1、第四章第四章. .全等三角形全等三角形 模型（十六）模型（十六）半角模型半角模型 一、正方形中的半角模型一、正方形中的半角模型 【条件【条件】如图如图两个角共顶点两个角共顶点，其中一个角其中一个角（4545 ）是另一个角是另一个角（9090 ）的一半的一半 【结论】【结论】EF=BE+DFEF=BE+DF，EAEA 平分平分BEFBEF，FAFA 平分平分DFEDFE， EFCEFC 的周长等于正方形的周长等于正方形边长的边长的 2 2 倍倍 如图：如图：AM=ABAM=AB 如图：如图：EAF=45EAF=45 ，则，则 EFEF =BE=BE +FC+FC 模型讲解模型讲解 【证明】【证明
2、】延延长长 C CB B 至点至点 P P，使，使得得 BPBP= =DFDF 连连接接 APAP 第一第一次次全等全等第二第二次次全等全等 在在ABABP P 和和ADADF F 中中在在AEAEP P 和和AEAEF F 中中 AB=ADAB=AD（正方形边长相等）（正方形边长相等）AP=AFAP=AF ABP=ABP=ADF=90ADF=90 PAE=PAE=FAEFAE BP=DFBP=DF（构造）（构造）AE=AEAE=AE ABABP PADADF F（SASSAS）AEAEP PAEAEF F（SASSAS） AP=AFAP=AF ，1=1=2 2PE=EFPE=EF 2+2+3
3、=453=45 即即 PB+BE=EFPB+BE=EF 1+1+3=43=45 5 , ,DF+BEDF+BE =E=EF F PAE=PAE=FAEFAE 由由得：得：AEPAEPAEFAEF，则，则4=4=5 5，AFE=AFE=P P 又又APBAPBAFDAFD，P=P=AFDAFD，AFE=AFE=AFDAFD EAEA 平分平分BEFBEF，FAFA 平分平分DFEDFE 由由得：得：EF=BE+DFEF=BE+DF，EFCEFC 的周长的周长EF+EC+CFEF+EC+CFBE+DF+EC+CFBE+DF+EC+CF =BC+DC=BC+DC， EFCEFC 的周长等于正方形的周
4、长等于正方形边长的边长的 2 2 倍倍 过过 A A 作作 AMAMEFEF，则，则AME=AME=B=90B=90 。由由得得1=1=2 2，AE=AEAE=AE， ABEABEAMEAME（AASAAS），），AM=ABAM=AB 见半角见半角， 旋全角旋全角， 盖半角盖半角， 得半角得半角。 口诀口诀 如图，如图，过点过点 A A 作作 APAPAFAF 且且 APAP= =AF.AF.连接连接 P PE E CAB= PAF=90，1=2 第一第一次次全等全等第二第二次次全等全等 在在ABABP P 和和ACACF F 中中在在AEAEP P 和和AEAEF F 中中 AB=ACAB=
5、ACAP=AFAP=AF 2=2=1 1PAE=PAE=FAEFAE AP=AFAP=AFAE=AEAE=AE ABABP PACACF F（SASSAS）AEAEP PAEAEF F（SASSAS） BP=CFBP=CF ，ABP=ABP=C=45C=45 PE=EFPE=EF EAF=45EAF=45 在在 RtRtPBEPBE 中，中，PEPE =PB=PB +BE+BE 1+1+3=43=45 5 , ,即即 E EF F =CF=CF +BE+BE 2+2+3 3 =45=45 二、等腰三角形中的半角模型等腰三角形中的半角模型 【条件】【条件】如图，ABC 是等边三角形，BDC 是等
6、腰三角形， 且BDC=120，MDN=60， 【结论】【结论】MN=MN= BM+CN;BM+CN; MANMAN 的周长等于的周长等于ABCABC 边长的边长的 2 2 倍倍; ; MDMD 是是BMNBMN 的平分线，的平分线，NDND 是是CNMCNM 的平分线的平分线 【证明】BDC 是等腰三角形，且BDC=120， BCD=DBC=30. ABC 是等边三角形，ABC = BAC = BCA=60, DBA= DCA=90. 延长 AB 至点 F， 使 BF=CN， 连接 DF， 如图.在BDF 和CDN 中， DB=DC, DBF=DCN,BF=CN,BDFCDN(SAS）， BD
7、F=CDN,F=CND,DF=DN. MDN=60, BDM+CDN=60,BDM+BDF=60， 即FDM=60=MDN. 在DMN 和DMF 中，DN=DF,MDN= MDF, DM=DM, DMNDMF（SAS），MN=MF=BM+CN, F=MND=CND，FMD=DMN， AMN 的周长是 AMANMN=AMMBCNAN=ABAC=2 边长. 三、对角互补且邻边相等的半角模型对角互补且邻边相等的半角模型 【条件】【条件】如图，如图，B BD=180D=180，BAD=BAD= 2 2EAFEAF，AB=ADAB=AD， 【结论】【结论】EF=BE+FD;EF=BE+FD; EAEA
8、是是BEFBEF 的平分线，的平分线，FAFA 是是DFEDFE 的平分线的平分线. . 典例典例 1 1 如图， 已知正方形 ABCD 中， MAN=45,则线段MN， BM 与DN 之间的关系是() A. MN= BMDNB.BM=MNDN B. DN=MN+BMD.无法确定 【答案】A 【解析】正方形 ABCD 中，MAN=45，根据半角模型结论可知 MN=BMDN. 故选 A. 典例典例 2 2 典例秒杀 如图，ABC 是边长为的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC=120， 以 D 为顶点作一个 60角， 使其两边分别交 AB 于占 M， 交 AC 于点 N， 连接 MN， 则
9、AMN 的周长是（）. A.aB.2aC. 3aD. 不能确定 【答案】B 【解析】BDC 是等腰三角形，观察图形，能发现图形为等腰三角形的半角模型， 根据半角模型结论可知， AMN 的周长为ABC 边长的 2 倍， 即为 2a. 故选 B. 典例典例 3 3 如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B=D=90，E，F 分别是边 BC， CD 上 的点，且EAF= 2 1 BAD， 求证：EF =BE+FD. 在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180，E，F 分别是边 BC，CD 上的点 且EAF= 2 1 BAD， （1）中的结论是否仍然成立？（不需要说明理由） 如图 2，
10、在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+ADC=180，E，F 分别是边 BC， CD 延长线上的点，且EAF= 2 1 BAD ，（1）中的结论是否仍然成立?若成立， 请证明;若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 【解析】（1）如图，延长 EB 到点 G，使 BG=DF，连接 AG. ABG=ABC=D=90，AB=AD， ABGADF（SAS），AG=AF，1=2. 1+3=23=EAF= 2 1 BAD， GAE=EAF. 又 AE=AE，AEGAEF（SAS）， EG=EF. EG=BE+BG,EF=BEFD. （2）（1）中的结论 EF= BEFD 仍然成立. （3）结论 E
11、F=BE+FD 不再成立，应当是 EF=BEFD. 证明如图，在 BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG. B+ADC=180,ADFADC=180, B=ADF. 又AB=AD，ABGADF（SAS）， BAG=DAF,AG=AF. BAGEAD= DAFEAD=EAF= 2 1 BAD, GAE=EAF. 又AE=AE，AEGAEF（SAS）， EG=EF EG=BEBG,:.EF=BEFD. 1.（）如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角 形，且BDC= 120.以 D 为顶点作一个 60角，使其两边分别交 AB 于点 M， 交 AC 于点 N，连接 MN，
12、则AMN 的周长为。 2.（）如图，在 RtABC 中，AB=AC，D，E 是斜边 BC 上两点，且 DAE=45.若 BE=4，CD=3，则 AB 的长为。 小试牛刀小试牛刀 3.（）如图，正方形 ABCD 中，EAF=45，连接对角线 BD 交 AE 于 点 M，交 AF 于点 N.若 DN=1，BM=2，那么 MN=。 1.如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF=45，AE， AF 分别交 BD 于点 M，N，连接 EN，EF.有以下结论 AN=EN;当 AE=AF 时，22 EC BE ;BE+DF=EF; 存在点 E，F，使得 NFDF. 其中正确
13、的个数是（） A.1B.2C.3D.4 在中考考试中在中考考试中 ，半角模型在选择题半角模型在选择题、填空题填空题、解答题中经常出观解答题中经常出观，我我 们在处理这类问题时们在处理这类问题时， 关键在于找到半角和全角关键在于找到半角和全角， 运用运用口诀口诀进行旋转进行旋转 ， 进进行边行边角转角转化，就能很快地解决此类问题化，就能很快地解决此类问题. . 直击中考 第四章第四章. .全等三角形全等三角形 模型（模型（1616）半角模型半角模型 答案：答案： 小试牛刀小试牛刀 1.答案答案6 解析解析BDC 是等腰三角形，且BDC=120，MDN=60，ABC 是边长 为 3 的等边三角形，
14、 根据等腰三角形的半角模型结论可知，AMN 的周长是ABC 边长 的 2 倍，即为 6. 2.答案答案26 解析解析如图，过点 B 作 BC 的垂线，垂足为 B，并截取 BF=CD，连接 FE，AF. FBE=90,FB=3,BE=4, 在 RtFBE 中，FE=FBBE=3 4=5, FE=5. RtABC 中，AB=AC， ABC=ACB=45, FBA = FBCABC = 90- 45=45. 在AFB 与ADC 中， BF=CD,ABF=ACD=45, AB=AC, AFBADC（SAS），2=3，AF=AD. 又1+EAD+2=90，DAE=45， 1+2=45, FAE=1+3=
15、45,FAE=DAE. 在AFE 与ADE 中，AF=AD, FAE= DAE, AE=AE, AFEADE(SAS), FE=DE=5, BC=BE+ED+DC=4+5+3=12. 又在 RtABC 中，AB = 2 2 BC=12 2 2 =26 【小结】熟练掌握半角模型的同学能一眼看到【小结】熟练掌握半角模型的同学能一眼看到AFEAFEADEADE， 从而快速解题从而快速解题. . 2.答案答案5 解析解析如图，延长 CB 到点 G，使 BG= DF，连接 AG，在 AG 上截取 AH=AN， 连接 MH,BH. 四边形 ABCD 为正方形， AB=BC=CD=AD,4=5=45, BA
16、D=ADF=ABE=ABG=90. 在ABG 和ADF 中，AB=AD,ABG=ADF=90, BG=DF, ABGADF（SAS），1=2,7=G,AG=AF, GAE=23=1+3=BADEAF=90-45=45=EAF. 在AMN 和AMH 中，AN=AH,MAN= MAH=45, AM=AM, AMNAMH(SAS), MN=MH. AF=AG,AN=AH, FN=AFAN=AGAH=GH. 在DFN 和BGH 中，DF=BG, 7=G， FN=GH, DFNBGH（SAS）， 6=4=45,DN=BH. MBH=90-4545=90， BMDN=BMBH=MH=MN. 又DN=1，B
17、M=2， 21=MN, MN=5 直击中考直击中考 1.答案答案B 解析解析如图，四边形 ABCD 是正方形， EBM = ADM =FDN=ABD=45. MAN=EBM=45, AMN=BME, AMNBME, EM MN BM AM 又AMB=EMN， AMBNME, AEN=ABD=45 NAE=AEN=45,AEN 是等腰直角三角形， AN=EN, 故正确. ABE=ADF=90,在 RtABE 和 RtADF 中， AB=AD, AE=AF,RtABERtADF(HL), BE=DF. 又BC=CD， CE=CF. 假设正方形 ABCD 的边长为 1，设 CE=x，则 BE= 1-
18、x. 如图，连接 AC，交 EF 于点 O. AE=AF,CE=CF, AC 是 EF 的垂直平分线， ACEF,OE=OF. 在 RtCEF 中，OC= 2 1 EF= 2 2 x， 在EAF 中，EAO=FAO=22.5= BAE=22.5, OE=BE. 又AE=AE，RtABERtAOE(HL), AO=AB=1. AC=2=AO+OC, 1+ 2 2 x=2,解得 x=2 -2 EC BE 22 221 = 2 2212 = 2 2 ， 故不正确. 正方形 ABCD 中，EAF=45， 根据半角模型结论可知 EF=BEDF， 故正确. FND=ADN+NAD45.而FDN=45， DFFN. 故不存在点 E，F，使得 NFDF，故不正确. 因此，正确结论的个数是 2.故选 B.
