1、第四章第四章. .全等三角形全等三角形 模型（模型（1414）平行线中点模型平行线中点模型 【结论】如图，【结论】如图，ABABCDCD，点，点 E E、F F 分别在直线分别在直线 ABAB、CDCD 上，点上，点 O O 为为 EFEF 中点，中点， 则则POEPOEQOFQOF 【证明】【证明】 典例典例 1 1 如图，已知 ABCD，BCCD，且 CD=2AB=12，BC=8，E 是 AD 的中点. （1）请你用直尺（无刻度）作出一条线段与 BE 相等，并证明; 模型讲解模型讲解 典例秒杀 （2）求 BE 的长. 【解析】（1）如图，延长 BE 与 CD 相交于点 F，则 EF=BE.
2、 证明ABCD，A=D,ABE=DFE. E 是 AD 的中点， AE=DE. 在AEB 与DEF 中， A=D, ABE= DFE,AEBDEF（AAS）， BE=EF。 AE=DE, (2) AEBDEF, DF=AB=6，BE=EF= 2 1 BF， CF =CD -DF=6 BCCD,BF= 22 CFBC =10，BE= 2 1 BF=5. 典例典例 2 2 如图所示，已知梯形 ABCD，AD/BC，E 为 CD 的中点，若用 S1， S2，S3分别表示 ADE，EBC，ABE 的面积，则 S1，S2，S3的关系是（） A.S1+S2S3B. S1+S2S3C.S1+S2S3D.以上
3、都不对 【答案】B 【解析】如图，延长 AE，交 BC 的延长线于点 F. ADBC， E 为 CD 的中点，ADEFCE, E 是 AF 的中点， AE=EF. ABE 与BFE 是等底同高的两个三角形，即它们的面积相等， SBFE= S1十 S2=S3. 故选 B. 典例典例 3 3 矩形 ABCD 与 CEFG 如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF， 取 AF 的中点 H，连接 GH.若 BC=EF=2，CD=CE=1，则 GH=（）. A.1B. 3 2 C. 2 2 D. 2 5 【答案】C 【解析】如图，延长 GH 交 AD 于点 P. 四边形 ABCD
4、 和四边形 CEFG 都是矩形， ADC=ADG= CGF = 90,AD=BC=2,GF=CE=1, AD/GF,GFH=PAH, 又H 是 AF 的中点，形成了平行线中点模型， 根据模型结论可知:APHFGH（ASA）， AP=GF=1，GH=PH= 2 1 PG ,PD=ADAP=1. CG=2,CD=1,DG=1, GH= 2 1 PG= 2 1 22 DGPD = 2 2 .故选 C. 1.（） 如图， 在正方形 ABCD 中， E 为 AB 边的中点， G， F 分别为 AD， BC 边上的点，若 AG=1，BF=2，GEF= 90，则 GF 的长为（ ）. A.1B.2C.3D.
5、4 小试牛刀小试牛刀 2.（）如图，已知 AB=12，ABBC 于点 B，ABAD 于点 A，AD=5， BC=10，E 是 CD 的中点，则 AE 的长为（) A.6B. 2 13 C.5D.41 2 3 3.（）如图，在四边形 ABDC 中，D=B=90，O 为 BD 的中点，且 OAOC.（1）求证 CO 平分ACD.（2） 求证ABCD=AC. 1. 如图，在菱形 ABCD 中，AB= 2，B 是锐角，AEBC 于点 E，M 是 AB 的中 点，连接 MD，ME.若EMD=90，则 cos B 的值为_. 在中考考试中在中考考试中 ， 平行线中点是一类特点非常鲜明的几何平行线中点是一类
6、特点非常鲜明的几何 题，做这类题的关键就在于添加延长线题，做这类题的关键就在于添加延长线。 直击中考 第四章第四章. .全等三角形全等三角形 模型（模型（1414）平行线中点平行线中点 答案：答案： 小试牛刀小试牛刀 1.答案答案C 解析解析延长 GE 交 FB 的延长线于点 M，如图 DA/CB，且 E 为 AB 边的中点， 形成了平行线中点模型.根据模型 结论可知，GEAMEB（ASA）， GE=ME. GEF=90,MEF=180-GEF=90 GEF=MEF. 在GEF 和MEF 中， GE=ME, GEF=MEF, EF=EF,GEFMEF（SAS）， GF=MF=FBBM=FBAG
7、= 2+1=3.故选 C. 2.答案答案B 解析解析延长 AE 交 BC 于点 F，如图. ABBC,ABAD, AD/ BC. E 是 CD 的中点， 形成了平行线中点模型. 根据平行线中点模型易知ADEFCE(ASA), AE=FE,AD=CF=5,BF= BCCF=5. 在 RtABF 中，AF= AB十 BF=12十 5=13， AF=13 AE= 2 1 AF= 2 13 ，故选 B. 3.解析解析（1）如图，延长 AO 交 CD 的延长线于点 E. O 为 BD 的中点， OB=DO. 在AOB 和EOD 中，AOB=EOD, OB=OD, ABO=EDO, AOBEOD（ASA）
8、， AO=OE. OAOC，AOC=EOC=90. 在AOC 和EOC 中，AO=EO, A0C=EOC, CO=CO, AOCEOC(SAS), ACO=DCO,即 CO 平分ACD. AOBEOD, AB=DE.AOCEOC,AC=CE. CE=CD+DE,AC=CD+DE=CD+AB. 直击中考直击中考 1.答案答案 2 13 解析解析如图，延长 DM 交 CB 的延长线于点 H，连接 DE. 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=AD=2,AD/CH, 又 M 是 AB 的中点，根据平行线中点模型可知 ADMBHM, AD=HB=2,DM=HM. EMDH, EH=ED， 设 BE=x（x0），AEBC， AEAD, AEB=EAD=90，AE=AB-BE=DE-AD, 2x=（2x）-2， 解方程，得 x=3-1 或 x=-3-1（舍去）. cosABC= AB BE = 2 13
