1、 史话史话勾股定理勾股定理 勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多 领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学 家、知名人士对此都有过研究，至今已有家、知名人士对此都有过研究，至今已有500 多种证明方法。多种证明方法。 国内：国内：公元十一世纪周朝数学家就提出公元十一世纪周朝数学家就提出“勾三勾三 股四弦五股四弦五”，在，在周髀算经周髀算经中有所记载。中有所记载。 公元公元3世纪三国时代的赵爽对世纪三国时代的赵爽对周髀算经周髀算经 内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅 “勾股圆
2、方图勾股圆方图”，把勾股定理叙述成：勾股各，把勾股定理叙述成：勾股各 自乘，并之为弦实，开方除之即弦。自乘，并之为弦实，开方除之即弦。 国外：国外：公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯 (Pythagoras)证明了勾股定理，因而西方人都证明了勾股定理，因而西方人都 习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。 公元前公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在巨著世纪，希腊数学家欧几里得在巨著 几何原本几何原本（第（第卷，命题卷，命题47）中给出一个）中给出一个 很好的证明。很好的证明。 1876年年4月月1日，加菲乐德在日，加菲乐德在新英格兰教
3、育新英格兰教育 日志日志上发表了他对勾股定理的一个证法上发表了他对勾股定理的一个证法 。 在行距、列距都是在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个的方格网中，任意作出几个 以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的 各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图， 并以并以S1 ，S2 与与S3分别表示几个正方形的面积分别表示几个正方形的面积 探究：探究： 观察图观察图( (1) )，并填写：，并填写： S1个单位面积；个单位面积； S2个单位面积；个单位面积； S3个单位面积个单位面积 观察图观察图( (2) )，并
4、填写：，并填写： S1个单位面积；个单位面积； S2个单位面积；个单位面积； S3 个单位面积个单位面积 图图( (1) )，( (2) )中三个正方形面积之间有怎样的关中三个正方形面积之间有怎样的关 系，用它们的边长表示，是：系，用它们的边长表示，是： 9 18 9 9 16 25 a2+b2=c2 结论：结论：直角三角形两条直角边的平方和等于斜直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方边的平方. . 说一说：说一说：我国古代把直角三角形我国古代把直角三角形 中较短的直角边称为勾，较长的中较短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦，因直角边称为股，斜边称为弦，因 此，我们称上述定
5、理为此，我们称上述定理为勾股定理勾股定理 国外称之为国外称之为毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理 （Pythagoras theorem） 如果直角三角形的两直角边用如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用表示，斜边用 C表示，那么勾股定理可表示为：表示，那么勾股定理可表示为： a2+b2c2 拼一拼拼一拼 c c c c a b a ba b a b 给出一个边长为给出一个边长为c的正的正 方形和四个直角边分方形和四个直角边分 别为别为a，b三角形，你三角形，你 能把它们拼成一个正能把它们拼成一个正 方形吗？方形吗？ 想一想：想一想：我们怎样用面积计算的方法来证我们怎样用面积计算的方法来证 明
6、勾股定理呢？明勾股定理呢？ 已知：如图，在已知：如图，在RtABC中，中，C90， ABc，BCa，ACb， 求证：求证：a2+ +b2c2. c c c c a b a b a b a b a b c A C B A1 B1 C1 D1 E F G H 证明：由拼图可知：大正方形的边长为证明：由拼图可知：大正方形的边长为( (a+ +b) ), 小正方形的边长为小正方形的边长为c， 大大正方形正方形EFGH的面积减去的面积减去4个个ABC的面的面 积等于积等于中间的小中间的小正方形正方形A1B1C1D1的面积的面积. 111 4 EFGHABCA B C D SSS 正正方方形形正正方方形形
7、 22 1 4 2 a babc（ + ）+ ） 化简，得：化简，得：a2+b2c2 1.求下列图中字母所表示的正方形的面积求下列图中字母所表示的正方形的面积. 练一练练一练 225 400 A 225 81 B 625 144 2.在在ABC中，中，C90，ABc，BCa， ACb. （1）a6，b8，求，求c； （2）a8，c17，求，求b. 解解：（：（1）在在RtABC中，中，C90， 2222 6810010.cab a2+b2c2， （2）在在RtABC中，中，C90， 2222 b17822515.ca a2+b2c2， 在用勾股定理时，需要知道直角三角形在用勾股定理时，需要知道
8、直角三角形 中的两条边长，才能求出第三边长中的两条边长，才能求出第三边长. 想一想：想一想： 3. ABC中，中，AB=10，AC=17，BC边上的高线边上的高线 AD=8，求线段，求线段BC的长的长 解：本题分两种情况讨论：解：本题分两种情况讨论： （1）如图）如图1，当，当AD在在ABC内时，内时， 在在RtABD中，中， 10 17 A BC D 图图1 8 BD2+AD2AB2 22 6BDABAD 在在RtADC中，中， DC2+AD2AC2 22 15DCACAD BC=BD+DC6+1521； （2）如图）如图2，当，当AD在在ABC内时，内时， 由（由（1）知：）知：BD6， DC15， BC=BDDC1569， 综合上述，综合上述，BC的长为的长为9或或21. A B C 8 D 17 10 图图2 ( (2) )勾股定理及证明方法；勾股定理及证明方法； 小结与反思小结与反思 ( (1) )勾股定理的由来勾股定理的由来； 1. .本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流. . 2. .通过本节课的学习你有哪些收获和经验？通过本节课的学习你有哪些收获和经验？ 谈谈你的感悟谈谈你的感悟. . ( (3) )勾股定理的简单应用勾股定理的简单应用. . 布置作业布置作业 课本第课本第57页：习题页：习题18.1第第13题题.
