1、课后同步练习(十五)圆的一般方程 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1圆的方程为(x1)(x2)(y2)(y4)0，则圆心坐标为() A(1，1)B 1 2，1 C(1，2)D 1 2，1 D将圆的方程化为标准方程，得 x1 2 2(y1)245 4 ，所以圆心为 1 2，1 2方程 x2y22x4y50 表示的图形是() A一个点B一个圆C一条直线D不存在 A方程可化为(x1)2(y2)20，故方程表示点(1，2) 3方程 x2y2DxEyF0 表示的圆过原点且圆心在直线 yx 上的条件 是() ADE0，F0BDF0，E0 CDE0，F0DDE0，F0 D圆过原点，F0，又圆心在 yx
2、 上，DE0 4由方程 x2y2x(m1)y1 2m 20 所确定的圆中，最大面积是( ) A 3 2 B3 4 C3D不存在 B所给圆的半径为 r 1m122m2 2 1 2 m123， 所以当 m1 时，半径 r 取最大值 3 2 ，此时最大面积是3 4 5若圆 x2y22ax3by0 的圆心位于第三象限，则直线 xayb0 一定 不经过() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 D圆心 a，3 2b在第三象限，则 a0，b0直线 xayb0 的斜率 k 1 a0，在 x 轴上的截距为b0，故直线过一、二、三象限，故选 D 二、填空题 6若圆 x2y2DxEyF0 关于直线 DxEy
3、2F80 对称，则该圆的 半径为_ 2圆 x2y2DxEyF0 的圆心坐标为 D 2 ，E 2 ， 由题意有D 2 2 E 2 2 2F80，则 D2E24F16 圆的半径为 r1 2 D2E24F1 242 7已知圆 C：x2y22xay30(a 为实数)上任意一点关于直线 l：xy 20 的对称点都在圆 C 上，则 a_ 2由题意可得圆 C 的圆心 1，a 2 在直线 xy20 上，将 1，a 2 代入直线方程得 1 a 2 20，解得 a2 8若直线 l：axby10 始终平分圆 M：x2y24x2y10，则(a2)2 (b2)2的最小值为_ 5由题意，得直线 l 恒过圆心 M(2，1)
4、，则2ab10，则 b2a 1，所以(a2)2(b2)2(a2)2(2a12)25a255，所以(a2)2(b 2)2的最小值为 5 三、解答题 9已知圆 C：x2y2DxEy30，圆心在直线 xy10 上，且圆心在 第二象限，半径为 2，求圆的一般方程 解圆心 C D 2 ，E 2 ， 因为圆心在直线 xy10 上， 所以D 2 E 210，即 DE2， 又 r D2E212 2 2，所以 D2E220， 由可得 D2， E4， 或 D4， E2. 又圆心在第二象限，所以D 2 0， 所以 D2， E4， 所以圆的一般方程为 x2y22x4y30 10已知关于 x，y 的方程为 x2y22x
5、4ym0 (1)若此方程表示圆，求 m 的取值范围； (2)若(1)中的圆与直线 x2y40 相交于 M，N 两点，且 OMON(O 为坐标 原点)，求 m 的值 解(1)方程 x2y22x4ym0， 整理得(x1)2(y2)25m， 由题意知 5m0，解得 m5 (2)设直线 x2y40 与圆： x2y22x4ym0 的交点为 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x2y40， x2y22x4ym0， 整理得 5y216y8m0，则 y1y216 5 ，y1y2 8m 5 ，又 OMON(O 为坐标原点)，则 x1x2y1y20，x142y1，x242y2， 则(42y1)(42y2
6、)y1y20，解得 m8 5故 m 的值为 8 5 1(多选题)已知圆 M 的一般方程为 x2y28x6y0，则下列说法正确的是 () A圆 M 的圆心为(4，3) B圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8 C圆 M 的半径为 25 D圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6 ABD圆 M 的标准方程为(x4)2(y3)225圆的圆心坐标为(4，3)， 半径为 5，令 x0，则 y26y0， |y1y2|6；令 y0，x28x0，|x1x2|8 2已知点 A(1，1)和圆 C：x2y210 x14y700，一束光线从点 A 出 发经过 x 轴反射到圆周上的最短路程是() A6B8C10D12 B易知点
7、A 在圆 C 外，找出点 A(1，1)关于 x 轴的对称点 A(1，1)， 则最短路程为|CA|r 又圆的方程可化为(x5)2(y7)24，则圆心 C(5，7)，半径 r2， 则|CA|r 51271221028故所求的最短路程为 8 3若圆 x2y24x2ym0 与 y 轴交于 A，B 两点，且ACB90(其中 C 为已知圆的圆心)，则实数 m_，圆的面积为_ 38设 A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令 x0 得 y22ym0，y1， y2即为该方程的两根， 由根与系数的关系及判别式得 44m0， y1y22， y1y2m， 又由ACB90，C(2，1)，知 kACkBC1， 即y
8、11 2 y21 2 1， 即 y1y2(y1y2)14， 代入上面的结果得 m214， m3，符合 m1 的条件 r1 2 164432 2， 圆的面积为r2(2 2)28 4 已知点 A(2， 0)， B(0， 2)， 若点 C 是圆 x2y22x0 上的动点， 则ABC 面积的最小值为_ 3 2如图所示，ABC 的面积最小时，点 C 到直线 AB 的距离最短，该 最短距离其实就是圆心到直线 AB 的距离减去圆的半径 直线 AB 的方程为 xy20，|AB|2 2，x2y22x0 可化为(x1)2y2 1，易知该圆的圆心为(1，0)，半径为 1， 圆心(1，0)到直线 AB 的距离 d 3
9、 2 3 2 2 ， 故ABC 面积的最小值为1 22 2 3 2 2 1 3 2 在平面直角坐标系 xOy 中， 设二次函数 f(x)x22xb(xR)的图像与两条坐 标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； (3)圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结论 解(1)显然 b0，否则二次函数 f(x)x22xb 的图像与两坐标轴只有两 个交点(0，0)，(2，0)，这与题设不符由 b0 知，二次函数 f(x)x22xb 的图像与 y 轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与 x 轴必有两个交点，从而方程 x2 2xb
10、0 有两个非零的不相等的实数根，因此方程的判别式 44b0 且 b0， 即 b1 且 b0所以 b 的取值范围是(，0)(0，1) (2)由方程 x22xb0 得 x1 1b于是二次函数 f(x)x22xb 的 图像与坐标轴的交点是(1 1b，0)，(1 1b，0)，(0，b)设圆 C 的方 程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0) 因圆 C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆 C 的方程， 则 1 1b2D1 1bF0， 1 1b2D1 1bF0， b2EbF0. 解上述方程组，因 b0，得 D2， Eb1， Fb. 所以圆 C 的方程为 x2y22x(b1)yb0 (3)圆 C 必过定点证明如下：假设圆 C 过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于 b)，将 该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为 x20y202x0y0b(1y0)0(*) 为使(*)式对所有满足 b1 且 b0 的 b 都成立，必须有 1y00， 结合(*)式得 x20y202x0y00，解得 x00， y01 或 x02， y01. 经检验，知点(0，1)，(2，1)均在圆 C 上，因此圆 C 过定点
