1、第 1页（共 21页） 2021 年安徽省马鞍山市高考数学第二次教学质量监测试卷（文年安徽省马鞍山市高考数学第二次教学质量监测试卷（文 科科） （二模）（二模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）设全集UR，集合 2 |Ax xx， 1B ，0，1，2，则()( UA B ) A2B1，2C 1，2D 1，0，1，2 2 （5 分）已知复数z满足2izzi，则复数z在复平面内对应的点位于() A第一象限B第二象
2、限C第三象限D第四象限 3 （5 分）相传在 17 世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方 法他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划” （阳爻：)看作是 1，把“间断的短 划” （阴爻：)看作是 0，那么，用八卦就可以表示出从 0 到 7 这八个整数后来，他 又作了进一步的研究， 最终发明了二进制的记数方法 如图给出了部分八卦符号与二进制数 的对应关系： 请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为() ABCD 4 （5 分）函数 1 ( )cosf xxx x 在(, ) 上的图象大致为() AB 第 2页（共 21页） CD 5 （5 分）已知变量x，y满足约束条件 1 0
3、 3 0 31 0 xy xy xy ，则目标函数23zxy的最小值为( ) A7B4C1D1 6 （5 分）已知 3 sin() 33 ，则cos(2 ) 3 的值为() A 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 3 7 （5 分）某同学计划暑期去旅游，现有A，B，C，D，E，F共 6 个景点可供选择， 若每个景点被选中的可能性相等，则他从中选择 4 个景点且A被选中的概率是() A 1 5 B 1 6 C 3 5 D 2 3 8 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，0) 的部分图象如图所示则函数( )f x的 图象可由函数sinyx的图象经过下列哪种变换得到() A向左平移
4、 3 个单位长度，再将横坐标变为原来的 1 2 倍（纵坐标不变） B向左平移 6 个单位长度，再将横坐标变为原来的 1 2 倍（纵坐标不变） C向左平移 6 个单位长度，再将横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） D向左平移 3 个单位长度，再将横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） 9 （5 分）已知双曲线 22 2 :1(0) 4 xy Cb b ，以C的焦点为圆心，3 为半径的圆与C的渐近 线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是() 第 3页（共 21页） A 3 (1, ) 2 B 13 (1,) 2 C( 3 2 ， 13 ) 2 D(1, 13) 10 （5 分）如图所示，某圆锥的
5、高为3，底面半径为 1，O为底面圆心，OA，OB为底面 半径，且 2 3 AOB ，M是母线PA的中点则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最 短路径的长度为() A3B21C5D21 11 （5 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若coscos2cAaC， AC边上的高为3，则ABC的最大值为() A 6 B 3 C 2 D 2 3 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，直线3x 与抛物线C交于A，B两点，| 4AF ， 圆E为FAB的外接圆， 直线OM与圆E切于点M， 点N在圆E上，则OM ON 的取值范围是() A
6、63 25 ，9B 3，21C 63 25，21D3，27 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 平面向量a ，b 满足(1,1)a ，| 2b ， 且 1 () 2 bab ， 则向量a 与b 的夹角为 14 （5 分）在一次体检时测得某班级 6 名同学的身高分别为：162，173，182，176，174， 183（单位：厘米） 则这 6 名同学身高的方差为 15 （5 分）已知函数( ) x f xaexe的图象在(1，f（1）处的切线过点( , )e e，则a的值 为 16 （5 分）一个球被平面截下的一部分叫做
7、球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直 径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为 2 (3) 3 VRh h ，其中R为球的半径， h为球缺的高若一球与一棱长为 2 的正方体的各棱均相切，则该球与正方体的公共部分的 体积为 第 4页（共 21页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）
8、为落实国务院关于深化教育改革，全面推进素质教育，提高学生体质健康水平 的要求，每个中学生每学年都要进行一次体质健康测试（以下简称体测） 根据“中学生体 测标准分数对照表” 将学生各项体测成绩转换为分数后， 学生的体测总分由如下计算公式得 到： 体测总分体重指标()BMI分数15%肺活量分数15%50米跑分数20%坐位体前屈 分数10%立定跳远分数10%一分钟引体向上 （男)/仰卧起坐 （女)分数10%1000米 跑（男) /800米跑（女)分数20% 体测总分达到 90 分及以上的为“优秀” ；分数在80，90)为“良好” ；分数在60，80)为 “合格” ；60 分以下为“不合格” 某市教体
9、局为了解该市一所中学的学生体质健康状况， 随机抽取了该校 210 名学生的体测成绩，恰有 10 名学生的成绩为“不合格” 剔除这 10 名 学生的成绩后得频率分布直方图如图： （1）若某男同学体测总分为 89 分，该同学除了“肺活量”分数以外的各项分数如下： “体 重指标()BMI”为 89 分， “50 米跑”为 90 分， “坐位体前屈”为 85 分， “立定跳远”为 95 分， “一分钟引体向上”为 70 分， “1000 米跑”为 95 分求这名男同学的“肺活量”分数； （2）已知该市教体局体测总分“优秀率”目标不低于8%，并要求“优秀率”抽查结果不 达标的学校要进行整改，试根据以上数
10、据判断该校是否需要进行整改 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和 1 1 2 n n S （1）求数列 n a的通项公式； （2） 若等差数列 n b的各项均为正数， 且 153 13 11 ,2bbb aa ， 求数列 n n b a 的前n项和 n T 第 5页（共 21页） 19 （12 分）如图，正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 4，M，N分别为棱 11 A D， 1 CC的中 点，P为 1 DD上一点，且1DP （1）证明：/ /CP平面 1 B MN； （2）求点C到平面 1 B MN的距离 20 （12 分）已知 2 ( )(21)()f xxaxalnx
11、 aR （1）试讨论( )f x的单调性； （2）当1x 时， 2 ( )(1)3(2)f xa xxalnx恒成立，求实数a的取值范围 21 （12 分）已知( 2,0)F 为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点，斜率为 1 的直线l交椭 圆C于A，B两点，当直线l经过点F时，椭圆C的上顶点也在直线l上 （1）求C的方程； （2） 若O为坐标原点，D为点A关于x轴的对称点， 且直线l与直线BD分别交x轴于点M， N证明| |OMON为定值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如
12、果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1cos3sin ( 1sin3cos xtt t ytt 为参 数） ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2 C的极坐标方程为 (R ，0，)，且直线 2 C与曲线 1 C交于A，B两点 （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）当|AB最小时，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |4|f xxx （1）解不等式(21) 6fx ； 第 6页（共 21页） （2
13、） 记函数( )f x的最小值为a， 且 22 4 a mn， 其中m，n均为正实数， 求证： 33 4 mna nm 第 7页（共 21页） 2021 年安徽省马鞍山市高考数学第二次教学质量监测试卷（文年安徽省马鞍山市高考数学第二次教学质量监测试卷（文 科科） （二模）（二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）设全集UR，集合 2 |Ax xx， 1B ，0，1，2，则
14、()( UA B ) A2B1，2C 1，2D 1，0，1，2 【解答】解： 2 xx， 2 0 xx ，01x ， |01Axx ， |0 uA x x或1x ， () 1 uA B ，2， 故选：C 2 （5 分）已知复数z满足2izzi，则复数z在复平面内对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：2izzi，2izzi， 22 (1) 1 1(1)(1) ii i zi iii ， 则复数z在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 3 （5 分）相传在 17 世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方 法他发现，如果把太极八卦图中“连续的
15、长划” （阳爻：)看作是 1，把“间断的短 划” （阴爻：)看作是 0，那么，用八卦就可以表示出从 0 到 7 这八个整数后来，他 又作了进一步的研究， 最终发明了二进制的记数方法 如图给出了部分八卦符号与二进制数 的对应关系： 请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为() ABCD 第 8页（共 21页） 【解答】解：由题意兑卦对应的二进制数为 011， 因为“连续的长划” （阳爻：)看作是 1，把“间断的短划” （阴爻：)看作是 0， 所以兑卦对应的八卦符号为 故选：C 4 （5 分）函数 1 ( )cosf xxx x 在(, ) 上的图象大致为() AB CD 【解答】解：因为函数 1 (
16、 )cosf xxx x ， 所以 11 ()cos( cos)( )fxxxxxf x xx ， 故函数( )f x为奇函数，图象关于原点对称，故选项A，B错误； 当0 x 时，cos0 xx ， 1 x ，故选项C错误，选项D正确 故选：D 5 （5 分）已知变量x，y满足约束条件 1 0 3 0 31 0 xy xy xy ，则目标函数23zxy的最小值为( ) A7B4C1D1 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 9页（共 21页） 联立 30 10 xy xy ，解得(1,2)A， 由23zxy，得 2 33 z yx，由图可知，当直线 2 33 z yx过A时， 直线在y轴
17、上的截距最大，z有最小值为4 故选：B 6 （5 分）已知 3 sin() 33 ，则cos(2 ) 3 的值为() A 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 3 【解答】解： 3 sin() 33 ， 3 sin()cos() 2663 ， 22 31 cos(2 )2()12()1 3633 cos 故选：C 7 （5 分）某同学计划暑期去旅游，现有A，B，C，D，E，F共 6 个景点可供选择， 若每个景点被选中的可能性相等，则他从中选择 4 个景点且A被选中的概率是() A 1 5 B 1 6 C 3 5 D 2 3 【解答】解：某同学计划暑期去旅游，现有A，B，C，D，E，F共 6
18、个景点可供选择， 每个景点被选中的可能性相等，他从中选择 4 个景点， 基本事件总数 4 6 15nC， 其中他从中选择 4 个景点且A被选中包含的基本事件个数 13 15 10mC C， 他从中选择 4 个景点且A被选中的概率 102 153 m P n 故选：D 第 10页（共 21页） 8 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，0) 的部分图象如图所示则函数( )f x的 图象可由函数sinyx的图象经过下列哪种变换得到() A向左平移 3 个单位长度，再将横坐标变为原来的 1 2 倍（纵坐标不变） B向左平移 6 个单位长度，再将横坐标变为原来的 1 2 倍（纵坐标不变）
19、C向左平移 6 个单位长度，再将横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） D向左平移 3 个单位长度，再将横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） 【解答】 解： 根据函数( )sin()(0f xx ，0) 的部分图象， 可得 12 236 ， 2 再结合五点法作图可得2()0 6 ， 3 ，( )sin(2) 3 f xx 故把函数sinyx的图象向左平移 3 个单位长度， 再将横坐标变为原来的 1 2 倍 （纵坐标不变） ， 即可得到( )f x的图象，故A正确， 故选：A 9 （5 分）已知双曲线 22 2 :1(0) 4 xy Cb b ，以C的焦点为圆心，3 为半径的圆与C的渐近 线相
20、交，则双曲线C的离心率的取值范围是() A 3 (1, ) 2 B 13 (1,) 2 C( 3 2 ， 13 ) 2 D(1, 13) 【解答】解：双曲线C的渐近线方程为 2 b yx ，焦点( ,0)F c， 渐近线与圆相交， 2 | 2 3 1( ) b c b a ，即3b ， 22 2cb ，可得 22 413cb， 双曲线C的离心率为： 13 2 c e a ，且1e 第 11页（共 21页） 故选：B 10 （5 分）如图所示，某圆锥的高为3，底面半径为 1，O为底面圆心，OA，OB为底面 半径，且 2 3 AOB ，M是母线PA的中点则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最 短路
21、径的长度为() A3B21C5D21 【解答】解：由题意，在底面半径为 1，高为3的圆锥中， O是底面圆心，P为圆锥顶点，圆锥的侧面展开图是半圆，如图， A，B是底面圆周上的两点， 2 3 AOB ， 所以在展开图中， 3 APB ，母线长为：312，M为母线PA的中点， 所以1PM ， 所以从B到M的最短路径的长是413BM 故选：A 11 （5 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若coscos2cAaC， AC边上的高为3，则ABC的最大值为() A 6 B 3 C 2 D 2 3 【解答】解：因为coscos2cAaC， 第 12页（共 21页） 所以由余弦定理可得
22、222222 2 22 bcaabc ca bcab ，整理可得2b ， 因为AC边上的高为3， 所以 11 23sin 22 acB ， 所以 2 3 sin ac B ， 因为 2222 22 cos1 22 acbacb B acacac ，当且仅当ac时取等号， 所以 3 cos1sin 3 BB， 即3cos3sin3BB， 所以2 3sin() 3 3 B ， 所以 3 sin() 32 B ， 因为(0, )B， 所以( 33 B ， 4 ) 3 ， 所以( 33 B ， 2 3 ， 所以(0B， 3 ， 则ABC的最大值为 3 故选：B 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中
23、，若抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，直线3x 与抛物线C交于A，B两点，| 4AF ， 圆E为FAB的外接圆， 直线OM与圆E切于点M， 点N在圆E上，则OM ON 的取值范围是() A 63 25 ，9B 3，21C 63 25，21D3，27 【解答】解：抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点( 2 p F，0)，准线方程为 2 p x ， 设(3, 6 )Ap， 所以| 34 2 p AF ，解得2p ， 所以抛物线的方程为 2 4yx， 第 13页（共 21页） (3A，2 3)，(3, 2 3)B，(1,0)F， 所以直线AF的方程为3(1)yx， 设圆心坐标为
24、0 (x，0)， 所以 22 00 (1)(3)12xx， 解得 0 5x ，即(5,0)E， 圆的方程为 22 (5)16xy， 不妨设0 M y，设直线OM的方程为ykx，则0k ， 根据 2 |5 | 4 1 k k ，解得 4 3 k ， 由 22 4 3 (5)16 yx xy ， 解得 9 (5M， 12) 5 ， 设(4cos5,4sin )N， 所以 364812 cossin9(3cos4sin )9 555 OM ON ， 因为3cos4sin5sin() 5 ，5， 所以 3OM ON ，21 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题
25、5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）平面向量a ，b 满足(1,1)a ，| 2b ，且 1 () 2 bab ，则向量a 与b 的夹角为 4 第 14页（共 21页） 【解答】解：根据题意，设向量a 与b 的夹角为， (1,1)a ，则|2a ， 若 1 () 2 bab ，则 2 11 ()2 2cos20 22 baba bb ， 解可得 2 cos 2 ， 又由0，则 4 ， 故答案为： 4 14 （5 分）在一次体检时测得某班级 6 名同学的身高分别为：162，173，182，176，174， 183（单位：厘米） 则这 6 名同学身高的方差为48 【解答】解：6 名同学的
26、平均身高为 1 162173182176174183175 6 x ， 所以这6名同学身高的方差为 2222222 1 (162175)(173175)(182175)(176175)(174175)(183175) 48 6 s 故答案为：48 15 （5 分）已知函数( ) x f xaexe的图象在(1，f（1）处的切线过点( , )e e，则a的值 为 1 e 【解答】解：函数( ) x f xaexe的导数为( )1 x fxae， 可得在(1，f（1）处的切线的斜率为1ae ， 又f（1）1aee ， 且切线过点( , )e e，可得 12 1 1 aee ae e ， 解得 1
27、a e 故答案为： 1 e 16 （5 分）一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直 径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为 2 (3) 3 VRh h ，其中R为球的半径， h为球缺的高若一球与一棱长为 2 的正方体的各棱均相切，则该球与正方体的公共部分的 第 15页（共 21页） 体积为 16 2 (10) 3 【解答】解：由题意可知，球与棱长为 2 的正方体的各棱均相切， 故球的半径112r ，球缺的高为21h ， 球缺体积为 2 3 2( 21)( 21)(4 25) 33 ， 公共部分体积为球的体积去掉 6 个球缺的体积， 故其体积为 3 416
28、2 ( 2)6(4 25)(10) 333 故答案为： 16 2 (10) 3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）为落实国务院关于深化教育改革，全面推进素质教育，提高学生体质健康水平 的要求，每个中学生每学年都要进行一次体质健康测试（以下简称体测） 根据“中学生体 测标准分数对照表” 将学
29、生各项体测成绩转换为分数后， 学生的体测总分由如下计算公式得 到： 体测总分体重指标()BMI分数15%肺活量分数15%50米跑分数20%坐位体前屈 分数10%立定跳远分数10%一分钟引体向上 （男)/仰卧起坐 （女)分数10%1000米 跑（男) /800米跑（女)分数20% 体测总分达到 90 分及以上的为“优秀” ；分数在80，90)为“良好” ；分数在60，80)为 “合格” ；60 分以下为“不合格” 某市教体局为了解该市一所中学的学生体质健康状况， 随机抽取了该校 210 名学生的体测成绩，恰有 10 名学生的成绩为“不合格” 剔除这 10 名 学生的成绩后得频率分布直方图如图：
30、（1）若某男同学体测总分为 89 分，该同学除了“肺活量”分数以外的各项分数如下： “体 重指标()BMI”为 89 分， “50 米跑”为 90 分， “坐位体前屈”为 85 分， “立定跳远”为 95 分， “一分钟引体向上”为 70 分， “1000 米跑”为 95 分求这名男同学的“肺活量”分数； （2）已知该市教体局体测总分“优秀率”目标不低于8%，并要求“优秀率”抽查结果不 达标的学校要进行整改，试根据以上数据判断该校是否需要进行整改 第 16页（共 21页） 【解答】解： （1）设该同学肺活量的得分为a， 则根据题意可得，89 15%15%9020%85 10%95 10%70
31、10%9520%89a， 解得91a ，即这名男同学的“肺活量”分数为 91 分； （ 2 ） 根 据 频 率 分 布 直 方 图 可 得 ， 该 校 体 测 “ 优 秀 率 ” 为 200(0.0100.006)5 0.0767.6%8% 210 ， 故该校需要进行整改 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和 1 1 2 n n S （1）求数列 n a的通项公式； （2） 若等差数列 n b的各项均为正数， 且 153 13 11 ,2bbb aa ， 求数列 n n b a 的前n项和 n T 【解答】解： （1）当2n时 1 1 111 1(1) 222 nnn nnn aSS
32、， 当1n 时， 11 1 2 aS满足式， 所以 1 2 n n a （2）设 n b的公差为(0)d d ， 由（1）知 1 2 26 b d ， 解得2d ， 所以 1 (1)31 n bbndn 所以(31) 2n n n b n a 因此 123 225 28 2(31) 2n n Tn 所以 2341 2225 28 2(31) 2n n Tn ， 第 17页（共 21页） 得： 21 23111 2 (12) 43 (222 )(31) 243(31) 2(34) 28 12 n nnnn n Tnnn 19 （12 分）如图，正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 4
33、，M，N分别为棱 11 A D， 1 CC的中 点，P为 1 DD上一点，且1DP （1）证明：/ /CP平面 1 B MN； （2）求点C到平面 1 B MN的距离 【解答】 （1）证明：在 1 DD上取点Q使得 1 1D Q ，连接QM，QN， 则由已知易得 1 / /MQB N， 所以M，Q，N， 1 B四点共面，（2 分） 又/ /PQCN，且2PQCN， 所以四边形PQNC为平行四边形， 所以/ /CPQN，（4 分） 因为QN 平面 1 B MN，CP 平面 1 B MN， 所以/ /CP平面 1 B MN（6 分） （2）解：因为 22 111 422 5B MB NC M， 所
34、以取MN中点H，连接 1 B H，可得 1 B HMN， 在Rt 1 NC M中， 22 (2 5)22 6MN ， 第 18页（共 21页） 故 1 22 1 11 |2 6(2 5)( 6)2 21 22 B MN SMNB H ，（8 分） 又 11 1 244 2 B C N S ，点M到平面 1 B CN的距离为棱长 4， 设点C到平面 1 B MN的距离为d， 则由N为 1 CC的中点可得 1 C到平面 1 B MN的距离也为d 由 111 1 CB MNMB C N VV 可得 11 2 2144 33 d， 解得 8 21 21 d ， 故点C到平面 1 B MN的距离为 8
35、21 21 （12 分） 20 （12 分）已知 2 ( )(21)()f xxaxalnx aR （1）试讨论( )f x的单调性； （2）当1x 时， 2 ( )(1)3(2)f xa xxalnx恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1） 2 2(21)()(21) ( )2(21)(0) axaxaxax fxxax xxx ， 令( )0fx，得xa或 1 2 x （舍去） ， 所以当0a时，( )0fx恒成立，( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，若(0, )xa，则( )0fx，( )f x单调递减， 若( ,)xa，则( )0fx，( )f x单调递增 综上所述
36、：当0a时，( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，( )f x在(0, )a上单调递增，在( ,)a 上单调递增 （2）令 22 ( )( )(1)3(2)2(1)2F xf xa xxalnxaxaxlnx， 22(1)(1) ( )22(1) axx F xaxa xx ，F（1）2a ，( )0F x 在1x 恒成立 当0a时，( )0F x在1x 恒成立，( )F x在(1,)单调递减， 所以要使( )0F x 在1x 恒成立的充要条件是F（1）0， 即F（1）2 0a ， 解得2a， 故20a ； 当01a时，( )F x在 1 (1,) a 上单调递减，在 1 (,) a
37、 上单调递增， 虽然F（1）20a ，但当 2(1)2 2 a x aa 时， 2(1)2 ( )()2(2)0 a F xax xlnxF aa ， 第 19页（共 21页） 所以( )0F x 在1x 不恒成立，01a不合题意； 当1a时，( )0F x在1x 恒成立，( )F x在(1,)单调递增，虽然F（1）20a ， 但当 2(1)2 2 a x aa 时 2(1)2 ( )()2(2)0 a F xax xlnxF aa ， 所以( )0F x 在1x 不恒成立，1a不合题意 综上所述，实数a的范围是20a ，即实数a的取值范围是 2，0 21 （12 分）已知( 2,0)F 为椭
38、圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点，斜率为 1 的直线l交椭 圆C于A，B两点，当直线l经过点F时，椭圆C的上顶点也在直线l上 （1）求C的方程； （2） 若O为坐标原点，D为点A关于x轴的对称点， 且直线l与直线BD分别交x轴于点M， N证明| |OMON为定值 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 由 题 ：1 b c ， 则2bc， 222 8abc，C的 方 程 为 22 1 84 xy （4 分） （2）设: l yxt， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 1 (D x， 1) y， 令0y 可得(,0)Mt，| |OMt 由 22 1 84
39、 yxt xy ，消去x得 22 3280ytyt， 22 412(8)0tt，解得 2 12t ， 根据方程可得 2 1212 28 , 33 tt yyy y ，（6 分） 又 因 为 直 线BD的 方 程 为 ： 21 11 21 () yy yyxx xx ， 令0y ， 得 121211221121212 1 12121212 ()()()2() N y xxx yx yyt yyt yy yt yy xx yyyyyyyy （ 9 分） 由 2 1212 28 , 33 tt yyy y 得 2 2(8) 8 3 2 3 N t xt t t 则 8 | | | | 8OMONt
40、t 为定值（12 分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第 20页（共 21页） 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1cos3sin ( 1sin3cos xtt t ytt 为参 数） ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2 C的极坐标方程为 (R ，0，)，且直线 2 C与曲线 1 C交于A，B两点 （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）当
41、|AB最小时，求的值 【解答】 解：（1） 由题， 12cos() 3 12sin() 3 xt yt ， 故 22 (1)(1)4xy， 即 22 2220 xyxy， 则 2 2 cos2 sin20，即 2 2 2 sin()20 4 （5 分） （2）法一：设 1 (A，)， 2 (B，)，由（1） ， 12 2 2sin() 4 ， 12 2 则 2222 121212 |()()48sin ()8 8 4 AB ， 当且仅当sin()0 4 时，|AB最小，此时，() 4 kkZ 因为0，)，故 3 4 （10 分） 法二：设圆心 1 C到直线 2 C的距离为d，则 2 | 2 4
42、ABd， 又 1 |2dOC ，当且仅当 1 OC与直线 2 C垂直时等号成立，此时|AB最小， 因为 1 4 C Ox ，0，)，故 3 4 （10 分） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |4|f xxx （1）解不等式(21) 6fx ； （2） 记函数( )f x的最小值为a， 且 22 4 a mn， 其中m，n均为正实数， 求证： 33 4 mna nm 【解答】 （1）解：令( )(21) |23|21|g xfxxx， 当 3 2 x 时，( )(23)(21)42 62g xxxxx ，则 3 2 2 x ， 当 31 22 x时，( )(23)(21)4 6g xxx ，则 31 22 x， 当 1 2 x时，( )(23)(21)42 61g xxxxx，则 1 1 2 x ， 第 21页（共 21页） 综上：不等式的解集为 2，1 （5 分） （2）证明：因为( ) |4|4| 4f xxxxx，则4a ， 22 1mn， 则 33442222222 ()2121 2 mnmnmnm nm n mn nmmnmnmnmn ， 又 22 12mnmn（当且仅当 2 2 mn时取等号） ，则 1 0 2 mn， 则 1 2211mn mn ，故得证 （10 分）
