1、第四章第四章. .全等三角形全等三角形 模型（十五）模型（十五）雨伞模型雨伞模型 【条件】【条件】APAP 是是BACBAC 的平分线，的平分线，BOBOAPAP 【结论】【结论】ABOABOADOADO，AB=ADAB=AD，OB=ODOB=OD 【证明】【证明】 模型讲解模型讲解 口诀口诀 角平分线角平分线+ +垂线，垂线， 轻轻延长等腰现。轻轻延长等腰现。 典例典例 1 1 已知：如图，ABC 中，AB=AC，A=90，ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 E， BDC=90，求证：CE=2BD 【解析】如图，延长 BD 交 CA 的延长线于点 F， BAC=90, BAF=BAC=
2、90， ACE+AEC=90，BDC=90,ABFBED=90 AEC=BED, ACE=ABF. 又AB=AC，ACEABF（ASA）， CE=BF. CD 是ACB 的平分线，BDC=90， FCD=BCD，CDF=CDB=90.又CD=CD， CDFCDB（ASA），BD=FD= 2 1 BF 典例秒杀 BD= 2 1 CE，即 CE=2BD. 典例典例 2 2 如图，在ABC 中，BE 是ABC 的平分线，ADBE，垂足为 D， 求证2=1+C. 【解析】如图，延长 AD 交 BC 于点 F. BE 是ABC 的平分线，ADBE， AB=FB, 2=AFB. AFB=1+C，2=1+C
3、. 典例典例 3 3 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 A（a，0）， B（0，b）两点，且 a，b 满足（a-b） 2a 一 4t=0，且 t0，t 是常数， 直线 BD 平分OBA，交 x 轴于点 D. 若 AB 的中点为 M，连接 OM 交 BD 于点 N，求证ON=OD; 如图 2，过点 A 作 AEBD，垂足为 E，猜想 AE 与 BD 间的数量关系，并证明 你的猜想. 【解析】（1）直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 A（a，0），B（0，b）两点， a，b 满足（a-b）十a-4t=0，且 t0， a=b=4t，点 A，B 的坐标是 A（4t，
4、0），B（0，4t）， AOB 是等腰直角三角形.M 是 AB 的中点，OMAB. 直线 BD 平分OBA，ABD= 2 1 ABO=22.5, OND=BNM=90-ABD=90-22.5=67.5, ODB=ABD+BAD=22.545=67.5, OND=ODB，ON=OD（等角对等边）. (2) BD=2AE.理由如下如图，延长 AE 交 BO 于点 C. BD 平分OBA，ABD=CBD. AEBD 于点 E，AEB=CEB=90. 在ABE 和CBE 中， ABD=CBD, BE=BE, CEB=AEB=90, ABECBE(ASA), AE=CE,AC=2AE. AEBD，OAC
5、+ADE=90， 又OBD+BDO=90，ADE=BDO， OAC=OBD. 在OAC 与OBD 中，OAC=OBD， OA=OB, AOC=BOD, OACOBD（ASA），BD=AC.BD=2AE. 1.（）如图，ABC 的面积为 9 cm，BP 平分ABC， APBP 于点 P， 连接 PC，则PBC 的面积为（） A.3 cmB.4 cmC.4.5 cmD.5 cm 2.（）如图，D 为ABC 内一点，CD 平分ACB，BDCD，A=ABD， 若 BD=1，BC=3，则 AC 的长为（） A.5B.4C.3D.2 3.（）如图，在ABC 中，D 为边 BC 的中点，点 E 在ABC 内
6、，AE 平分BAC，CEAE，点 F 在 AB 上，且 BF= DE. （1）求证四边形 BDEF 是平行四边形. （2）线段 AB，BF，AC 之间具有怎样的数量关系?证明你所得到的结论。 小试牛刀小试牛刀 1. 如图所示，ABC 的面积为 10cm，BP 平分ABC，APBP，垂足为 P，连 接 CP，若三角形内有一点 M，则点 M 落在BPC 内（包括边界）的概率为_ 。 在中考考试中在中考考试中 ，雨伞模型，雨伞模型是是一类特点非常鲜明约几何题，做一类特点非常鲜明约几何题，做 这突题的关键就在于添加这突题的关键就在于添加延延长线长线，它与平行线中点模型并称为它与平行线中点模型并称为 中
7、学阶段两大必延长的中学阶段两大必延长的模型模型， 只只要要看到这类模型看到这类模型 ，方法就很方法就很 统一了统一了. . 直击中考 第四章第四章. .全等三角形全等三角形 模型（模型（1515）雨伞模型雨伞模型 答案：答案： 小试牛刀小试牛刀 1.答案答案C 解析解析如图，延长 AP 交 BC 于点 E. BP 平分ABC，且 APBP， 根据雨伞模型结论可知ABPEBP，AP=PE, SABP= SEBP,SACP=SECP, SPBC= 2 1 SABC= 2 1 9=4.5（cm） ，故选 C. 2.答案答案A 解析解析延长 BD 交 AC 于点 E，如图。 CD 平分ACB，BDCD
8、， 根据雨伞模型结论可知BCE 为等腰三角形，BC=CE，BD=DE. A=ABD, EA=EB=2BD=2,AC=AE+CE=AE+BC=23=5，故选 A. 3.解析解析（1）如图，延长 CE 交 AB 于点 G. AECE,AEG=AEC=90， 在AEG 和AEC 中， GAE=CAE, AE=AE, AEG=AEC,AGEACE(ASA), GE=EC. 又BD=CD，DE 为CGB 的中位线， DE/AB. 又DE=BF，四边形 BDEF 是平行四边形. （2）BF= 2 1 （AB-AC）.理由如下 D，E 分别是 BC，GC 的中点， DE= 2 1 BG 又DE=BF，BF= 2 1 BG. AGEACE, AG=AC. BF = 2 1 (ABAG) 2 1 （AB-AC). 直击中考直击中考 1.答案答案 2 1 解析解析延长 AP 交 BC 于点 E，如图. BP 平分ABC，且 APBP， 根据雨伞模型结论可知ABPEBP， AP=PE, SABP= SEBP,SACP=SECP, SPBC= 2 1 SABC= 2 1 10=5（cm） 则点 M 落在BPC 内（包括边界）的概率为 2 1 10 5 ABC BPC s s
