1、勾勾 股股 弦弦 受台风影响，一棵树在离地面受台风影响，一棵树在离地面4米处断米处断 裂，树的顶部落在离树跟底部裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵米处，这棵 树折断前有多高？树折断前有多高？ 毕达哥拉斯毕达哥拉斯 (公元前公元前572-前前 492年年),古希腊著名古希腊著名 的哲学家、数学家、的哲学家、数学家、 天文学家。天文学家。 相传相传25002500年前，一次，毕年前，一次，毕 达哥拉斯去朋友家作客在宴达哥拉斯去朋友家作客在宴 席上他看着朋友家的方砖地面席上他看着朋友家的方砖地面 发起呆来主人觉得非常奇怪，发起呆来主人觉得非常奇怪， 就想过去问他谁知毕达哥拉就想过去问他谁知毕达哥
2、拉 斯突然恍然大悟的样子，站起斯突然恍然大悟的样子，站起 来，大笑着跑回家去了来，大笑着跑回家去了. .后来知后来知 道是因为他从中发现了直角三道是因为他从中发现了直角三 角形三边的数量关系，赶着回角形三边的数量关系，赶着回 家证明去了。家证明去了。 那么，他朋友家的地板到底那么，他朋友家的地板到底 是怎样呢？我们也观察一下看看是怎样呢？我们也观察一下看看 能发现什么？能发现什么？ A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？ 如果用三角形的边长表示如果用三角形的边长表示 正方形面积，你会发现等腰直正方形面积，你会发现等腰直 角三角形三边有什么关系？角三角形三边有什么关系？ SA+SB=SC
3、 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 将等腰直角三角形变换为一个一般直角三角形，上将等腰直角三角形变换为一个一般直角三角形，上 述结论是否依然成立？述结论是否依然成立？ a b b c c a2 + b2 = c2 A C C B B A B C A B C A的面的面 积积 B的面的面 积积 C的面的面 积积 图图1 图图2 A、B、C 面积关系面积关系 直角三角直角三角 形三边关形三边关 系系 图图1 图图2 4913 92534 sA+sB=sC 两直角边的平方和两直角边的平方和 等于斜边的平方等于斜边的平方 分别算出图中各正方形的面
4、积，看看能得出什么结论？分别算出图中各正方形的面积，看看能得出什么结论？ 设：直角三角形的设：直角三角形的 三边长分别是三边长分别是a、b b、c c， 猜想猜想: :两直角边两直角边a、b b与与 斜边斜边c c 之间的关系？之间的关系？ a b b a2 2+b+b2 2=c=c2 2 每个小方格的面积均为每个小方格的面积均为1 c c (1) (2) (3) (4) b C a 利用准备好的四个全等的直利用准备好的四个全等的直 角三角形，角三角形，a、b b表示两条直角边，表示两条直角边， c c表示斜边。表示斜边。 动手实践动手实践：这四个全等的直这四个全等的直 角三角形可以拼成一个正
5、方角三角形可以拼成一个正方 形吗？有些什么不同的方法？形吗？有些什么不同的方法？ 思考：拼出的正方形面思考：拼出的正方形面 积用含积用含a、b、c的式子可以的式子可以 怎么表示？怎么表示？ 能得到我们要证明的结论吗？能得到我们要证明的结论吗？ c a b c a b c a b c a b 方法一方法一 a2 + b2 = c2 (1) (2) (3) (4) b C a 大正方形的面积可以大正方形的面积可以 如何表示？如何表示？ c c c c ba 方方 法法 二二 a (1) (2) (3) (4) a b c a2 + b2 = c2 b 大正方形的面积可以大正方形的面积可以 如何表示
6、？如何表示？ 这个图案公元这个图案公元 3 3 世纪我世纪我 国汉代的赵爽在注解国汉代的赵爽在注解周髀周髀 算经算经时就已经给出，人们时就已经给出，人们 称它为称它为“赵爽弦图赵爽弦图”赵爽赵爽 根据此图指出：四个全等的根据此图指出：四个全等的 直角三角形（红色）可以如直角三角形（红色）可以如 图围成一个大正方形，中间图围成一个大正方形，中间 的部分是一个小正方形的部分是一个小正方形 （黄色）（黄色） 赵爽弦图赵爽弦图 a a b b c c 有趣的总统证法有趣的总统证法: 美国第二十任总统伽菲尔德的证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法 在数学史上被传为佳话在数学史上被传为佳话 )ba)(ba(
7、 2 1 S 梯梯形形 2 2 1 2 1 2 1 cababS 梯形 a2 + b2 = c2 在中国古代，人们把弯曲成直角的 手臂的上半部分称为勾，下半部分称 为股。我国古代学者把直角三角形较 短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”. 勾勾 股股 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为斜边为c，那么，那么 即即:直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。斜边的平方。 在西方又称在西方又称毕达哥拉毕达哥拉 斯定理斯定理！ a2 + b2 = c2 CB A 勾股定理给出了直角三角形三边之间的勾股定理给出
8、了直角三角形三边之间的 关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方 c b a c2=a2 + b2 a2=c2b2 b2 =c2-a2 acb 22 cab 22 b=c 2 -a 2 受台风麦莎影响，一棵树在离地面受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米米 处断裂，树的顶部落在离树跟底部处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，米处， 这棵树折断前有多高？这棵树折断前有多高？ 4米米 3米米 已知直角三角形任意两边求第三边已知直角三角形任意两边求第三边 勾股定理有什么作用呢？勾股定理有什么作用呢？ 一定要在一定要在直角三角形直角三角形中哦！中哦！ 1. 1.在在AB
9、CABC中中, C=90, C=90，a =6,c=10,=6,c=10, 则则b=_b=_ 8 2、 ABC中，C=90 若a=3cm, b=4cm,则c= _cm 若a=12cm, c=13cm,则b= _ cm 若c=17cm, a =8cm,则b= _ cm 5 5 15 1 1、 勾股定理是几何中最重要的定理之一，勾股定理是几何中最重要的定理之一， 它揭示了它揭示了直角三角形直角三角形三边之间三边之间的数量关系的数量关系. . 2 2、勾股定理：勾股定理： 直角三角形两直角边直角三角形两直角边a、b b 的平方和，的平方和， 等于斜边等于斜边c c的平方的平方: : 。 3 3、勾股
10、定理的勾股定理的主要作用主要作用是是 ：在直角三角形：在直角三角形 中中, ,已知任意两边求第三边的长。已知任意两边求第三边的长。 a2 + b2 = c2 4 4、我们利用、我们利用“面积法面积法”证明勾股定理，这体证明勾股定理，这体 现了数学中数形结合的思想。现了数学中数形结合的思想。 判断题：判断题： 直角三角形三边分别为直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一，则一 定满足下面的式子：定满足下面的式子： a2+b2 =c2 ( ) . . 直角三角形的两边长分别是直角三角形的两边长分别是3和和4，则，则 第三边长是第三边长是5. ( ) c a b 1、如图已知、如图已知a3，b
11、4 求求c=? 2、如图已知：、如图已知： c 10，a6， 求求b=? 3、如图已知：、如图已知： c 13，a 5， 求阴影部分面积？求阴影部分面积？ l运用勾股定理时应注意： 在直角三角形中，认准直角边和斜在直角三角形中，认准直角边和斜 边；边； 两直角边的平方和等于两直角边的平方和等于斜边斜边的平方。的平方。 a c 4 4、在、在 ABCABC中中, C=90, C=90, ,若若AC=6,CB=8,AC=6,CB=8, 则则 ABCABC面积为面积为_,_,斜边为上的高为斜边为上的高为_._.244.8 15 12 0 5 5、已知：、已知：ABCABC，ABABACAC1717，
12、 BCBC1616，则高，则高ADAD， S S ABCABC . . BC A D 小明的妈妈买了一部小明的妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘米）的厘米）的 电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏 幕只有幕只有58厘米长和厘米长和46厘米宽，他觉得一定是厘米宽，他觉得一定是 售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的我们通常所说的29 英寸或英寸或74厘米的电视厘米的电视 机，是指其荧屏对角机，是指其荧屏对角 线的长度线的长度 售货员没搞错售货员没搞错 想一想想一想 荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为74厘米厘
13、米 582 + 462 = 5480即即 742 = 5476 3 1 1、如图，学校有一块长方形花园，有极、如图，学校有一块长方形花园，有极 少数人为了避开拐角走少数人为了避开拐角走“捷径捷径”，在花园内走，在花园内走 出了一条出了一条“路路”，仅仅少走了，仅仅少走了_步路步路, , 却踩却踩 伤了花草。伤了花草。 （假设（假设1 1米为米为2 2步）步） 4 5 A B C “路路” 4 2、如图，要登上、如图，要登上8米高的建筑物米高的建筑物BC，为了，为了 安全需要，需使梯子底端离建筑物距离安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为为6 米，问至少需要多长的梯子？米，问至少需要多长的梯子？ 8m B C A 6m 解：根据勾股定理得：解：根据勾股定理得： AC2= 62 + 82 =36+64 =100 即：即：AC=10（不合题意，舍去）（不合题意，舍去） 答：梯子至少长答：梯子至少长10米。米。
