,log 2 上单调递减, 2a 1log 21 故 a log 2, 0 a ;解得 a 22 1 2 当a 1时,t log x在 ,2 上单调递增且 a 2 1 a t log
15、2, log 2 .因为g x 在 ,2 a 2 a 上单调递增,所以h t 在 log 2, log 2 上单调递增, a 1log 21 故 a log 2, a , a 1 , . D.解得 与 矛盾 舍去选 a 22 解法二:由题意知f x log x,则g x log x log x log 2 1 . aaaa 1 1 2 令g x 2log x log 2 1 ,在区间 ,2 上, aa xlna 1 2log x log 2 1 0. 欲使g x 0,只需 aa lna 1 当0 a 1时,只要2log log 2 10, aa 2 1 解得0 a ;当a 1时无解.选D. 2
16、 答案D 方法与技巧解法一是由复合函数的增减性讨论的,解法二利 用导数讨论,但都要考虑0a1两种情况.而快解是赋 值,这种方法快,但有时不一定能很快找到要取的特殊值. 得分主要步骤解 中,复合函数的基本变量与中 间变量的变化范围一定要十分清楚,0 a 1和a 1 的两种情况区间端点的值互换位置.导数法证明 1 g x 0时,由于x ,2 ,故x 0,又当0 a 1时, 2 1 lna 0,否 则,使2log log 2 10成立的理由不充分. aa 2 1 易丢分原因解 中,x ,2 ,t log 2,log 2 2 a a a 或t log 2, log 2 ,取值范围不甚清楚会感觉到“乱”
17、 , a 故导致丢分.快解中,特殊值取得不当也会因错选而丢分. 技法二等价转化思想 3lgx2 3lgx4 0 【典例2】方程 的解是_. 解题切入点要求原方程的解,需将原方程转化为熟悉的方程 来解,将对数方程转化为代数方程,转化的解法一般是化为 同底的对数或换元法等. 原方程可化为 2 y y 2 0, 解析设 3lgx 2 y, 解得y 1, y 2,因为 3lgx 20, 所以将y 1舍 去.由 3lgx 2 2 得lgx 2,所以x 100.经检验x 10 0为原方程的解. 答案x=100 方法与技巧解本题时运用换元法把原对数方程转化为关于 某个字母y的二次方程,同时也是把无理方程转化为有理方 程,一石二鸟,由此可见换元法的妙处.
